RELATIVITA - Laboratorio di fisica

RELATIVITA’ RISTRETTA
Con la teoria della relatività ristretta di Einstein formulata nel 1905 si mettono in discussione
concetti familiari e assodati come tempo, spazio, massa e energia con i quali l’uomo ordina luoghi e
fatti. Einstein giunse alla sua teoria dopo una analisi critica di una asserzione riportata da Galileo nel
suo libro “Dialogo sui massimi sistemi”, nota come Principio di relatività galileana, secondo la quale
le leggi del moto osservate da due osservatori che si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno
rispetto all’altro (osservatori inerziali) sono le stesse.
Galileo enuncia il suo principio di Relatività facendo l’esempio di cosa accadrebbe nel salone di una grande
nave dove non sia possibile osservare cosa accade fuori. Galileo immagina di versare acqua in un bicchiere. E
dice che il movimento di quella massa d’acqua è esattamente lo stesso sia se la nave è ferma o in viaggio a
velocità costante su un mare piatto. Se si eseguisse un qualunque altro tipo di esperimento non si riuscirebbe
mai a trovare un effetto che dipenda dalla velocità costante della nave.
Si potrebbe pensare che ciò sia vero perché la nave viaggia a velocità modeste. Galileo non poteva disporre di
jet supersonici. Ma noi possiamo facimente verificare che ciò è vero anche mentre voliamo su un aereo. Su un
jet possiamo anche osservare il movimento di una pallina lanciata verticalmente verso l’alto. Tale movimento
non presenta alcuna differenza rispetto al moto analogo di una pallina lanciata da una persona ferma.
Conseguenza del principio di Galileo è anche che se spariamo un proiettile da un treno nella direzione
del suo moto, la velocità del proiettile rispetto ad un osservatore fermo sarà uguale alla somma, o alla
differenza, della velocità del proiettile con quella del treno a seconda che lo sparo avvenga nel verso
del movimento del treno o in quello opposto (legge di composizione dei moti di Galileo).
La conseguenza più spettacolare dei principi sopra elencati di Galileo è che tutte le velocità sono
equivalenti, andar piano, andar forte, o stare fermi sono condizioni totalmente equivalenti. Non c’è
alcun privilegio nello stare fermi esattamente come non c’è alcun privilegio nell’avere una velocità
qualsiasi.
Da notare che il principio di relatività di Galilei non è limitato soltanto ai fenomeni meccanici. Se si
eseguisse anche un esperimento di elettromagnetismo non sarà mai possibile misurare un effetto che
dipenda dalla velocità costante del nostro mezzo di trasporto. Il sapore del caffè, ad esempio, che è un
effetto di natura puramente elettromagnetica non cambia in un jet supersonico!
Tuttavia, i fenomeni elettromagneici, espressi in poche equazioni verso la fine del diciannovesimo
secolo da Maxwell, definiscono un’iportante novità. E cioè che esiste una velocità privilegiata che
non cambia mai. E’ quella delle onde elettromagnetiche, e quindi anche della luce che è pari a 3x10 5
Km/s (1 miliardo di chilometri l’ora !). Da notare che la luce è sempre obbligata a muoversi così
velocemente, salvo dei piccoli rallentamenti quando attraversa un mezzo materiale. Questo obbligo, a
muoversi con velocità massima, appartiene alla realtà priva di massa. La luce non ha massa. Noi, per
fortuna, siamo dotati di massa. E’ questa proprietà che ci permette di stare anche fermi!
Einstein risolve due questioni irrisolte legate alla velocità della luce. La prima è connessa alla sua
caratteristica di essere un’onda. A differenza delle onde meccaniche, la luce non ha bisogno di un
mezzo elastico per propagarsi. Sui vari tentativi di verificare l’esistenza di tale mezzo – definito etere effettuati in particolare da Michelson e Morley alla fine dell’800, Einstein risponde che se un oggetto
non è osservabile non esiste e tanto vale farne a meno.
La seconda è legate alla sua velocità la cui costanza mette in crisi il principio di relatività di Galileo –
in particolare la legge di composizione dei moti - la quale funziona bene soltanto nel mondo
macroscopico delle nostre esperienze quotidiane dove la velocità degli oggetti in movimento è piccola
rispetto alla velocità della luce. Invece, quando i corpi in movimento hanno una velocità confrontabile
con quella della luce la teoria di Galileo risulta incompleta. Per verificare ciò Einstein immagina di
sparare dal treno in movimento invece di proiettili dei fotoni, e questo lo possiamo fare ad esempio
1
inviando un fascio di luce o un segnale radio (come un messaggio con il nostro cellulare!) nel verso del
moto del treno. Ebbene, le onde elettromagnetiche si comportano diversamente dal proiettile poiché sia
l’osservatore sul treno che quello fermo in stazione rilevano la stessa velocità delle onde
elettromagnetiche 3x105 Km/s.
