Soluzioni_prove_F_Gen_I,_F_Gen,_F1_e_F2_del_27-6

FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
I Prova A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
10 CFU
12 CFU
Esercizio n. 1 Si considerino 3 punti geometrici, equispaziati su una circonferenza di raggio R
e centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (vedi figura). Ogni punto
genera una forza centrale Fi= - kri , in cui ri è il vettore posizione rispetto al punto i-esimo. Si
determini la posizione di equilibrio di una massa m, sottoposta all’azione della forza risultante.
La massa m viene poi portata a distanza r dall’origine, nella posizione indicata in figura, e
lasciata libera di muoversi. Si descriva il tipo di moto effettuato dalla massa.
y
P1
m
r
R
x
O
P3
P2
Chiamiamo Ri i vettori che individuano i punti Pi rispetto ad O ed r il vettore posizione di m rispetto ad O si ha:
dalla quale si ricava che il punto di equilibrio è O, come era ovvio aspettarsi vista la simmetria del problema.
Spostando la massa dalla sua posizione di equilibrio, si ottiene un moto armonico di equazione:
P1
Alternativamente si può procedere proiettando le forze ed imponendo l’equilibrio (vedi figura):
R-r
s
 r+R/2
P3
P2
nella quali s rappresenta la distanza di m sia da P2 che da P3 ed r la sua coordinata rispetto ad O. Sostituendo:
ossia si ottiene lo stesso risultato già ricavato precedentemente.
Esercizio n. 2 Una freccia di massa m e lunga L si conficca, ad una distanza x dal centro, in un
bersaglio a forma di disco, girevole intorno ad un suo asse diametrale (in figura è riportata una
vista dall’alto). Sia ID il momento di inerzia del disco calcolato rispetto all’asse di rotazione.
Sapendo che, all’istante dell’urto, la freccia ha velocità v, si calcoli la velocità angolare del
sistema freccia-bersaglio. Si eseguano i calcoli per m=200 g , v=50 m/s , x=10 cm ,
ID=0.05 Kg m2 ed L=50 cm.
L
x
Nell’urto si conserva il momento angolare, per cui:
nella quale If indica il momento di inerzia della freccia rispetto al polo O. Per calcolare I f si ricorre al teorema di
Huygens-Steiner:
Sostituendo If nell’espressione del momento angolare finale, si ricava:
Esercizio n. 3 Due contenitori identici, di sezione , sono posti in comunicazione tramite
un condotto di sezione  << . All’istante t=0 s, uno dei due è riempito di acqua fino ad
una quota h0 mentre l’altro è vuoto. Si ricavi l’espressione della velocità v1 di
abbassamento della superficie libera dell’acqua nel primo recipiente in un istante
generico (vedi figura). Se ne calcoli poi il valore quando il dislivello h tra i due recipienti è
pari ad h0 /2 . Si effettuino i calcoli per  =10 cm2 , =10 m2 ed h0=5 m.
z
h0
z1
1
2
z3
3
z2=O
Facendo riferimento alla figura, che schematizza la situazione all’istante generico t , nell’ipotesi che v1<<v2 si
può scrivere:
Per h=h0 / 2 si avrà quindi:
Esercizio n. 4 Si consideri un recipiente complessivamente adiabatico, chiuso da un pistone
mobile. Al suo interno sono contenuti una mole di gas perfetto monoatomico e un solido di massa
M, dimensioni trascurabili e calore specifico c. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di
equilibrio alla temperatura Ti . Il pistone viene quindi abbassato fino a che la temperatura raggiunge
il valore Tf . Assumendo reversibile la trasformazione termodinamica eseguita, si determinino le
variazioni di entropia dell’universo, del solido e del gas ed il volume finale. Eseguire i calcoli
per Ti =293 K , Vi =0.02 m3 , Tf =303 K , M=0.1 kg , e c=385 cal / kg K .
Per quanto riguarda le variazioni di entropia:
Applicando poi il I principio della termodinamica al gas perfetto si ha:
ma S g  ncv ln(
Tf
Ti
)  nR ln(
Vf
Vi
) ; da cui Vf =0.01 m3
Oppure vista l’adiabaticità della trasformazione globale:
McdT  ncv dT 
nRT
dV
V
; pertanto
gas
M
FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza
massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi
figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ 0+αx, x
essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si
è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti:
I.
m
O
il motore esercita sempre la forza massima FM
II. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile)
Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg.
Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro :
x*
x*
1
0  K  Ltot   FM dx   ( mg ) dx  FM x *  0 mgx *  mg x *2
0
0
2
da cui
x*  2

