RICHIAMI SULLE LEGGI DELL`ELETTROMAGNETISMO

Corso di Antenne e compatibilità e.m. AA 2006-07
Docente: Prof. Ing. Michele Bozzetti
Modulo UNO – richiami di elettromagnetismo
RICHIAMI SULLE LEGGI DELL’ELETTROMAGNETISMO
1.1 Sorgenti dei campi elettromagnetici
Allo
stato
attuale
i
fenomeni
elettromagnetici
vengono
analizzati
attraverso le leggi di Maxwell che collegano tra loro le grandezze qui di
seguito richiamate:
A) SORGENTI
Carica elettrica “q”
L’unità di misura adottata nel sistema MKSA è il Coulomb (simbolo: C;
indicazione canonica: [q]=C).
Sebbene in molte situazioni è utile considerare le cariche elettriche
associate a volumi infinitesimi(CARICHE CONCENTRATE)è più realistico, dal
punto di vista macroscopico, considerare l’occupazione spaziale di una
carica elettrica; una carica elettrica “q” viene dunque associata ad un
volume nello spazio V e si definisce la funzione “DENSITA’ DI CARICA” in
modo che per una certa porzione di spazio V risulti:
q    ( P)dV
V
E’ conseguente l’unità di misura della Densità di Carica:
[  ( P)]  C / m3
Corrente elettrica “i”
L’unità di misura adottata nel sistema MKSA è il Coulomb/secondo,
altrimenti detto Ampère (simbolo: A; indicazione canonica: [i]= A = C/s).
Il concetto di corrente elettrica è legato a quello di movimento di carica
elettrica, così che la corrente rappresenta il flusso di carica attraverso
una superficie: considerando una quantità di carica elettrica  q che
attraversa una superficie
superficie è interessata
S nell’intervallo di tempo t , si dirà che la
nell’intervallo
di
tempo
considerato
da
una
q
; è immediato il concetto di corrente
t
dq
q
 lim
istantaneo tramite il passaggio al limite: i (t ) 
dt t 0 t
corrente (media in
t ) pari a: i 
Si richiama l’attenzione che nel sistema MKSA (Metro – Kilogrammo – Ampère
– Secondo) si considera come grandezza fondamentale la corrente e dunque la
carica viene considerata come unità derivata (Coulomb = Ampère x secondo).
Così come è utile considerare la carica elettrica distribuita nel volume
che la contiene, è utile anche considerare una corrente elettrica “i”
distribuita sulla superficie
S interessata dal flusso di carica
attraversante; si definisce allora una funzione “DENSITA’ DI CORRENTE” in
modo che risulti:
i   j ( P)dS
S
Anche in questo caso è immediata l’unità di misura per la Densità di
Corrente:
[ j ( P)]  A / m2
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E’ però da tenere presente che mentre la carica elettrica è una grandezza
scalare, la corrente elettrica è una grandezza per la quale oltre
all’entità bisogna specificare la direzione ed il verso del flusso; la
funzione densità di corrente sarà dunque una funzione vettoriale “ j ( P) ” e,
rammentando la definizione di prodotto scalare tra due vettori, il flusso
di corrente attraverso una superficie S sarà esprimibile come:
i   j ( P)  dS
S
nella quale dS rappresenta un vettore di modulo infinitesimo pari a dS ed
orientato perpendicolarmente alla superficie dS stessa; il verso, come noto
e come si vedrà di seguito, è convenzionalmente legalo alla “regola della
mano destra”.
B) EFFETTI
Gli effetti delle sorgenti: (“q”, ”i”) oppure (“  ( P) ”, “ j ( P) ”), sono
associabili alle grandezze vettoriali qui di seguito richiamate:
e ( P)
d ( P)
h ( P)
b ( P)
CAMPO ELETTRICO
SPOSTAMENTO DIELETTRICO
CAMPO MAGNETICO
INDUZIONE MAGNETICA
Nw
V
=
C
m
C
A sec
unità di misura: [ d ( P )] =
=
2
m
m2
A
unità di misura: [h ( P )] =
m
V sec
Wb
unità di misura: [b ( P )] =
=
2
m2
m
unità di misura: [e ( P )] =
Nelle notazioni sopra riportate, sia le sorgenti ( j ( P) ,  ( P) ) che gli
effetti sono indicate come Funzioni di Punto, cioè come funzioni definite
nello spazio che possono assumere diversi valori da punto a punto.
Oltre alla variabilità nello spazio è naturale considerare la variabilità
nel tempo: punto per punto le grandezze possono assumere valori diversi in
istanti diversi. La variabilità congiunta nello spazio e nel tempo è
normalmente espressa nella forma:
f  f ( P, t )
f  f ( P, t )
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rispettivamente, per le grandezze scalari e per le grandezze vettoriali.
Le situazioni di campi INVARIANTI NEL TEMPO vengono denominate
STATICHE.
Le situazioni di campi INVARIANTI NELLO SPAZIO vengono
situazioni UNIFORMI.
situazioni
denominate
1.2 Leggi dell’elettromagnetismo
Le leggi dell’elettromagnetismo esprimono i legami tra cause ed effetti.
Tali legami allo stato attuale sono espresse in modo sistematico dalle
Equazioni di Maxwell:
 e ( P, t )  dl

