Problema 1

Problema 1
PROBLEMA 1

x2
xn 
Sia f la funzione definita da f ( x)  1  x   ...   e x
2!
n! 

dove n è un intero positivo e x ∈ R
xn
1. Si verifichi che la derivata di f (x) è: f '( x)   e x n
n!
2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n è
dispari, f (x) ≤ 1 per ogni x reale.
3. Si studi la funzione g ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.
4. Si calcoli

2
0
g ( x)dx e se ne dia l’interpretazione geometrica.
Soluzione.

x2
xn 
f ( x)  1  x   ...   e x
2!
n! 

 x x2
x n1   x 
x2
xn   x
f '( x)  1   ... 
e

1

x


...



e
(n  1)! 
2!
n! 
 1 2!

a)
xn  x
e
n!
xn  x
b) f '( x)  
e 0
(n)!
Per n pari ho l’esponenziale sempre positiva e quindi
f '( x)  
 x n  0 da cui x n  0 mai verifica perchè
sempre positiva. e nulla per x=0 quindi ho un flesso a tang. orizzontale.
n dispari f '( x)  
xn  x
e 0
(n)!
 xn  0
xn  0
x0
ho un massimo per x=0

02
0n  0
Dato che per n dispari ho un massimo per x=0 f (0)  1  0   ...   e  1 e quindi
2!
n! 

Il valore massimo è 1 da cui . f ( x)  1

x2   x
3) f ( x)  1  x   e
2

C.E.  ;  


x2 
x2 
f ( x)  1  x   e x  0 1  x    0 dato che l’esponenziale è sempre positiva
2
2


1
E dato che   1  4 1  0 anche l’espressione di 2 grado è sempre positiva e mai nulla.
2
Quindi f ( x)  0 sempre
f (0)  1 da cui passa per A(0,1)

 x2  1
x2   x
lim 1  x   e  lim  x    0 A.O y=0
x 
x  2e
2


 
x2  x
f '( x)   e per x=0 Flesso a tangente orizzontale in A
2
2 x  x x 2  x e x 2
e  e 
x  2x  0
2
2
2
Flesso in A e in B(2,5e2 )

f '( x)  

2

x2   x
x2  x 
x
x
1

x

e
dx

e

xe

e dx



0 
0 
2
2

2
Dato che
 xe
x
dx    xde x   ( x(e x )   e x dx)   x(e  x )  e  x  e
x2  x
x2  x
x2  x
x2  x
x2  x
x
x
e
dx


de


(
(
e
)

xe
dx
)


(
e
)

xe
dx


(e )  x(e  x )  e  x
2
2


2
2
2
Ho che
2
2
2
x2   x
x2  x
x
x 2
x  x
1

x

e
dx


(
e
)

2
x
(
e
)

3
e
|


e

  2 x  3  |0 
0
0 
2
2
 2

2
2
2
2
2
x  x
x x
x
x 2
x  x
0 1  x  2  e dx   2 (e )  2 x(e )  3e |0  e  2  2 x  3  |0 
2
x2   x
e2
2
1

x

e
dx


e
9

3

3

 2,17





0 
2
9
Che rappresenta l’area compresa tra le rette x=0 , x=2 (flessi) , y=0 e f(x)
Problema 2
f ( x)  x3  kx
f ( x)  x( x 2  k )
f '( x)  3x 2  k
f ''( x)  6 x 2
Per k  0
sempre crescente (non presenta massimi e minimi)
con flesso in 0 a tangente obliqua.
Per k  0
sempre crescente (non presenta massimi e minimi)
con flesso in 0 a tangente orizzontale
Per k  0 presenta un massimo per x   
k
k
e un min per x  
3
3
con flesso in 0 a tangente obliqua
2) g ( x)  x3 y  1  x
Mettendo a sistema ho che x 3  1  x da cui x3  x  1  0
Considerata la funzione
f ( x)  x3  x  1 nell’intervallo 0,1 ho che f (0)  1 f (1)  1
Per il teorema degli zeri ho almeno una soluzione .
Dato che f '( x)  3x3  1 è sempre positiva ho una sola soluzione.
f ( x0 )
f ( xn 1 )
Per il metodo delle tangenti. x0 x1  x0 
…. xn  xn 1 
f '( xn 1 )
f '( x0 )
x
0,5
0,714286
0,68318
0,682328
0,682328
f(x)
-0,375
0,078717
0,002043
1,49E-06
1,41E-12
f'(x)
1,750001
2,530613
2,400205
2,396717
2,396715
3) g ( x)  x3 e la inversa h( x)  3 x
Le due curve sono simmetriche rispetto alla retta y=x
E si incontrano per x 3  x x( x 2  1)  0 nel primo quadrante per x=0 e per x=1