FM  0 mg 2  FM
 
 0   15.5 m
mg
  mg

Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà
quando tale forza sarà pari a FM:
FM  mg  0   xM  mg

xM 
 x*
1  FM

 0  
 7.7 m
  mg
 2
Esercizio n. 2 Una piattaforma circolare di massa m e raggio R, inizialmente ferma, viene posta in rotazione attorno al
proprio asse applicando per un tempo Δt un momento costante M0. Passato il tempo Δt una persona di massa m’,
inizialmente posta al centro della piattaforma, e schematizzabile come un punto materiale, si sposta in direzione radiale
sulla piattaforma fino a fermarsi a distanza R/2 dal centro. Determinare la velocità angolare del sistema e la forza di attrito
agente sulla persona quando essa si è fermata nella posizione finale.
Eseguire i calcoli per M0= 100 Nm, Δt= 10 s, m= 200 Kg, m’= 70 Kg, R= 5 m.
Detto z l’asse cartesiano coincidente con l’asse di rotazione, la velocità angolare 0 al tempo t si ricava dalla
t
bz   M 0 dt  M 0 t
0

1
mR 20  M 0 t
2

0 
2M 0 t
 0.4 rad / s
mR 2
In seguito, durante lo spostamento della persona agiscono solo forze interne, e quindi si conserva il momento della quantità
di moto tra il momento in cui la persona è ferma nel centro della piattaforma e quello in cui la persona è ferma a distanza
R/2 dal centro. La velocità angolare f in questo istante si calcola allora dalla:
2
1
1
mR 2
2m
R 
2
2
mR 0   mR  m'     f

 f  0
 0
 0.34 rad / s
2
2
2
mR  m' R / 2
2m  m'
 2  
 2
Infine, la forza di attrito Fa nello stato finale deve essere tale che la forza totale nel sistema di riferimento solidale con la
persona (ferma) sia nulla. L’unica forza agente in direzione parallela alla piattaforma è la forza centrifuga m’f2R/2, per cui
Fa  m'  2f
R
 20.3 N
2
Esercizio n. 3 Un rivelatore di onde acustiche compie un moto armonico di periodo T
lungo il segmento AB (vedi figura) di lunghezza 2L. Una sorgente di onde sonore alla
frequenza ν è posta nel punto C, allineato con AB. Nota la velocità VS del suono in aria,
determinare la massima e minima frequenza ricevute dal rivelatore e la sua posizione nel
momento in cui viene percepita la massima frequenza.
Eseguire i calcoli per L= 1 m, T= 3 s, ν= 100 Hz, VS= 343 m/s.
C
A
B
Le frequenze minima e massima rivelate (m e M rispettivamente) si avranno in corrispondenza della velocità massima (in
allontanamento e in avvicinamento alla sorgente) durante il moto armonico. In un moto armonico di pulsazione  e ampiezza A la
velocità massima vale V= A, per cui nel nostro caso
V  L 
2L
 2.1 m / s
T
e di conseguenza
 m 
VS  V
 99.4 Hz
VS
;
 M 
VS  V
 100.6 Hz
VS
;
Naturalmente la frequenza massima (come anche la minima) viene misurata quando il rivelatore passa per il centro del segmento AB,
ossia quando la sua velocità è proprio V.
Esercizio n. 4 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il tutto
è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto
monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi
lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello
stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale.
Determinare il calore specifico del piombo e la variazione totale di entropia.
Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T0= 210 K.
L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al
valore Tf per cui
1 2
kL  Q  cmT f  T0   ncv T f  T0 
2
con
T f  T0 
pV p0V V
 p  p0   0.03 p0V  0.03T0  6.3 K


nR nR nR
nR
Dalla precedente equazione si ricava allora
c
nc
k L2
 v  129 J / KgK


