FISICA GENERALE I II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - A Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU 12 CFU Voto Esercizio n.1 Un proiettile di massa m viene sparato con velocità iniziale v0 a un angolo rispetto all’orizzontale. Determinare le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione al tempo t* dopo il lancio. Eseguire i calcoli per v0 = 50 m/s, = 60°, t* = 8 s. Considerando il moto balistico del proiettile: v x t v 0cos cost v y t v 0sen gt v x t * v 0cos 25 m/s v y t * v 0sen gt * 35.2 m/s an v g da cui si ricava che la velocità (e quindi la tangente alla traiettoria) forma con l’orizzontale, al tempo t*, un angolo: vy 54.6 orientato verso il basso. arctg vx D’altra parte l’accelerazione del moto è sempre verticale e pari a g , da cui: 2 a t * gcos gsen 8.0 m/s 2 a t * gcos 5.7 m/s 2 n dv a t * dt t* Alternativamente: 2 2 a n t * g a Esercizio n. 2 Un anello sottile di massa M = 2 kg giace su un piano con attrito inclinato con angolo = 30°. Sul bordo dell’anello è avvolto un filo inestensibile e privo di massa che reca all’altro estremo una massa m = 800 g (vedi fig.). La carrucola P è priva di massa e senza attrito. Il sistema, inizialmente in quiete, viene lasciato libero e l’anello comincia a muoversi con moto di puro rotolamento. Si determini: (a) modulo e verso dell’accelerazione della massa m e (b) modulo e verso della forza di attrito col piano. P M m Ipotizzando che la forza di attrito FA sia diretta lungo il piano verso l’alto, per l’anello abbiamo l’equazione dei momenti rispetto al centro proiettata lungo la normale al foglio: a a I C I C MR 2 TR FA R T FA Ma con T tensione della fune R R e quella delle forze proiettata lungo il piano inclinato : T FA Mgsen Ma Mgsen 4.91 N > 0 quindi verso l’alto. Sottraendo la seconda dalla prima: FA 2 Per la massa m proiettando lungo la verticale verso il basso: mg T ma T mg a che sostituita in una delle due precedenti da’: M m sen 2 g 1.05 m/s 2 0 quindi m scende a M m Esercizio n. 3 Un cilindro omogeneo di altezza L = 30 cm e densità M = 0.4 è posizionato verticalmente in modo da sfiorare con la sua base inferiore il pelo libero di una massa d’acqua (vedi figura). A questo punto viene lasciato scivolare in acqua con velocità iniziale nulla. Determinare la massima profondità hM raggiunta dalla base inferiore trascurando ogni attrito con l’acqua e assumendo che il cilindro, nel suo moto, rimanga sempre in posizione verticale. L aria acqua hM Il lavoro infinitesimo compiuto della spinta di Archimede quando la base si trova alla profondità x è: dL S A ( x)dx Axdx dove A è la sezione del cilindro Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla profondità massima hM la somma del lavoro compiuto dalla forza peso e dalla spinta di Archimede sarà nullo: Mgh M hM gAxdx M ALgh M gA 0 h 2M T 0 2 e l’espressione vale per hM < L. Da cui: hM 2L M 0.24 m Esercizio n. 4 Determinare il rendimento per un ciclo reversibile eseguito da un gas perfetto biatomico e realizzato da un’espansione adiabatica AB, da una compressione isobara BC, una compressione isocora CA sapendo che VB= N VC con N=5. AB QAB 0 BC Qced c p TB TC CA Qass cv TA TC TB 1 c T T T N 1 N 1 1 p B C 1 C 1 1 0,34 p AV A cv TA TC N 1 TA 1 1 p BVC TC FISICA GENERALE I II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - A Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU 12 CFU Voto Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O, determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa. L’elastico presenterà un allungamento Δlmax e per il teorema del lavoro e dell’en. cinetica: 1 mg 2l l max k (l max ) 2 0 , 2 in tali condizioni lnax Fmax / k , sicché F 1 F2 mg 2l max k max k 2 k2 da cui F F l max max 1 1,37 m. 2k 2mg Esercizio n. 2 Un solido di forma arbitraria può ruotare senza attrito attorno a un asse orizzontale non centrale per O (v.fig.). Partendo da fermo dalla posizione col centro di massa C al disopra dell’asse di sospensione e sulla sua verticale, esso transita per la posizione di equilibrio stabile con velocità angolare Ω= 10 rad/s. Se lo stesso solido è fatto oscillare con oscillazioni di piccola ampiezza determinarne il periodo. Non conoscendo il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse di rotazione, esso è determinabile dalla conservazione dell’energia 4mgrC 1 2mgrC I O 2 da cui si ha I O . 