Lezione del 2 marzo 2007

Lezione dl 31 marzo 2008
Dai risultati precedenti segue che, dati i numeri naturali a,b,m con m>1 e fissata (se d=mcd(a,m)b)
una soluzione x=x0 della congruenza axb (mod m), poiché tutte le soluzioni della stessa
congruenza sono gli elementi della classe di congruenza modulo m/d rappresentata da x0, la
riduzione modulo m/d di x0 è anch’essa una soluzione ed è l’unica con valore compreso fra
0,1,…,(m/d)-1: tale soluzione è detta soluzione canonica della congruenza.
Esempio:
Risolviamo la congruenza 36x10 (mod 14).
Con l’algoritmo Euclideo, operando n=4 divisioni, otteniamo che d=mcd(36,14)=2, divisore di
b=14.
Per calcolare i coefficienti interi z, w tali che 2=36z+10w, si costruiscono le successioni s i , ti (con
i=0,1,2,3,4,5) di cui si è parlato nell’Algoritmo Euclideo esteso, e si trovano i valori:
z=s4=2, w= -t4= 5.
Una soluzione x della congruenza è data allora da x=tz=10 (dove t=b/d=5).
Tutte le soluzioni sono i numeri della forma 10+k(m/d)=10+7k, con k intero relativo (quindi gli
elementi della classe di congruenza rappresentata da 10 modulo m/d=7) e la soluzione canonica è
10mod7=3 (l’unica compresa fra 0,1,2,…,6).
Teorema Cinese del Resto.
In un manoscritto cinese del III° sec. a.C. si trova il seguente problema: trovare un intero positivo x
che diviso per 3 dia resto 1, diviso per 5 dia resto 2, diviso per 7 dia resto 3.
Nel linguaggio delle congruenze si tratta di trovare un intero positivo tale che xmod3=1, xmod5=2,
xmod7=3, e quindi una soluzione intera positiva x del seguente sistema di congruenze di primo
grado nell’incognita x:
x  1(mod 3)

x  2 (mod 5)
x  3 (mod 7)

Studieremo dunque i sistemi di congruenze di primo grado nell’incognita x in cui il coefficiente
della x sia = 1:
x  b1 (mod m1 )
x  b (mod m )
2
2

(*)
.....
......

x  b n (mod m n )
(dove sono fissati i termini noti bi interi >0, i moduli mi interi >1 e il numero n>1 delle congruenze).
Studiamo prima il caso di 2 congruenze:
Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso di 2 congruenze).
Nel sistema (*), con n=2, se i moduli m1,m2 sono coprimi esiste una soluzione intera x=x0 del
sistema e inoltre le soluzioni intere x1 del sistema sono tutti e soli i numeri x1x0 (mod m1m2)
(quindi gli elementi della classe di congruenza x 0 m1m2 rappresentata da x0 modulo m1m2).
Dimostrazione:
Le soluzioni della prima congruenza del sistema sono tutti gli interi della classe di congruenza
rapprresentata da b1 modulo m1, dunque gli interi della forma x=b1+m1y, dove y varia fra gli interi
relativi. Imponiamo la condizione che uno di tali interi x sia soluzione anche della seconda
congruenza, ottenendo la seguente congruenza di primo grado nell’incognita y:
m1y(b2-b1) (mod m2)
Sappiamo che tale congruenza ha qualche soluzione y=y0 perché mcd(m1,m2)=1 è ovviamente
divisore della differenza (b2-b1). Ponendo x0=b1+m1y0 otterremo una soluzione del sistema.
E’ facile verificare che ogni numero intero x1x0 (mod m1m2) è anche soluzione del sistema, in
quanto x1x0b1 (mod m1) e x1x0b2 (mod m2).
Viceversa se x1 è soluzione intera del sistema, allora x1x0b1 (mod m1) e x1x0b2 (mod m2),
dunque m1,m2 sono divisori di (x1-x0), e per una proprietà dei numeri coprimi anche il prodotto
m1m2 è divisore di (x1-x0), ossia x1x0 (mod m1m2).
Esempio.
Risolviamo il sistema formato dalle prime 2 congruenze del problema del manoscritto cinese:
x  1(mod 3)