2 m T f  T0
m
Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento isocoro
del gas e del piombo:
S  S g  S m   ncv
T
dT
dT
  mc
 ncv  mc  ln f  0.075 J / K
T
T
T0
FISICA GENERALE (Vecchio Programma)
Cognome
Corso di Studi
Voto
Nome
A.A. 2010-2011
27.06.2011
n. matricola
Docente
Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza
massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi
figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ0+αx, x
essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si
è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti:
m
O
III. il motore esercita sempre la forza massima FM
IV. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile)
Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg.
Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro :
x*
x*
1
0  K  Ltot   FM dx   ( mg ) dx  FM x *  0 mgx *  mg x *2
0
0
2
da cui
x*  2

FM  0 mg 2  FM
 
 0   15.5 m
mg
  mg

Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà
quando tale forza sarà pari a FM:
FM  mg  0   xM  mg

xM 
 x*
1  FM

 0  
 7.7 m
  mg
 2
Esercizio n. 2 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il tutto
è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto
monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi
lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello
stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale.
Determinare il calore specifico del rame e la variazione totale di entropia.
Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T 0= 210 K.
L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al
valore Tf per cui
1 2
kL  Q  cmT f  T0   ncv T f  T0 
2
con
T f  T0 
pV p0V V
 p  p0   0.03 p0V  0.03T0  6.3 K


nR nR nR
nR
Dalla precedente equazione si ricava allora
c
nc
k L2
 v  129 J / KgK
2 mT f  T0  m
Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento isocoro
del gas e del piombo:
S  S g  S m   ncv
T
dT
dT
  mc
 ncv  mc  ln f  0.075 J / K
T
T
T0
Esercizio n. 3 Due anelli circolari di raggio R= 5cm, concentrici e ortogonali rispetto
all’asse z, sono rispettivamente posti nei piani z=0 e z=d, dove d= 3 R. Sulla spira
posta in z=0 è distribuita uniformemente una carica Q1=100 nC mentre sull’altra in z=d
è distribuita una carica Q2=-Q1. Una carica puntiforme q=2 nC viene posta inizialmente
in quiete al centro della spira con carica positiva. Calcolare l’energia cinetica della
carica q quando transita per il centro della spira con carica negativa.
VTOT (z)  V1 z   V2 z  
T 
Q1
4π 0 R  z
2
2

z=d
Q2
z=0
Q1
Q2
4π 0 R 2  (d  z) 2
1
qQ1
=3.6 10-5 J
mv 2  qVTOT  z  0  VTOT  z  d  
2
4 0 R
Esercizio n. 4 Una spira rigida a forma di triangolo isoscele di base AB=40 cm

e angolo al vertice opposto ACB  =80°, percorsa da una corrente stazionaria
di intensità I, è posta in un campo uniforme di induzione magnetica B0=0.8 T
diretto ortogonalmente al piano della spira con verso uscente rispetto alla
figura. Sapendo che la forza che agisce sul lato AB è in modulo FAB=0.6 N,
calcolare le componenti della forza FBC e FAC che agiscono rispettivamente sui
lati BC e AC rispetto al sistema cartesiano xy riportato in figura, dove y è
parallelo al lato AB. Determinare inoltre il valore della corrente I.