2 2 Per le oscillazioni di piccola ampiezza si ha mgrC sin I O da cui per la pulsazione si ha e per il periodo T 2 mgrC 2 IO 4 1,26 s. C O Esercizio n. 3 Avvicinandosi a una parete verticale con velocità vE ed emettendo una frequenza νE= 400 Hz si percepisce un battimento Δν=νR-νE= 2 Hz. Determinare vE sapendo che la velocità del suono in aria è vS= 342 m/s. Sia νE la frequenza emessa, νR la frequenza ricevuta v vE R E S vS v E Da cui si ricava v / vE v E vS 0,85 m/s. 2 / E Esercizio n. 4 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la temperatura varia con l’entropia secondo la legge T aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica del corpo in funzione dell’entropia C = f(S). C Q dT TdS dT differenziando l’espressione data: T aS n dT anS dS n-1 T ( S )dS aS n 1 C S n anS n-1dS anS n-1 ovvero: C ( S ) f S 1 S n FISICA GENERALE (V.P.) II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - A Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU Voto Esercizio n.1 Un proiettile di massa m viene sparato con velocità iniziale v0 a un angolo rispetto all’orizzontale. Determinare le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione al tempo t* dopo il lancio. Eseguire i calcoli per v0 = 50 m/s, = 60°, t* = 8 s. Considerando il moto balistico del proiettile: v x t v 0cos cost v y t v 0sen gt v x t * v 0cos 25 m/s v y t * v 0sen gt * 35.2 m/s an g v da cui si ricava che la velocità (e quindi la tangente alla traiettoria) forma con l’orizzontale, al tempo t*, un angolo: vy 54.6 orientato verso il basso. arctg vx D’altra parte l’accelerazione del moto è sempre verticale e pari a g , da cui: 2 a t * gcos gsen 8.0 m/s 2 a t * gcos 5.7 m/s 2 n dv a t * dt t* Alternativamente: 2 2 a n t * g a Esercizio n. 2 Determinare il rendimento per un ciclo reversibile eseguito da un gas perfetto biatomico e realizzato da un’espansione adiabatica AB, da una compressione isobara BC, una compressione isocora CA sapendo che VB= N VC con N=5. AB QAB 0 BC Qced c p TB TC CA Qass cv TA TC TB 1 c T T T N 1 N 1 1 p B C 1 C 1 1 0,34 p AV A cv TA TC N 1 TA 1 1 p BVC TC Esercizio n. 3 Un filo rettilineo di lunghezza infinita presenta una densità di carica uniforme = +106 C/m. In un punto O a distanza d =1.2 m dal filo è presente un dipolo elettrico di momento p=10-16 Cm e dimensioni trascurabili. Il dipolo, complanare al filo, può solamente ruotare attorno al punto O ed inizialmente è disposto in modo da formare un angolo = 60° rispetto alla direzione ortogonale al filo. Si calcoli: a) modulo e verso del momento agente sul dipolo nella sua posizione iniziale; b) una volta che questo raggiunge l’equilibrio, la variazione di energia potenziale rispetto alla posizione iniziale A) M px E ; E ; 20 d p d O p sin M 1.3 Nm diretto ortogonalmente al piano della 20 d figura in verso entrante All’equilibrio il dipolo si dispone parallelamente alle linee di forza di E e: U (-p E) FIN - - p E IN p 20 d cos 1 -0.75 J Esercizio n. 4 La spira quadrata di lato l = 30 cm riportata accanto si sposta C B R con velocità uniforme v diretta ortogonalmente ai lati AB e CD in una zona dello spazio in cui è presente una campo di induzione uniforme B0=1.5 T diretto ortogonalmente al piano della spira con verso uscente. Sapendo che f=10Vcalcolare il valore di v affinché la differenza di potenziale V B-VD tra i punti B e D sia nulla. v B 0 f A D Oltre alle cariche in moto associate alla presenza del generatore f, in virtù del moto del circuito degli elettroni nei rami verticali vengono spostati dalla forza di Lorentz verso l’alto fino a che il loro accumulo non genera un campo elettrico che equilibri la forza di Lorentz: EL vxB0 orientato verso l’alto . C sui rami vericali: f i E L dl E L dl vB0 l come B Questo genera una ddp A D schematizzato in figura. B Quindi: VB - VD f - f i 0 fi f ; v f 22.2 m/s B0 l C R I I EL fi fi f A D FISICA GENERALE (V.P.)( II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - B Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU Voto Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O, determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa. L’elastico presenterà un allungamento Δlmax e per il teorema del lavoro e dell’en. cinetica: 1 mg 2l l max k (l max ) 2 0 , 2 in tali condizioni lnax Fmax / k , sicché F 1 F2 mg 2l max k max k 2 k2 da cui F F l max max 1 1,37 m. 2k 2mg Esercizio n. 2 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la temperatura varia con l’entropia secondo la legge T aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica del corpo in funzione dell’entropia C = f(S). C Q dT TdS dT