Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 31 marzo 2011 Divisori e massimo comune divisore. Dati i numeri naturali a,b diremo che b è divisore di a (equivalentemente che a è multiplo di b) e scriveremo il simbolo ba, se esiste un numero intero relativo c tale che a=bc (notare che c è necessariamente un numero naturale, essendo a,b>0; inoltre da c1 segue necessariamente ab). Dati a,bN , per testare se ba basta effettuare la divisione di a per b, calcolare quoziente q e resto r, e verificare se r=0: si ha infatti ba r=0 ( è ovvia; deriva dall’osservazione che se a=bc=bc+0=bq+r, si ha r=0, per l’unicità del resto). Quindi il test di divisibilità per i numeri naturali si può effettuare con un algoritmo (quello della divisione) di complessità ≤O(x2) (se x=L(a), con ab: ovviamente se a<b è certamente falso che ba). Dati i numeri naturali a,b chiameremo massimo comune divisore di a,b un numero naturale d tale che da, db (cioè d è divisore comune di a,b) e inoltre d è multiplo di tutti i numeri naturali divisori comuni di a,b. La seconda proprietà garantisce che d è il più grande dei numeri naturali divisori comuni di a,b ed in particolare è unico (se esiste): scriveremo allora d=mcd(a,b). Teorema dell’esistenza del mcd(a,b): Comunque dati i numeri naturali a,b esiste d=mcd(a,b). Dimostrazione. Consideriamo l’insieme di tutti i numeri naturali che sono “combinazioni lineari” di a,b a coefficienti interi relativi: S={c / c>0, c=ax+by, x,yZ}. Tale insieme è non vuoto (almeno a=a1+b0S): sia d il minimo in S. In particolare d=ax+by, per opportuni x,yZ. Verifichiamo che d =mcd(a,b). Per verificare se da dividiamo a per d, ottenendo quoziente q e resto r tali che a=dq+r, con r<d, e dimostriamo che r=0. Se per assurdo fosse r>0, sarebbe r=a-dq=a(1-xq)+b(-yq)S, contraddizione (perché r<d e d è il minimo in S). Analogamente si verifica che db. Se inoltre d0 è un numero naturale divisore comune di a,b allora esistono numeri naturali s,t tali che d0s=a, d0t=b, da cui d=ax+by=d0(sx+ty) cioé d0 è divisore di d. Nota: nella dimostrazione precedente si è anche notato che d=mcd(a,b) è una combinazione lineare della forma d=ax+by, per opportuni coefficienti interi relativi x,yZ . Tali coefficienti x,y non sono però univocamente determinati: per esempio per ogni intero relativo k si ha: ax+by=a(x+kb)+b(y-ka). Due numeri naturali a,b sono detti coprimi o relativamente primi se mcd(a,b)=1, o equivalentemente se 1 è l’unico loro divisore comune. Proprietà elementari: 1) Se 1=ax+by è combinazione lineare di a,b con coefficienti interi relativi x,y, allora a,b sono coprimi. Basta infatti ricordare che il mcd(a,b) è la minima delle combinazioni lineari >0 di a,b, quindi certamente 1=mcd(a,b). 2) Due numeri naturali consecutivi a, b=a+1 sono sempre coprimi. Basta osservare che 1=a(-1)+b1 e applicare la 1). 3) Dividendo due numeri naturali a,b per il loro massimo comune divisore d=mcd(a,b) si ottengono due numeri naturali coprimi. Infatti posto d=ax+by (con x,y interi relativi), si ha 1=(a/d)x+(b/d)y, e applicando la 1) si ottiene che a/d, b/d sono coprimi. 4) Dati 3 numeri naturali a,b,c, se a(bc) e se a,b sono coprimi allora ac. Infatti, posto bc=ad, con dN, ed 1=mcd(a,b)=ax+by, con x,yZ, si ha c=acx+bcy=a(cx+dy). 5) Dati 3 numeri naturali a,b,c, se ac, bc, e se a,b sono coprimi allora (ab)c . Infatti, posto c=ar=bs, con r,s N, ed 1=mcd(a,b)=ax+by, con x,yZ, si ha c=acx+bcy=ab(sx+ry). Lemma: Dati 2 numeri naturali a,b ed effettuata la divisione con a=dividendo, b=divisore : a=bq+r q,r0 r<b si ha: 1) se r=0 (equivalentemente se ba) allora mcd(a,b)=b 2) se r>0 allora mcd(a,b)=mcd(b,r) Dimostrazione. La dimostrazione di 1),2) segue facilmente dalla definizione di massimo comune divisore. Illustriamo un algoritmo per calcolare d=mcd(a,b), dati i numeri naturali a,b: è il cosiddetto algoritmo Euclideo delle divisioni successive. Esso consiste nei seguenti passi: 1) Si divide a per b trovando quoziente e resto 2) Si effettuano successive divisioni con il seguente criterio: ogni volta che una divisione ha resto non nullo, si effettua una successiva divisione prendendo come dividendo e divisore rispettivamente divisore e resto della precedente divisione. L’algoritmo si ferma quando si ottiene una divisione con resto nullo 3) Il resto (non nullo) della penultima divisione è il mcd(a,b). Schematizzando l’algoritmo: a=bq1+r1 (q10, 0<r1<b) b=r1q2+r2 (q20, 0<r2<r1) r1=r2q3+r3 (q30, 0<r3<r2) . . rn-3=rn-2qn-1+rn-1 (qn-10, 0<rn-1<rn-2) rn-2=rn-1qn+rn (qn0, rn=0) Output: rn-1=mcd(a,b) Prima di tutto osserviamo che l’algoritmo si ferma dopo un numero finito di divisioni : infatti la successione dei resti è decrescente, e se per assurdo si ottenessero sempre resti >0, il loro insieme sarebbe un sottoinsieme di N senza minimo, contro l’assioma del minimo. Inoltre l’affermazione che rn-1=mcd(a,b) si può dimostrare applicando più volte il precedente Lemma: mcd(a,b)=mcd(b,r1)=mcd(r1,r2)=….