Vale pertanto il seguente Principio di Einstein della costanza della velocità delle onde
elettromagnetiche, che permise di giustificare risultati sperimentali effettuati da Michelson e Mosley
nel 1881:
“La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore per tutti gli osservatori e non è alterata
dal loro moto relativo”
Nota. Il fatto che la velocità delle onde elettromagnetiche e quindi della luce sia finita, vale a dire che luce impieghi un certo
intervallo di tempo per andare dall’oggetto osservato all’osservatore, costituisce un grande vantaggio per gli astronomi.
Permette loro di osservare tutte le fasi dell’evoluzione delle stelle e delle galassie guardando semplicemente nello spazio e
indietro nel tempo. Tutti i tipi di fenomeni che sono avvenuti dalla nascita dell’universo fino ad ora possono effettivamente
essere osservati in qualche punto del cielo. Per andare dal Sole alla Terra, la luce impiega otto minuti, e quindi, in ogni
momento, noi vediamo il Sole come era otto minuti prima. Analogamente, vediamo la stella più vicina come essa era quattro
anni fa, e con i più potenti telescopi possiamo vedere le galassie come erano milioni di anni fa.
Ci si domanda come questa asserzione sia compatibile con il principio di composizione dei moti di
Galileo. Einstein giustificò la contraddizione affermando che, poiché velocità vuol dire spazio diviso
tempo, affinchè la velocità delle onde elettromagnetiche rimanga costante bisogna che lo spazio e il
tempo si modifichino. Vale a dire che lo spazio, il tempo non sono gli stessi per osservatori in moto
relativo l’uno rispetto all’altro. In particolare Einstein formalizzò, inquadrandoli in una teoria unitaria,
i seguenti risultati, in parte già previsti da Lorentz:
Contrazione delle lunghezze. Nella fisica classica si è sempre dato per scontato che un oggetto ha la
stessa lunghezza in moto o in quiete. La teoria della relatività ha mostrato che ciò non è vero. La
lunghezza dell’oggetto dipende dal suo moto rispetto all’osservatore. In particolare l’oggetto si contrae
nella direzione del moto. Più precisamente:

La lunghezza L di un corpo in moto con velocità v , misurata da un osservatore fermo appare più
corta rispetto alla lunghezza propria L’ misurata da un osservatore in movimento con il corpo. In
particolare se con c si indica la velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto, vale la seguente
relazione:
v
(1) L  L ' 1   
c
2
2
v
poichè v  c, 1     1
c
i corpi in movimento appaiono contratti
Dilatazione di tempi. Gli intervalli di tempo, quindi, al contrario delle distanze spaziali diventano
tanto più lunghi quanto più aumenta la velocità rispetto all’osservatore. Ciò significa che gli orologi in
moto rallentano e il tempo scorre più lentamente. In particolare:

La durata di un fenomeno t che interessa oggetti in movimento con velocità v, registrata da un
orologio di un osservatore fermo risulta più lungo dell’intervallo di tempo t’ registrata da un
orologio dell’osservatore in movimento. In particolare:
(2) t 
t '
v
1  
c
2
poichè v  c, t  t ' , i tempi appaiono più lunghi
2
La legge dela dilatazione dei tempi, per quanto possa sembrare incredibile, è facilmente sottoposta a verifica
nella fisica delle particelle, come nel caso dei muoni cosmici (detti anche mesone , o muone a riposo),
particelle subnucleari derivanti dal processo di collisione di particelle altamente energetiche (raggi cosmici)
contro le molecole d’aria dell'alta atmosfera terrestre. Il processo di collisione genera muoni che attraversano
l'atmosfera terrestre ed arrivano al suolo con una frequenza misurata di circa 1cm -2 min-1. La vita media dei
muoni a riposo e` di 2.2 s. Un muone che viaggia ad una velocità prossima a quella della luce, percorrerà in
media una distanza s pari a:
s = 2.2 · 10-6 x 3 · 108 m
cioè circa 660 m prima di decadere. Poiché i muoni sono prodotti nella parte esterna dell’atmosfera che dista
dal suolo circa 15-20 km, la probabilità che un muone raggiunga il suolo è alquanto bassa e non giustifica la
frequenza di arrivo misurata. Se invece si tiene conto della dilatazione dei tempi e si corregge la vita media dei
muoni per il fattore di Lorentz 1/(1-v2/c2) ½ si ottiene una vita media di 189 x 2.2 s ed un percorso medio di 189
x 2.2 · 10-6 x 3 x 108 m, cioè di circa 132 km. Questa nuova stima mostra che una frazione significativa dei
muoni prodotti nella parte superiore dell'atmosfera raggiunga il suolo ed è in ottimo accordo con la frequenza
misurata.