x  2 (mod 5)
Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=1+3y, con y intero, e imponendo che siano
soluzioni anche della seconda si ottiene la congruenza di primo grado in y:
3y1 (mod 5)
Una soluzione è y=ts, dove t si ottiene dividendo il termine noto 1 per il mcd(3,5)=1(quindi t=1), ed
s è il coefficiente di 3 nella rappresentazione di 1=mcd(3,5) come combinazione lineare di 3 e 5:
quindi da 1=32+5(-1) segue s=2. Si ha y=2, e una soluzione del sistema è allora x=1+3y=7: tutte le
soluzioni del sistema sono i numeri della classe di congruenza [7]15 rappresentata da 7 modulo 15,
dunque tutti gli interi della forma 7+15k, con k intero relativo (per esempio i numeri -8, 22, 37
etc…).
Nel caso generale di n congruenze si ottiene un risultato analogo a quello del caso n=2:
Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso generale di n congruenze).
Nel sistema (*), con n>1 qualunque, se i moduli m1 sono a due a due coprimi esiste una soluzione
intera x=x0 del sistema e inoltre le soluzioni intere x1 del sistema sono tutti e soli i numeri x1x0
(mod m1m2…mn) (quindi gli elementi della classe di congruenza x 0 m1m2 ... mn rappresentata da x0
modulo m1m2…mn).
Dimostrazione:
Per induzione (Ia forma) su n, con base n=2.
Per n=2 la tesi segue dal Teorema precedente.
Supponiamo il Teorema vero per n e dimostriamolo per n+1.
Dato il sistema di n+1 congruenze:
x  b1 (mod m1 )
x  b (mod m )
2
2

.....

......

x  b n 1 (mod m n 1 )
Per induzione esiste una soluzione intera z del sistema formato dalle prime n congruenze, e inoltre
tutte e sole le soluzioni di tale sistema sono z (mod m1m2…mn). Dunque il sistema di n+1
congruenze dato equivale al sistema di 2 congruenze:
x  z (mod m1m 2 ...m n )

x  b n 1 (mod m n 1 )
Notiamo che i moduli delle 2 congruenze sono coprimi: se per assurdo d=mcd(m 1m2…mn,mn+1)>1,
considerato un divisore primo p di d sarebbe p divisore del prodotto m1m2…mn (quindi p divisore di
qualche mi con i=1,2,…,n) e di mn+1, contro l’ipotesi che mi,mn+1 sono coprimi.
Per il Teorema precedente (il caso di 2 congruenze) si ha la tesi per n+1: il sistema ha soluzione x0 e
le soluzioni sono tutti e soli gli interi x0 (mod m1m2…mn+1).
Fissata una soluzione x=x0 del sistema (*), poiché tutte le soluzioni del sistema sono gli elementi
della classe di congruenza modulo m1m2…mn rappresentata da x0, la riduzione modulo m1m2…mn
di x0 è anch’essa una soluzione ed è l’unica con valore compreso fra 0,1,…, m1m2…mn-1: tale
soluzione è detta soluzione canonica del sistema (ovviamente essa è anche la minima soluzione 0
del sistema)
Esempio.
Risolviamo il sistema formato dalle 3 congruenze del problema del manoscritto cinese:
x  1(mod 3)

x  2 (mod 5)
x  3 (mod 7)

Abbiamo già risolto il sistema formato dalle prime 2 congruenze, le cui soluzioni sono 7 (mod 15).
Il sistema dato equivale allora al sistema di 2 congruenze:
x  7 (mod 15)

x  3 (mod 7)
Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=7+15y con y intero, e imponendo che
siano soluzioni della seconda si ottiene la congruenza in y:
15y -4 (mod 7)
una cui soluzione è y=rs , dove r=-4/mcd(15,7)= -4, s è il coefficiente di 15 nella rappresentazione
di 1=mcd(15,7) come combinazione lineare di 15, 7 (si ha 1=151+7(-2), quindi s=1), e si ha y=-4.
Una soluzione del sistema iniziale è allora x=7+15(-4)= - 53.
La soluzione canonica del sistema è la riduzione (-53)mod(357)=(-53)mod105=52 (è l’unica
compresa fra 0,1,…,104). Quindi x=52 è la soluzione (minima) del problema del manoscritto
cinese.