=mcd(rn-2,rn-1)=rn-1 . Calcoleremo ora la complessità dell’algoritmo Euclideo: poiché ogni passo dell’algoritmo consiste in una divisione è ovvio che sia necessario dare una stima (nel caso peggiore) del numero n delle divisioni effettuate nell’algoritmo. A tale scopo ricordiamo la teoria dei numeri di Fibonacci. La successione di Fibonacci. La successione dei numeri di Fibonacci è la successione di numeri naturali Fn (n>0) definita ponendo: F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2 per ogni n >2 Quindi F3=2; F4=3, F5=5, F6=8 etc… Tale successione interviene in molti problemi combinatori. Esempio. Per ogni naturale n, il numero delle parole di lunghezza n sull’alfabeto {0,1} che non contengono 2 bits =1 consecutivi è Fn+2. Per dimostrarlo basta usare la seconda forma del principio di induzione. Per n=1 l’affermazione è banale: sono 2=F3 le parole in questione (le parole 0 e 1). Sia n>1: supponiamo vera l’affermazione per ogni numero naturale k<n e dimostriamola per n. Consideriamo una generica parola w di lunghezza n che non contiene 2 bits consecutivi =1. Distinguiamo 2 casi: 1) se l’ultimo bit di w è 0, la parola w si ottiene da una parola di lunghezza n-1 (che non contiene 2 bits consecutivi =1) aggiungendo come ultimo bit 0. Per l’ipotesi induttiva i valori di w in questo caso sono in numero di Fn+1 2) se l’ultimo bit è 1, la parola w si ottiene da una parola di lunghezza n-2 (che non contiene 2 bits consecutivi =1) aggiungendo come penultimo bit 0 e come ultimo bit 1. Per l’ipotesi induttiva i valori di w in questo caso sono in numero di Fn In totale il numero di valori di w è Fn+Fn+1=Fn+2 . Problema: trovare una formula algebrica per il calcolo del generico numero di Fibonacci Fn . A tale scopo ricordiamo alcune classiche nozioni geometriche. Se AB è un segmento di estremi A,B è di lunghezza a (con a reale >0), si chiama parte aurea di AB un segmento AC (dove C è un punto interno ad AB) tale che la lunghezza x di AC sia media proporzionale fra a e la lunghezza (a-x) del segmento CB: a : x = x : (a-x) e da ciò si ricava x2+ax-a2 = 0, da cui x = a(-1 5 )/2. Essendo x>0, l’unico valore accettabile è x = a(-1+ 5 )/2, da cui si ottiene il valore del rapporto: a/x = 2/(-1+ 5 )=( 5 +1)/21,61 (è il cosiddetto rapporto aureo o numero d’oro, indicato spesso con la lettera greca ). Il concetto di parte aurea di un segmento ha molte applicazioni geometriche: per esempio il lato del decagono regolare ha la stessa lunghezza della parte aurea del raggio della circonferenza circoscritta. Descriviamo alcune proprietà del numero d’oro : 1) Nel ragionamento precedente, poiché x è soluzione di x2+ax-a2 = 0, dividendo per x2 si ottiene che = a/x soddisfa l’identità: 1 + - 2 = 0 da cui: 2 = 1+ (*) 2) Si ricava anche: (1-)2 = 1-2+2 e tenendo conto di (*) si ottiene: (1-)2 = 2- (**) Il numero d’oro ha una stretta relazione con la successione dei numeri di Fibonacci Fn . Calcolando le potenze di base ad esponente naturale e confrontandole con alcuni valori di Fn, osserviamo che: F2=1 < 11,61 < F3=2 < 22,6 < F4=3 < 34,2 < F5=5 e si può congetturare che si abbia : Fn+1 < n < Fn +2 (***) per ogni naturale n. Possiamo dimostrare che ciò è vero, ragionando per induzione (IIa forma). Per n=1 abbiamo già notato che (***) è vero. Sia n>1: supponiamolo vero per tutti i k<n, e dimostriamolo vero per n; poiché (***) è in particolare vero per k=(n-1),(n-2), si ha Fn < n -1< Fn +1 , Fn-1 < n -2< Fn , da cui, sommando, si ha: Fn+1 = Fn+Fn-1 < n –1 + n –2 < Fn+1+Fn = Fn+2 Ma dalla (**) segue che: n –1 + n –2 = n –2(1+) = n quindi la (***) é vera per n. Dimostriamo ora la seguente formula algebrica per il calcolo del generico numero di Fibonacci: Fn = [n – (1-)n]/ 5 per ogni naturale n. a Ragioniamo di nuovo per induzione (II forma). Per n=1 si ha: [ – (1-)]/ 5 = (2-1) / 5 = 1 = F1 Sia n>1: supponiamo la formula vera per ogni k<n e dimostriamola per n; poiché è vera in particolare per k=(n-1),(n-2), si ha: Fn-1 = [n-1 – (1-)n-1]/ 5 , Fn-2 = [n-2 – (1-)n-2]/ 5 e sommando si ottiene (tenendo conto di (*) e (**)): Fn-1 + Fn-2 = Fn = [n-2(1+) - (1-)n-2(2-)]/ 5 = [n – (1-)n]/ 5 come si voleva. In effetti la formula ottenuta per il calcolo dei numeri di Fibonacci è poco utile, perché coinvolge numeri irrazionali.