differenziando l’espressione data: T aS n dT anS dS n-1 T ( S )dS aS n 1 C S n-1 n-1 n anS dS anS ovvero: C ( S ) f S 1 S n Esercizio n. 3 Un condensatore sferico le cui armature hanno raggi, rispettivamente, R1 = 10 cm, R2 = 20 cm viene caricato da un generatore di tensione a VO =10 V. Calcolare A) l’energia immagazzinata nel condensatore e quella erogata dal generatore nel processo di carica; B) la carica trasferita sul condensatore quando, mantenendo il generatore collegato al condensatore, lo spazio tra le armature viene completamente riempito da un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 3. Cin = 4o R1R2 /(R2-R1) = 2.22 x10-11 F ; Cfin = r Cin = 6.66x10-11 F A) UC=1/2 VO2 Cin = 1.11x10 -9 J; UG = qV0 = 2UC = VO2 Cin = 2.22x10 -9 J B) q= qfin-qin = VO (Cfin- Cin) = 4.44x10-10 C Esercizio n. 4 Due conduttori rigidi giacciono in un piano orizzontale e sono uniti alle loro estremità formando un angolo di 60°. Un terzo conduttore può scorrere senza attrito sui primi due con velocità costante v in modo da formare sempre un triangolo equilatero. La resistenza elettrica per unità di lunghezza dei tre conduttori è r. All’istante iniziale il conduttore mobile si trova nel vertice. Il sistema è immerso in un campo B uniforme perpendicolare al piano in cui giacciono i tre conduttori. Calcolare la fem indotta dopo 10 secondi dall’inizio del moto e la corrente che scorre nei tre conduttori. Effettuare i calcoli con: v=0.5 m/s, r=0.1m-1, B=0.5T a c b La superficie del triangolo nel generico istante di tempo sarà: S(t) (vt)2 Cotan doveè uno degli angoli interni del triangolo equilatero, e h= vt corrisponde alla distanza della base mobile dal vertice superiore e quindi all’altezza del triangolo. B)= B (vt)2 Cotan fem=2 B v2t Cotan V R=3r 2vt Cotan i= fem/R=Bv/3r=0.83 A indipendentemente dal tempo FISICA 1 II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 Cognome n. matricola Docente Nome Corso di Studi Voto Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O, determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa. L’elastico presenterà un allungamento Δlmax e per il teorema del lavoro e dell’en. cinetica: 1 mg 2l l max k (l max ) 2 0 , 2 in tali condizioni lnax Fmax / k , sicché F 1 F2 mg 2l max k max k 2 k2 da cui F F l max max 1 1,37 m. 2k 2mg Esercizio n. 2 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la temperatura varia con l’entropia secondo la legge T aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica del corpo in funzione dell’entropia C = f(S). C Q dT TdS dT differenziando l’espressione data: T aS n dT anS n-1dS C ovvero: C ( S ) f S 1 S n T ( S )dS aS n 1 S n-1 n-1 n anS dS anS FISICA 2 II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 Cognome n. matricola Docente Nome Corso di Studi Voto Esercizio n. 3 Un condensatore sferico le cui armature hanno raggi, rispettivamente, R1 = 10 cm, R2 = 20 cm viene caricato da un generatore di tensione a V O =10 V. Calcolare A) l’energia immagazzinata nel condensatore e quella erogata dal generatore nel processo di carica; B) la carica trasferita sul condensatore quando, mantenendo il generatore collegato al condensatore, lo spazio tra le armature viene completamente riempito da un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 3. Cin = 4o R1R2 /(R2-R1) = 2.22 x10-11 F ; Cfin = r Cin = 6.66x10-11 F C) UC=1/2 VO2 Cin = 1.11x10 -9 J; UG = qV0 = 2UC = VO2 Cin = 2.22x10 -9 J D) q= qfin-qin = VO (Cfin- Cin) = 4.44x10-10 C Esercizio n. 4 Due conduttori rigidi giacciono in un piano orizzontale e sono uniti alle loro estremità formando un angolo di 60°. Un terzo conduttore può scorrere senza attrito sui primi due con velocità costante v in modo da formare sempre un triangolo equilatero. La resistenza elettrica per unità di lunghezza dei tre conduttori è r. All’istante iniziale il conduttore mobile si trova nel vertice. Il sistema è immerso in un campo B uniforme perpendicolare al piano in cui giacciono i tre conduttori. Calcolare la fem indotta dopo 10 secondi dall’inizio del moto e la corrente che scorre nei tre conduttori. Effettuare i calcoli con: v=0.5 m/s, r=0.1m-1, B=0.5T a c b La superficie del triangolo nel generico istante di tempo sarà: S(t) (vt)2 Cotan doveè uno degli angoli interni del triangolo equilatero, e h= vt corrisponde alla distanza della base mobile dal vertice superiore e quindi all’altezza del triangolo. B)= B (vt)2 Cotan fem=2 B v2t Cotan V R=3r 2vt Cotan i= fem/R=Bv/3r=0.83 A indipendentemente dal tempo