FAB  FBC  FAC  0 ; FBC=FAC
FBC , x  FAC , x 
FAB
 0.3 N
2
FBC , y   FAC , y  FBC , x tan 50 
FAB
 1.9 A
AB B0
FAB
tan 50  0.36 N
2
A
x
I
B0
A

B0
FAB
y
B
FBC
B
FAB  2 FBC cos50  2 FBC , x
I
z
C
FAC

C
FISICA GENERALE (Vecchio Programma)
Cognome
Corso di Studi
Voto
I Prova A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
y
Esercizio n. 1 Si considerino 3 punti geometrici, equispaziati su una circonferenza di raggio R
P1
e centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (vedi figura). Ogni punto
genera una forza centrale Fi= - kri , in cui ri è il vettore posizione rispetto al punto i-esimo. Si
m
r
R
determini la posizione di equilibrio di una massa m, sottoposta all’azione della forza risultante.
O
La massa m viene poi portata a distanza r dall’origine, nella posizione indicata in figura, e P
P2
3
lasciata libera di muoversi. Si descriva il tipo di moto effettuato dalla massa.
Chiamiamo Ri i vettori che individuano i punti Pi rispetto ad O ed r il vettore posizione di m rispetto ad O si ha:
x
dalla quale si ricava che il punto di equilibrio è O, come era ovvio aspettarsi vista la simmetria del problema.
Spostando la massa dalla sua posizione di equilibrio, si ottiene un moto armonico di equazione:
Alternativamente si può procedere proiettando le forze ed imponendo l’equilibrio (vedi figura):
P1
R-r
s
 r+R/2
P3
P2
nella quali s rappresenta la distanza di m sia da P2 che da P3 ed r la sua coordinata rispetto ad O. Sostituendo:
ossia si ottiene lo stesso risultato già ricavato precedentemente.
Esercizio n. 2 Si consideri un recipiente complessivamente adiabatico, chiuso da un pistone
mobile. Al suo interno sono contenuti una mole di gas perfetto monoatomico e un solido di massa
M, dimensioni trascurabili e calore specifico c. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di
equilibrio alla temperatura Ti . Il pistone viene quindi abbassato fino a che la temperatura raggiunge
il valore Tf . Assumendo reversibile la trasformazione termodinamica eseguita, si determinino le
variazioni di entropia dell’universo, del solido e del gas ed il volume finale. Eseguire i calcoli
per Ti =293 K , Vi =0.02 m3 , Tf =303 K , M=0.1 kg , e c=385 cal / kg K .
gas
M
Per quanto riguarda le variazioni di entropia:
Applicando poi il I principio della termodinamica al gas perfetto si ha:
Per quanto riguarda il calore scambiato dal solido, possiamo porre:
nella quale, vista l’adiabaticità del contenitore, si è imposto che tutto il calore ceduto dal gas venga assorbito dal
solido. Sostituendo:
Esercizio n. 3 Un condensatore piano, a facce parallele quadrate di lato a=10 cm poste a
distanza d=2 mm è completamente riempito con un dielettrico con costante dielettrica relativa
r=6. Il condensatore è isolato con una differenza di potenziale tra le armature V1=20 V. Si calcoli
di quanto si deve estrarre il dielettrico affinché la differenza di potenziale si porti ad un valore V2
V1 e la variazione di energia potenziale una volta che il dielettrico è stato estratto di tale
entità.
a
x
  a2
Q
; C1  0 r
=0.26 nF
C1
d
Q
a
; C 2  0 a  x  r  x
V2 
d
C2
V1
a r
; x
C 2  C1
 6 cm ; C2=0.13 nF
2 r - 1
V2
V1 
U FIN - U IN 
Q2  1
1  V 2C C  C2 
    1 1 1
 5.2 10-8 J
2  C2 C1 
2
C2
Esercizio n. 4. Un solenoide molto lungo avente sezione circolare di raggio R e densità di spire n è percorso
inizialmente da una corrente I0. All’istante t=0, l’intensità della corrente inizia a variare secondo la legge
t
 

It   I 0 1  e τ  . Determinare il valore e la forma delle linee di forza del campo elettrico in ogni punto dello


spazio interno ed esterno al solenoide.