 h ( P, t )  dl


b ( P, t )  dS
t sup
Legge di Lentz

d ( P, t )  dS   j ( P, t )  dS
sup
t sup
 d ( P, t )  dS    ( P, t )dV
(Faraday)
Legge di Ampère
Legge di Gauss
 b ( P, t )  dS  0
Legge di Gauss magnetica
unite alla legge assiomatica di conservazione della carica:

j ( P, t )  dS  

 ( P, t )dV
t 
Si rammenta che le su scritte equazioni contengono in forma implicita le
leggi delle Azioni di Forza espresse da:
Legge di Coulomb
(il campo elettrico è l’azione di
forza che agirebbe su una carica
esploratrice unitaria che fosse posta nella posizione di esistenza del
campo;
ne
consegue
la
unità
di
misura
per
il
campo
elettrico
Newton/Coulomb = Volt/m):
F ( P, t )  q( P, t )e ( P, t ) per q ( p, t )  1
e da:
legge di Lorenz
(il campo di induzione magnetica è l’azione di forza che agirebbe su una
carica esploratrice unitaria in movimento con velocità v ( P , t ) che fosse
posta nella posizione di esistenza del campo:
F ( P, t )  q( P, t )v ( P, T )  b ( P, t ) per q ( p, t )  1
Le equazioni su scritte esprimono le leggi dell’elettromagnetismo in FORMA
INTEGRALE; il significato di questa espressione è che esse si riferiscono a
porzioni di spazio di dimensioni non nulle (volumi finiti).
La forma integrale delle equazioni di Maxwell è quella più immediatamente
corrispondente
alle
risultanze
delle
innumerevoli
esperienze
ed
osservazioni compiute nel corso dei secoli sui fenomeni elettrici e
magnetici e sulla loro inter collegabilità.
Accanto a tale indubbia
importanza, la forma integrale delle equazioni di Maxwell presenta la sua
utilità per lo studio di molti aspetti applicativi (esempio: concezione dei
generatori di energia elettrica e dei motori elettrici).
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Per lo studio di altri aspetti applicativi, tra i quali l’importante
aspetto della trasferibilità a distanza dell’INFORMAZIONE con l’utilizzo
dei campi elettro magnetici, le espressioni in “forma integrale” presentano
difficoltà operative. Allo scopo di superare tali difficoltà operative si
fa ricorso ad una forma alternativa delle equazioni di Maxwell detta “FORMA
DIFFERENZIALE”.
La comprensione della forma differenziale richiede
degli operatori differenziali che qui si richiamano.
GRADIENTE DI UNA FUNZIONE SCALARE: è la Derivata
funzione fatta nella direzione di massimo aumento:
d ( P)
al max
dlmax
massimo incremento lmax .
Grad [( P)] 
dove
la
conoscenza
Direzionata
di
una
al max indica il versore nella direzione di
DIVERGENZA DI UNA GRANDEZZA VETTORIALE: è il limite, per il volume che
tende a zero, del rapporto incrementale tra il flusso della grandezza
vettoriale uscente da una superficie chiusa ed il volume racchiuso dalla
superficie stessa:
 F ( P)  dS
Div( F ( P))  lim
dove
V
V 0
dS  dSan
ed
an il versore orientato nel
verso uscente dal volume racchiuso.
ROTAZIONALE DI UNA GRANDEZZA VETTORIALE: è il limite, per la superficie che
tende a zero, del rapporto incrementale tra la circolazione del vettore su
un percorso chiuso e la superficie appoggiata sul percorso stesso,
direzionato rispetto al verso di circolazione secondo la regola della mano
destra:
 F ( P)  dl a
Rot ( F ( P))  lim
S
S 0
n
dove
an indica il versore perdendicolare alla
superficie S ed orientato seconda la regola della mano destra rispetto al
verso di percorrenza scelto sul contorno.
Rimandando all’Appendice per il dettaglio, la forma differenziale assunta
dalle leggi dell’elettromagnetismo è la seguente:
Equazioni di Maxwell
FORMA INTEGRALE
 e ( P, t )  dl