Lo spazio-tempo quadridimensionale
La legge della contrazione delle lunghezze e quella della dilatazione dei tempi mette in evidenza uno
stretto legame tra spazio e tempo. Per Einstein lo spazio non è tridimensionale e il tempo non è una
entità separata. Entrambi sono profondamente e inseparabilmente connessi e formano un continuo
quadridimensionale chiamato spazio-tempo.
Gli effetti relativistici sopra analizzati sembrano strani soltanto perché i nostri sensi non possono fare
alcuna esperinza diretta del mondo quadridimensionale dello spazio-tempo, ma possiamo osservarne
solatnto “immagini” tridimensionali. Questi immagini hanno aspetti differenti in diversi sistemi di
riferimento ; oggetti in moto appaiono diversi da oggetti fermi e orologi in moto scandiscono il tempo
con ritmo diverso. Sono effetti che possono sembrare paradossali se non comprendiamo che essi
sono soltanto le proiezioni nello spazio di fenomeni quadridimensionali, proprio come le ombre sono
proiezioni su un piano bidimensionale di oggetti tridimensionali. Non ha, pertanto, alcun senso
chiedersi quale sia la lunghezza “reale” di un oggetto, proprio come non ha senso chiedersi quale sia
la lunghezza reale della mia ombra poiché cambia a seconda dell’angolo di proiezione. Lo ripetiamo,
analogamente, la lunghezza di un oggetto in moto è la proiezione, su uno spazio tridimensionale, di
un insieme di punti dello spazio-tempo quadridimensionale; essa è diversa in sistemi di riferimento
diversi. Se potessimo visualizzare la realtà dello spazio-tempo quadridimensionale, non ci sarebbe
nulla di paradossale.
Dilatazione della massa ed equivalenza massa-energia
Quando un corpo si muove con velocità v la sua massa misurata da un osservatore fermo appare
incrementata rispetto alla massa propria a riposo mo così come risulta all’osservatore in movimento. In
particolare:
(3) m 

mo
v
1  
c
2
i corpi in movimento appaiono più " pesanti "
Una massa può trasformarsi integralmente in una quantità di energia e l’energia può materializzarsi
in massa secondo la relazione seguente nota come “principio di equivalenza della massa e
dell’energia”
3
(4)
E  m  c2
Alcuni esempi di trasformazione massa-energia e viceversa
1. Quando un elettrone incontra un positrone si annichilano cioè si annullano dando vita a due fotoni
da 0.5 MeV emessi in direzione opposta ciascuna avente energia E = mc2 con m la massa
dell’elettrone.
2. Un fotone di energia elevata (superiore a E = 2mc2) scompare dando luogo ad una coppia di
elettroni, uno positivo e uno negativo.
3. Quando scaldiamo un litro di acqua da 0 a 100 °C per fare la pastasciutta la massa dell’acqua
aumenta di una quantità:
Q = mct = 418 600 J
m = Q/c2 = 4.7 x 10-12 Kg
4. Ogniqualvolta si ha la formazione di particelle legate fra loro a partire da particelle libere si ha una
diminuzione di massa e quindi una liberazione di energia. Ad esempio nelle stelle l’enorme quantità di
energia da esse liberata è dovuta alla fusione di due protoni e di due neutroni, provenienti da atomi di
idrogeno, per formare un nucleo di elio liberando un’energia:
E  mc2  [(2mp  2mn )  m2 He ]c2  [2 1.007276  2 1.008665  4.001523]  (3 108 )2  28.2 MeV
E’ un’energia molto elevata tenendo conto che si tratta di un singolo processo. Si ricordi, a titolo di
esempio, che l’energia di legame delle molecole d’acqua è di circa 6 eV. Da ciò si deduce che
l’energia che si libera durante i processi nucleari è milioni di volte superiore a quella che si può
ottenere dai processi chimici a parità di materiale coinvolto.
Esercizi da risolvere
Es 1. In laboratorio si studia un fascio di particelle radioattive in moto e si calcola che, in media, ogni
particella “vive” per un periodo di tempo pari a 2x10-8 S. La stessa particella a riposo vive in media
0.75x10-8 S. Con quale velocità si muovono le particelle del fascio ?
(2.8x108 m/s)
Es 2. Un sacchetto con 2 Kg di mele viene solevato da Terra e posto su un tavolo alto 30 cm. Quale
aumento subisce la massa del sistema formato dalla Terra e dalle mele in seguito all’incremento
dell’enegia potenziale?