 
d
E dl  
dt

 
B  dS
E
S


t
d
I
r<R 2r E 
r 2 B  r 2 0 n 0 e  
dt

r > R 2r E 


t
d
I
R 2 B  R 2 0 n 0 e  
dt

t
 nrI
E  0 0 e
2
E
B
 0 nR 2 I 0  t
e
2r
Le linee del campo E sono circolari e ruotano in verso orario in un piano disposto ortogonalmente alle linee di forza di B, con B diretto
in verso uscente .
FISICA 1
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza
massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi
figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ0+αx, x
essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si
è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti:
m
O
V. il motore esercita sempre la forza massima FM
VI. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile)
Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg.
Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro :
x*
x*
1
0  K  Ltot   FM dx   ( mg ) dx  FM x *  0 mgx *  mg x *2
0
0
2
da cui
x*  2

FM  0 mg 2  FM
 
 0   15.5 m
mg
  mg

Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà
quando tale forza sarà pari a FM:
FM  mg  0   xM  mg

xM 
 x*
1  FM

 0  
 7.7 m
  mg
 2
Esercizio n. 2 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il tutto
è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto
monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi
lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello
stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale.
Determinare il calore specifico del rame e la variazione totale di entropia.
Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T 0= 210 K.
L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al
valore Tf per cui
1 2
kL  Q  cmT f  T0   ncv T f  T0 
2
con
T f  T0 
pV p0V V
 p  p0   0.03 p0V  0.03T0  6.3 K


nR nR nR
nR
Dalla precedente equazione si ricava allora
c
nc
k L2
 v  129 J / KgK
2 mT f  T0  m
Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento isocoro
del gas e del piombo:
S  S g  S m   ncv
T
dT
dT
  mc
 ncv  mc  ln f  0.075 J / K
T
T
T0
FISICA 2
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2010-2011
Nome
n. matricola
Docente
Esercizio n. 3 Due anelli circolari di raggio R= 5cm, concentrici e ortogonali rispetto
all’asse z, sono rispettivamente posti nei piani z=0 e z=d, dove d= 3 R. Sulla spira
posta in z=0 è distribuita uniformemente una carica Q1=100 nC mentre sull’altra in z=d
è distribuita una carica Q2=-Q1. Una carica puntiforme q=2 nC viene posta inizialmente
in quiete al centro della spira con carica positiva. Calcolare l’energia cinetica della
carica q quando transita per il centro della spira con carica negativa.
VTOT (z)  V1 z   V2 z  
T 
Q1
4π 0 R  z
2
2

z
z=d
Q2
z=0
Q1
Q2
4π 0 R 2  (d  z) 2
1
qQ1
=3.6 10-5 J
mv 2  qVTOT  z  0  VTOT  z  d  
2
4 0 R
Esercizio n. 4 Una spira rigida a forma di triangolo isoscele di base AB=40 cm

e angolo al vertice opposto ACB  =80°, percorsa da una corrente stazionaria
di intensità I, è posta in un campo uniforme di induzione magnetica B0=0.8 T
diretto ortogonalmente al piano della spira con verso uscente rispetto alla
figura. Sapendo che la forza che agisce sul lato AB è in modulo FAB=0.6 N,
calcolare le componenti della forza FBC e FAC che agiscono rispettivamente sui
lati BC e AC rispetto al sistema cartesiano xy riportato in figura, dove y è
parallelo al lato AB. Determinare inoltre il valore della corrente I.



FAB  FBC  FAC  0 ; FBC=FAC
FBC , x  FAC , x 
FAB
 0.3 N
2
FBC , y   FAC , y  FBC , x tan 50 
FAB
 1.9 A
AB B0
FAB
tan 50  0.36 N
2
A
x
I
B0
A

B0
FAB
y
B
FBC
B
FAB  2 FBC cos50  2 FBC , x
I
27.06.2011
C
FAC

C