A25_exp_Huygens_diffraz

Onde Appendice - 25
1
A-25 Principio di Huygens e diffrazione .
E’ data un’onda piana , monocromatica
  0 expi (t  kx)
Un fronte d’onda, ad un certo istante, occupa la
posizione presentata in Figura F[A25-1].
Secondo il principio di Huygens-Fresnel la
perturbazione nel punto P (che si trova a distanza x dal
fronte d’onda) può essere calcolata come la
sovrapposizione di tutte le perturbazioni elementari che
partono da tutti i punti del fronte d’onda, ciascuna con
la fase che le compete.
Tracciamo da P la perpendicolare al fronte d’onda e sia
O il suo piede; dividiamo poi il fronte d’onda in areole
elementari (corone circolari di centro O , di raggio
generico  e larghezza dconvenienti perché, essendo
i loro punti equidistanti da P, forniscono in P contributi
in fase tra loro) .
La perturbazione che giunge in P dalla generica corona circolare (che dista r da P) è proporzionale
all’area della superficie elementare (che vale 2.d ) e inversamente proporzionale (poiché le
onde elementari sono sferiche) alla distanza r da P. Essa vale:

[1]
d   A 0 2. d.expit  ikr
r
ik
dove A è una costante opportuna (1) che possiamo scrivere A 
. La somma di tutte le
2
perturbazioni che giungono in P provenendo da tutti i punti del fronte d’onda può essere scritta
come
a)
P  A
0
r


2.exp it .exp  ikr . d
0
L’integrale dovrebbe essere eseguito in modo da ricoprire tutto il fronte d’onda, cioè per  che
varia fra 0 e  Per sviluppare l’integrale si osservi che r 2   2  x 2 da cui differenziando

2r . dr  2 . d ; chiamando R la distanza da P di un punto generico Q del fronte d’onda, la
somma in P di tutte le perturbazioni diviene (con i nuovi estremi di integrazione):
r
2A0
[2]
P  A0 2 expit   exp  ikr dr  
expit .exp  ikR  exp  ikx
r
ik
x
Ora, per coprire tutto il fronte d’onda, se ne dovrebbe prendere il limite per R   .
Sfortunatamente (vedi anche nota (2) § c) pag. 4) il limite non esiste. Svilupperemo il calcolo
corrispondente in § c) pag. 4. Per ora limitiamoci a considerare una porzione finita del fronte
d’onda, limitata dalla circonferenza che passa per Q.
R
1
Kirchhoff ha mostrato che il principio di Huygens-Fresnel soddisfa al teorema sulla propagazione delle onde (che porta
il suo nome) se l’onda elementare può essere espressa come la [1], con un valore appropriato della costante A .
Quest’ultima, che tiene anche conto del fattore di obliquità (che lo stesso Kirchhoff mostrò annullarsi per e
non per /2 , come aveva in un primo tempo supposto Fresnel) nel nostro caso (onda incidente piana), con il punto
P non troppo vicino allo schermo, può essere approssimata con l’espressione indicata.
Onde Appendice - 25
2
Ricordando il valore di A , prendendo la parte immaginaria e usando le formule di prostaferesi:
P  
2.ik .0
2t  k ( R  x)
 k ( R  x)
sen t  kR  sen t  kx  0 .2 cos
sen
ik 2
2
2
L’energia (cioè l’intensità, proporzionale a  diviene:
k
2


k
2
P2  402 cos2 t  k ( R  x ) sen2   R  x    402 cos2  .......sen2 


2  x2  x 

[3]
poiché R  2  x 2 è la distanza di P da un punto generico Q del fronte d’onda.
Il valore medio di cos2 in un periodo è ½ ; resta la funzione sen2 (funzione di  e di x) a descrivere
l’andamento dell’intensità in funzione della distanza x di P da O.
b) Se sul cammino dell’onda si trova, parallelo al fronte d’onda, uno schermo piano, indefinito,
opaco che reca un foro circolare, centrato con OP , di raggio a , al posto di  si può porre a e la [3]
diviene:
1
k
2P  420 sen2 
2
2



a2  x2  x 

[4]
I(intensità)
La [4] può essere analizzata per due versi: 1) variando a
con x costante; 2) variando x con a costante.
1
0.8
Caso 1) (x=costante) :
esso porta a definire le zone di Fresnel .
0.6
0.4
Al crescere di a , l’intensità dell’onda nel punto P oscilla
0.2
fra zeri e massimi (che nella figura F[A25-2] sono stati
normalizzati a 1 - Nella stessa figura in ascissa è
0.5
1
1.5
2
2.5
3
riportato a, in unità arbitrarie) .
Si chiamano Zone di Fresnel le corone circolari
Fig. F[A25-2]
tracciate sul fronte d’onda e costruite nel modo seguente:
la generica corona circolare (Zona di Fresnel di ordine m) ha come circonferenza interna il luogo dei

punti che hanno da P distanza rm  x  (m  1) (m=1,2,3..) e come circonferenza esterna il luogo
2