(6.5x10-17 Kg)
Es 3. Un osservatore O’ in moto con velocità v = 0.8 c rispetto a un altro osservatore O, misura un
tempo t’ = 1/10 di secondo. Si determini il corrispondente tempo misurato dall’osservatore O.
( 1/6 sec)
Es 4. Il tempo di vita medio di una particella cosmica con una velocità pari a 0.95 c risulta, da misure
effettuate da osservatori sulla Terra 6 s. Calcolare il tempo di vita medio di queste particelle in un
sistema in cui essi siano in quiete.
(t’ = 1.87x10-6 s)
Es 5. Calcolare la massa di un elettrone che si muove ad una velocità che è la metà di quella della luce
sapendo che la sua massa a riposo è di 9.1x10-31 Kg.
(1.05x10-30 Kg)
4
Es 6. Degli astronauti che viaggiano ad una velocità di 0.99 c, misurano la lunghezza della loro
astronave che risulta essere di 400 m e il volume di un cubo pari a 1000 cm 3. Quale lunghezza e quale
volume viene misurato da un osservatore sulla Terra?
(56.4 m, 600 cm3)
Es 7. A quale velocità deve viaggiare una nave spaziale perché la sua lunghezza risulti contratta al
99 % della sua lunghezza a riposo ?
( v = 0.141 c)
Es 8. A quale velocità un osservatore deve allontanarsi dalla terra in modo che questa gli appaia come
un’ellisse il cui asse maggiore è sei volte il suo asse minore ?
(0.986 c)
LA RELATIVITA’ NELLA FILOSOFIA, NELL’ARTE E NELLA SOCIOLOGIA (cenni)
Le teoria della relatività e la teoria quantistica sintetizzate nei termini “relativo” e “indeterminato”,
hanno avuto notevoli influssi non soltanto nella fisica del ‘900 ma anche nella filosofia, nell’arte e
indirettamente anche nella politica e nella sociologia . Vediamo, ad esempio, come queste teorie hanno
accompagnato la caduta del positivismo che ha dominato la cultura fino agli inizi del’900. Ricordiamo
che i positivisti avevano fiducia nella forza della scienza e dello spirito scientifico, a loro avviso adatti
a rimettere a posto l’intero corpo sociale. Il Positivismo esalta la stabilità politica, il processo di
industrializzazione e gli sviluppi della tecnologia. Arrivano però eventi drammatici quali la prima
guerra mondiale (1914-1918), che ruppe completamente tutti gli equilibri politici e fermò qualunque
iniziativa commerciale e la ingloriosa fine del Titanic (1912), costruito per “volere” umano, che
affonda durante il primo viaggio!
In questo contesto di caos si inserirono le dirompenti scoperte di Einstein e di Heisenberg che
distrussero ogni concetto classico. E’ logico pensare che la gente rimase confusa insicura.
Vi è tuttavia da notare che da parte degli intellettuali si tese ad associare il termine relatività e
incertezza della fisica moderna con il termine soggettività. E’ questa concezione del “tutto è relativo”,
visto come “tutto è soggettivo”, pervase molti artisti, ne sono un esempio Escher e Pirandello.
Per Escher relativo è qualcosa di soggettivo, cioè diverso a seconda dell’osservatore. Infatti affermò:
“.. disegnare è illusione: siamo convinti di vedere un mondo tridimensionale, quando il foglio e invece
soltanto bidimensionale”.
Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, Olanda, 1898 - Baarn, Olanda, 1972), grafico olandese, amava
dire di essere un profano della matematica, ma nello stesso tempo di sentirsi più vicino ai matematici
che non ai suoi colleghi artisti. Nella seconda fase della sua produzione (posteriore al 1935, anno in cui
l'artista lasciò l'Italia, in cui risiedeva nel 1922, per motivi politici) sono evidenti i tentativi di
descrivere visivamente i concetti matematici di infinito, simmetria, paradosso, regolarità, in una serie
di illustrazioni memorabili, frutto di un talento
artistico, grafico e comunicativo, davvero notevoli
L’immagine mostra la litografia Belvedere. Sono evidenti
le anomalie prospettiche che rendono l’oggetto della
rappresentazione ambiguo. Manca una lettura univoca della
spazialità delle parti architettoniche, dal momento che in
esso si possono individuare due soluzioni coesistenti e
contrarie. Infatti, si può raggiungere il secondo piano
dell'edificio rappresentato per mezzo di una scala che è
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nello stesso tempo sia all'interno che all'esterno della costruzione.
Relativity: ciascun abitante vede gli oggetti in un
altro modo e dà loro nomi diversi. Ciò che per
alcuni è il soffitto, per altri è una parete, ciò che
per alcuni è una porta, per altri è un foro nel
pavimento.
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