Primo compito di esonero di Elettricita’ e Magnetismo A. A. 2002-2003 (Proff. B. Borgia, A. Frova, G. Marini) 17 Febbraio 2003 Nello svolgimento del compito dare priorità al primo esercizio 1) Su un conduttore sferico A di raggio R1=40 cm è depositata una quantità di carica QA. Il conduttore A è posto al centro di una calotta sferica conduttrice B di raggio interno R2=50 cm e raggio esterno R3. Sulla superficie esterna di B è depositata una quantità di carica QB. Sia V(R2) -V(R1) = - 4.5·103 V la differenza di potenziale tra i conduttori B ed A e sia F=1.5·10-6 N l’intensità della forza repulsiva a cui è sottoposta una carica di prova q=1.3·10-10 C posta all’esterno del sistema a distanza D=2.0 m dal suo centro O. I conduttori sono isolati. Assumendo che la presenza della carica q non alteri in maniera apprezzabile la distribuzione delle cariche sui conduttori, determinare: a) il valore della quantità di carica presente su ciascuno dei due conduttori; b) la variazione di energia elettrostatica del sistema dei due conduttori tra dopo e prima che la superficie di A e quella interna di B vengano collegate tra loro da un filo conduttore di capacità trascurabile. R3 R2 D q R1 O A A B a) B b) 2) Si consideri il sistema composto da un guscio sferico isolante di raggio R=10 cm, uniformemente carico con densità superficiale =3.510-8 C/m2, e da un filo rettilineo indefinito, uniformemente carico con densità lineare =4.010-9 C/m, passante per il centro O del guscio senza che i due isolanti siano in contatto tra loro. a) Determinare le due componenti del campo elettrico, E// ed E, rispettivamente parallela e perpendicolare al filo, nei punti appartenenti ad una retta r passante per il centro O ed inclinata di = /6 rispetto al filo (si veda figura). In particolare, si calcolino i valori per r=5.0 e 15 cm. b) Si calcoli il lavoro necessario per spostare una carica q=6.410-10 C lungo la retta r da un punto P posto 2.0 cm all’interno del guscio ad un punto P’ posto 2.0 cm all’esterno del guscio. r E// P’ α O P E Soluzione Esercizio 1 Siano QA e QB le cariche distribuite sul conduttore A e B rispettivamente. Tenendo conto dell’induzione elettrostatica tra i due conduttori si realizza una situazione come quella in figura. QA - QA (a) La differenza di potenziale tra i conduttori B e A è data da: Q R R2 , da cui QA=1.0·10-6 C. V ( R2 ) V ( R1 ) A 1 40 R1 R2 QB + QA La forza repulsiva sperimentata dalla carica di prova q è data da F q QA QB , da cui, nota QA, 40 D 2 QB=4.1·10-6 C. (b) L’energia elettrostatica del sistema può essere calcolata da U 1 0 E 2 d 2 tutto lo spazio Prima del collegamento si ha E E E E 0 QA 40 r 2 0 r R1 R1 r R2 R2 r R3 QA QB 40 r 2 da cui U i 1 QA2 2 40 R2 R1 1 (QA QB ) 2 R2 R1 2 40 R3 r R3 Dopo il collegamento si ha E 0 QA QB E 4 r 2 0 r R3 r R3 1 QA2 Infine, Uf-Ui= 2 40 da cui U f 1 QA QB 2 40 R3 R2 R1 = - 2.310-3 J. R2 R1 2 Soluzione Esercizio 2 Indicando con E ed E rispettivamente i campi elettrici generati dal guscio sferico e dal filo sulla retta r, tramite il teorema di Gauss si ottiene: rR 0 2 E nˆ (con n̂ versore normale al filo) E R ˆ r r R 2 r sin 0 r 2 0 Le due componenti del campo elettrico parallela (E//) ed ortogonale (E) al filo lungo la direzione definita dalla retta r sono: rR rR 0 2 r sin 2 0 E E// R cos r R R 2 r 2 sin r R 0 20 r sin 0 r 2 Numericamente: E// (r=5 cm)=0 E (r=5 cm)=2.9·103 V/m E// (r=15 cm)=1.5·103 V/m E (r=15 cm)=1.8·103 V/m Per il calcolo del lavoro posso considerare separatamente il contributo dei due campi: R 2 sin P P 2 R2 R dr ds L qV P V P q E dl q E E dl q 2 0 r 20 s P P R R 2 sin R 2 1 1 R 2 8 q ln 6.1 10 J R R 2 2 R 2 0 0