TERNE
PITAGORICHE
Si chiama pitagorica una terna a, b, c di numeri naturali per i quali valga la relazione a² + b² = c²
tali quindi da essere le misure dei lati di un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c.
Non solo infatti in ogni triangolo rettangolo vale necessariamente la relazione, in base al teorema di
Pitagora, ma essa è pure sufficiente: se infatti si suppone valida (per ipotesi) la relazione,
costruendo un triangolo rettangolo R di cateti a e b esso dovrà necessariamente avere ipotenusa
pari a c; ma allora un altro qualsiasi triangolo T di lati a, b e c, avendo i lati coincidenti con quelli di
R, in base al 3°criterio di congruenza dei triangoli risulterà uguale ad R, quindi rettangolo, c.v.d.
La terna pitagorica più nota – possiamo dire la terna pitagorica per eccellenza, nota già agli antichi
Egizi – è ovviamente quella formata dai numeri 3, 4, 5 ma si verifica subito che ogni altra terna
costituita da numeri proporzionali ad essa (cioè del tipo 3k, 4k, 5k essendo k un qualsiasi numero
naturale non nullo) è ancora pitagorica ma solo la prima risulta primitiva, in quanto formata da tre
numeri primi tra loro. Oltre alla terna primitiva suddetta tutti ne conosciamo altre, ad es. 5, 12, 13,
ma è legittimo chiedersi se esse siano in numero finito oppure infinite e, quale che sia la risposta,
possiamo ancora domandarci: esiste una regola per ottenerle ? E se tale risposta è affermativa,
possiamo, applicandola, ottenerle tutte o solo alcune ?
Ci proponiamo di dimostrare che, limitandoci a considerare le terne primitive (le altre sono subito
riconducibili ad esse per semplice semplificazione) vale il seguente Teorema:
1) esistono infinite terne primitive
2) ciascuna di esse si ottiene mediante le seguenti equazioni parametriche:
a = r² - s²
b = 2 r s c = r² + s²
dove r ed s sono due qualsiasi numeri naturali (con r > s > 0) il 1° pari e il 2° dispari o viceversa.
Dimostrazione: Osserviamo innanzitutto che se a, b sono pari anche c lo è e quindi la terna non
sarebbe più primitiva. Se invece a e b sono entrambi dispari lo saranno pure a² e b² e quindi
c² (somma di essi) sarà pari, ma in quanto quadrato sarà divisibile non solo per 2 ma per 4. Ciò
risulta invece impossibile in quanto, posto a = 2p +1, b = 2q + 1 risulta allora:
a² + b² = (2p +1)² + (2q +1)² = 4p² + 4p + 1 + 4q² + 4q + 1 = 4(p² + p + q² + q )+ 2 .
Pertanto ogni terna primitiva deve necessariamente avere un solo termine pari, a oppure b,
(per noi è b=2rs) e quindi il triangolo rettangolo avrà un solo cateto di misura pari, non l’ipotenusa.
D’altra parte a² + b² =c² (a / c)² + (b / c)² = 1 cioè X² + Y² = 1 (avendo posto X = a/c, Y = b/c)
e poiché X, Y > 0 si può ancora porre: X = cos , Y = sin , con 0° < < 90° e finalmente,
usando le espressioni parametriche di seno e coseno si avrà:
1 – m²
2m
X = ---------- , Y = -------- , con 0 < m < 1 essendo, com’è noto, m = tg --- . In definitiva:
1 + m²
1 + m²
2
La terna a, b, c è pitagorica X = a/c e Y = b/c sono numeri razionali tali che: X = (1-m²)/(1+m²)
Y = 2m /(1+m²)
Per completare la dimostrazione occorre ancora provare che :
X e Y sono razionali (cioè frazioni) m è razionale
E’ infatti sufficiente che m sia razionale perché lo siano pure X e Y: essi infatti si ottengono a
partire da m mediante le sole quattro operazioni (e l’unico denominatore è 1+ m² 0);
è poi pure necessario in quanto, se si suppongono X e Y razionali, essendo:
1 – m²
1-X
X = ---------- X (1 + m²) = 1 - m² m² (X + 1) = 1 – X m² = -------- cioè m² è razionale;
1 + m²
1+X
2m
essendo poi Y = ---------- m = ½ Y( 1 + m² ) è razionale in quanto prodotto di razionali.
1 + m²
a
1 - s²/r²
b
2 s/r
In definitiva, detto m = s /r , la terna a, b, c è pitagorica X= --- = ------------ ; Y= ---- = ----------r² - s²
2rs
c
1 + s²/r²
c
1 + s²/r²
e quindi a = -------- c; b = -------- c ma dovendo essere a, b, c interi e primi tra loro, non potrà
r² + s²
r² + s²
essere che: c = r² + s², da cui a = r² - s², b = 2rs (termine pari) con r ed s naturali qualsiasi (quindi
soluzioni: vale la 1)) ma tali che valga la 2) (per escludere a, b, c pari) e b allora multiplo di 4.