1
0
3
1
1
3
x
x31 1 3 43 x 4 1 3 1 1
x  x dx 

|0  x  |0   
1
4
4
4 4 2
1 3 1
3
3
4) Dato che g e la sua inversa son simmetrici rispetto a y=x considero la distanza massima dei punti
di g dalla retta y=x
| x  y | | x  x3 |
d

2
2
1
1
d'
(1  3x 2 ) da cui 1  3 x 2  0 x 
3
2
d massima
3
27
3
3


27  2 3
9 4 32 6
2 3
9
2
2
9 2
Quindi la sezione massima ha area A  12
2 6 8 6

9
3
1
Il volume invece essendo un prisma si calcola aria di base per altezza. V  12  6
2
Quesito 1
( x  a)2 a ( x  a)2 b (b  a)2 (b  a)2
|b 
|a 

b
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
(b  a) (b  a)
b  a  2ab b  a  2ab

 b2  a 2
b | x  a |dx  2  2 
2
2
b
a
b
| x  a |dx   ( x  a)dx   ( x  a) |dx  
Quesito 2
Di suriettive sì p.e.
Di iniettive no perché un elemento rimane sempre fuori. .
e quindi per definirlo deve avere un immagine già usata.
Di Biettive no perché A e B non hanno la stessa cardinalità
Quesito 3
Areamoneta
(l  2r )2 (100  2 12,875) 2
p


 0,55  55%
Areamattonella
l2
1002
Quesito 4
Non puo esistere. Perché la somma delle facce deve essere minore di un angolo giro
Infatti , dato che un angolo di un esagono è 120°, se ne metto tre insieme ho 3*120=360 e quindi
non può essere minore di 360.
Quesito 5
Solo alla prima
0
0
1
0
1
 in det er min ata
 impossibile
0
0
00  e0ln 0  e0  forma indeterminata
Quesito 6
Applicando il metodo della tangente.
x
f
f'
N.
3 0,14112 -0,98999
3,142547 -0,00095
-1
3,141593 4,48E-10
-1
1
2
3
Ricordiamo che   3,1415926
Quesito 7
n  n n  k
(sviluppando sono il secondo membro ho che)

 
 k  1  k  k  1
n 
n!
nk
n!
nk
n!




(k  1)!(n  k  1)!
 k  1 k ! n  k ! k  1 (k  1)k ! n  k  (n  k  1)! 1
Quesito 8
Ammettiamo che gli invitati siano n e che n1 uomini e n2 donne e quindi n  n1  n2
Se xi è l’età di una persona per definizione ho
u1  u2  ..  un1
In particolare se ui è l’età di un uomo per definizione ho che u 
 26
n1
d1  d 2  ...  d n2
 19
In particolare se d i è l’età di una donna per definizione ho che d 
n2
x  x ...  xn (u1  u2  ..  un1 )  (d1  d 2  ..  d n2 )
m 1 2

 22 da cui
n
n
n
26 1  19
26n1  19n2 26n1  19n2
26n1  19n2
n2

 22
 22 dividendo per n2
 22
n1
n
n1  n2
n1  n2
1
n2
26r  19
3
 22 26r  19  22r  22 r 
r 1
4
Quesito 9
Il principio di cavalieri dice: “che se secando due solidi con piani paralleli, si ottengono aree uguali
allora i due volumi sono uguali.
Ad una distanza x dal vertice V ho la sezione del cono la cui area è data da
Abase _ cono 
Acono x 2

Abase R 2
x2
x2
A

 R2   x2
base
R2
R2
Abase _ Scodella  Abase _ cono  Acerchio _ cilindro   r 2   (r 2  x2 )   x2
Dove il raggio nel secondo cerchio è VK  r 2  x2
Quesito 10
Per il teorema delle rette parallele le due rette necessariamente si incontrano. Tale teorema si basa
sul quinto postulato, che per secoli è stato oggetto di discussioni, ed è stata cercata una
dimostrazione a partire dai 4 postulati. Non potendolo dimostrare il quinto postulato è stato negato,
ammettendo la possibilità di avere più rette parallele per un punto, e dando la possibilità di avere
geometrie non euclidee, dove la somma degli angoli di un triangolo non necessariamente è 180°