 h ( P, t )  dl

FORMA DIFFERENZALE

b ( P, t )  dS
t sup
Rot (e ( P, t ))  

d ( P, t )  dS   j ( P, t )  dS
sup
t sup
Rot (h ( P, t )) 
 b ( P, t )
t
 d ( P, t )
 j ( P, t )
t
 d ( P, t )  dS    ( P, t )dV
Div(d ( P, t ))   ( P, t )
 b ( P, t )  dS  0
Div(b ( P, t ))  0
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Conservazione della Carica

j ( P, t )  dS  

 ( P, t )dV
t 
Div( j ( P, t ))  
 ( P, t )
t
Si rammenta che per esprimere le operazioni vettoriali implicate nelle
equazioni di Maxwell si è soliti fare uso dell’Operatore NABLA il cui
simbolo è:
NABLA  
Se lo spazio è riferito ad un sistema di riferimento tri-rettangolo
cartesiano O-x,y,z, l’Operatore Nabla può essere formalmente rappresentato
come un vettore:
  ax



 ay
 az
x
y
z
e diventa facile verificare che valgono le seguenti regole:
Grad [( P, t )]  [( P, t )]
Div[ F ( P, t )]    F ( P, t )
Rot[ F ( P, t )]    F ( P, t )
( il simbolo “  ” ed il simbolo “  ” nel corso dei Presenti Appunti stanno
normalmente ad indicare rispettivamente il prodotto scalare ed il prodotto
vettore tra due grandezze vettoriali).
Facendo uso di tale operatore, le leggi dell’elettromagnetismo in forma
differenziale assumono dunque le seguenti espressioni:
Rot (e ( P, t ))  
 b ( P, t )
t
  (e ( P, t ))  
 d ( P, t )
 j ( P, t )
t
Div(d ( P, t ))   ( P, t )
 d ( P, t )
 j ( P, t )
t
  (d ( P, t ))   ( P, t )
Rot (h ( P, t )) 
  (h ( P, t )) 
Div(b ( P, t ))  0
Div( j ( P, t ))  
 b ( P, t )
t
  (b ( P, t ))  0
 ( P, t )
t
  ( j ( P, t ))  
 ( P, t )
t
Rammentando che:
- l’operatore rotazionale si applica ad una grandezza vettoriale e
restituisce una grandezza vettoriale,
- l’operatore divergenza si applica ad una grandezza vettoriale e
restituisce una grandezza scalare,
- l’operatore gradiente si applica ad grandezza scalare e restituisce una
grandezza vettoriale,
ha una operabilità immediata l’estrazione della Divergenza del Gradiente di
una funzione scalare: Div(Grad (( P, t )) che risulterà essere ancora una
funzione scalare; tale operazione prende il nome di LAPLACIANO e, una volta
introdotto l’operatore Nabla è immediato verificare, facendo uso del
sistema di riferimento cartesiano tri-rettangolo, che risulta:
LAPLACIANO [ ( P, t )] =
= Div(Grad ( ( P, t )) =   ((( P, t ))  
2
(( P, t )) =
5
 2  ( P, t )  2  ( P , t )  2  ( P , t )


x 2
y 2
z 2