Laboratorio di Teoria dei Giochi: giochi 3x3 e induzione retrograda
Per risolvere i giochi 3x3 seguire il seguente metodo risolutivo, illustrato nel dettaglio, tramite un esempio,
nelle fotocopie:
Primo passo: data la matrice G del gioco, ricercare la presenza di un eventuale punto di sella. Se esiste si
individuano le strategie pure ottimali.
Se non si perviene a soluzione ...
Secondo passo: ricercare se ci sono strategie di A dominate o di B dominanti da eliminare. Se ce ne sono
allora il gioco si può ridurre ad uno del tipo 2x3, 3x2 o 2x2 e quindi risolverlo con i metodi noti.
Se non si perviene a soluzione …
Terzo passo: ricercare una coppia di strategie miste, una per ciascun giocatore, secondo il metodo delle tre
strategie attive:
si trova la matrice M (di dimensione 3x2), nella quale la prima colonna è C1 – C2 (C1 e C2 sono le prime due
colonne della matrice G del gioco) e la seconda colonna è C2 – C3. La frequenza possibile di A1 è il modulo
del determinante della matrice che si ottiene da M eliminando la prima riga. La frequenza possibile di A2 è il
modulo del determinante della matrice che si ottiene da M eliminando la seconda riga. La frequenza possibile di
A3 è il modulo del determinante della matrice che si ottiene da M eliminando la terza riga.
Le frequenze possibili per B1, B2, B3 si determinano in modo analogo lavorando sulla matrice N (di
dimensione 2x3), nella quale la prima riga è R1 – R2 (R1 e R2 sono le prime due righe della matrice del gioco)
e la seconda riga è R2 – R3. La frequenza possibile di B1 è il modulo del determinante della matrice che si
ottiene da N eliminando la prima colonna. La frequenza possibile di B2 è il modulo del determinante della
matrice che si ottiene da N eliminando la seconda colonna. La frequenza possibile di B3 è il modulo del
determinante della matrice che si ottiene da N eliminando la terza colonna.
Le due strategie miste che utilizzano le frequenze possibili sono ottimali e costituiscono la soluzione del gioco
se danno sempre lo stesso valore di gioco contro ogni strategia pura attiva dell’avversario (cioè compresa nella
sua strategia mista ottimale).
Si ricorda che il valore di gioco si calcola come media ponderata, con le frequenze possibili, delle tre vincite
relative alla strategia pura dell’avversario.
Se non si perviene a soluzione …
Quarto passo: ricerca del sottogioco equivalente:
eliminando una riga ed una colonna dalla matrice G si ottiene la matrice di un sottogioco 2x2, lo si risolve e si
controlla se la sua soluzione è applicabile al gioco 3x3 iniziale e pertanto risulta un sottogioco equivalente.
La soluzione va ritenuta applicabile se i valori di gioco, calcolati, con attive solo le strategie presenti nel
sottogioco, contro ciascuna delle strategie pure dell’avversario, devono essere tutti uguali, oppure possono
essere più vantaggiosi per il giocatore contro una strategia assente nella strategia mista dell’avversario.
Si esaminano quindi tutti i possibili sottogiochi 2x2, fino a che non si trova la soluzione adeguata.
Giochi 3x3 e induzione retrograda
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Scheda sul gioco “morra cinese” (gioco 3x3 a scelta contemporanea)
È un gioco classico tra due giocatori che in contemporanea “lanciano” simulando con il gesto della mano: carta
(mano aperta), forbice (due dita, indice e medio, aperte), sasso (mano chiusa a pugno). Il sasso vince su forbice,
la forbice vince su carta ed infine la carta vince su sasso.
Costruire la matrice di gioco e risolverlo.
Scheda sul gioco “Guardia e ladro (gioco 3x3 a scelta contemporanea)
Una guardia sta inseguendo un ladro. lo vede entrare in stazione, acquistare un biglietto e affrettarsi verso un
cancello che conduce a tre binari. Tenta di raggiungerlo, ma lo perde di vista. I tre treni sono sul punto di
partire, però la guardia ignora su quale treno sia salito il ladro. Il primo treno si fermerà ad una stazione X,
distante parecchi chilometri. Se la guardia sale su questo treno e anche il ladro vi è salito, la guardia potrà
sicuramente raggiungere il ladro, perché avrà molto tempo a sua disposizione. Il secondo treno si fermerà ad
una stazione W, distante pochi chilometri. Se la guardia sale su questo treno e anche il ladro vi è salito, allora la
guardia avrà il 50% di probabilità di raggiungere il ladro, perché il viaggio sarà di breve durata. Il terzo treno si
fermerà, come il primo, alla stazione X, ma viaggia a velocità più elevata. Se la guardia e il ladro salgono
entrambi su questo treno, la guardia avrà comunque tempo sufficiente per rintracciare il ladro.
Costruire la matrice di gioco e risolverlo.
Scheda sul gioco “Somma 100” (gioco risolvibile per induzione retrograda)
Regole del gioco:
Si gioca in due giocatori.
Il primo giocatore dice un numero compreso tra 1 e 10 a scelta.
Il secondo somma un altro numero compreso tra 1 e 10 a scelta, dicendo il totale.
Poi il primo giocatore ne somma un altro e così via.
Il giocatore che arriva a 100 vince.
Esempio di sequenza di gioco:
A 5, B 12, A 20, B 27, A 35, B 45, A 51, B 59, A 66, B 72, A 80, B 89, A 95, B 100 e vince B.
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