dei punti che hanno da P distanza rm1  x  m
(la Zona centrale [m=1] è un cerchio).
2
I contributi che arrivano da Zone di Fresnel adiacenti, in P sono complessivamente in opposizione
di fase tra loro.
 .(4 x   )
Il primo massimo si ottiene per a0 
  .( x   4 ) . In queste condizioni il contributo infinitesimo
2
che arriva in P dalla areola centrale è in opposizione di fase con il contributo infinitesimo che proviene dal bordo
esterno del foro circolare. a0 è il raggio della prima Zona di Fresnel. (Zona centrale) Per   510
. 7 metri alla distanza
x di 2 metri (trascurando  rispetto a x ) risulta a0  103 metri cioè 1 millimetro!.
Il primo minimo (zero) si ottiene per a1  .(2x   ) e in queste condizioni si scoprono la prima e la seconda zona di
Fresnel . A mano a mano che il numero di Zone consecutive scoperte è dispari o pari si hanno rispettivamente dei
massimi o degli zeri.
Si noti che, per le prime zone di Fresnel, il loro raggio è praticamente proporzionale alla radice quadrata dei primi
numeri interi (e così anche appare nella figura 2 ; nella quale si può, in prima approssimazione, considerare l’ascissa a
. 7 metri e x = 2 metri ).
espressa in millimetri - se, come si è fatto nell’esempio precedente, si considerano   510
a
Onde Appendice - 25
3
Discutiamo ora il caso 2) (x variabile e a=costante)
Se x >>a , si possono eventualmente semplificare i calcoli sviluppando la radice che figura nella
[4], troncando al secondo termine e si ottiene :
 
 1 2
 2
1
a2
2 k
2 ka
  B sen   x 
 x   B0 sen 

2
2x
 2
 4x 
2
2
P
2
0
Grafici dell’intensità (normalizzata a 1) al variare della distanza x (ascisse in unità arbitrarie) di P da O.
I grafici sono stati ottenuti elaborando al computer l’equazione completa [4].
I
I
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
1
2
3
4
5
A maggiore distanza da O :
I
I
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
5
10
15
20
x
10
20
30
40
50
x
Sull’asse del foro si alternano, col crescere della distanza dallo schermo (e non equidistanti fra
loro!), punti di zero con punti di massimo (a seconda che le zone di Fresnel che via via si scoprono
siano rispettivamente in numero pari o dispari). Allontanandosi molto dallo schermo però questa
alternanza cessa e la perturbazione si estingue lentamente con la distanza: attorno all’ascissa 30
dell’ultima figura può approssimativamente essere posto il limite di demarcazione fra le zone in cui
studiare la diffrazione secondo Fraunhofer (a destra) e secondo Fresnel (a sinistra).
x
Onde Appendice - 25
4
c) Se invece vogliamo vedere che cosa accade quando il foro diviene grande (al limite tutto il fronte
d’onda sia scoperto) potremmo pensare di prendere il limite della [2] per a   cioè R   .
Abbiamo già detto però che la [2], all’estremo superiore dell’integrale, non converge (2). Occorre
ripartire dalla [1], reintegrandola con un artificio matematico.
Moltiplichiamo la [1] per exp[r ] , dove  è un opportuno parametro reale positivo; con ciò,
l’onda rappresentata dalla [1] si estingue a una certa distanza da O ; con questa artificio l’integrale
della [1] converge. Faremo successivamente tendere  a zero nel risultato dell’integrale, trovando
così la soluzione cercata. Per R   l’integrale diviene:


0
P  A 2r exp it   exp ikr .exp r  dr  A0 2 exp it   exp (ik  )r  dr
r
x
x
Eseguiamo l’integrale e chiamiamo per brevità C  2A0 tutte le costanti moltiplicative





1
exp[ikr ] 

P  C exp[it ]. 
exp (ik  ). r    C exp[it ]. exp[r ]
(ik  )  x
  ik  
x

All’estremo superiore ( r   ) la frazione si mantiene finita (2) mentre il fattore exp[ r ] tende a
zero quando r tende all’infinito; della parentesi resta quindi soltanto il risultato all’estremo
inferiore:
P   C.exp[it ].exp[x ].
P 
C
exp[it ].exp[ikx]
ik
exp[ikx ]
(ik  )
e passando poi al limite per  che tende a zero :
Reintroducendo i valori di C e di A , si ha infine:
P  0 exp[i (t  kx )]
[5]
che rappresenta proprio l’onda piana in P (punto che dista x da O).
Si noti che per raggiungere questo risultato (apparentemente banale) è stato fondamentale introdurre
ik
nella [1] la costante A 
(e, con essa, il fattore di obliquità).
2
2
Al crescere di
Rr
, sia la parte reale che la parte immaginaria dell’esponenziale complesso
exp[ikR]  cos kR  i sen kR oscillano fra 1 e -1 , non convergono però si mantengono finiti.
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5