Esercizio 4.3

Esercizio 1.1*
La forza elettrostatica fra due ioni identici (assunti come puntiformi) e separati da una distanza di 5
10-10 m è di 3.7 10-9 N. Calcolare la carica di ciascuno ione e il numero di elettroni mancanti a
ciascuno ione. Se gli ioni fossero di Pb (Z=207) quale sarebbe la forza gravitazionale fra di essi?
Esercizio 1.2*
Due particelle a e b hanno la stessa massa pari a 2.6 g e carica di uguale valore assoluto q ma di
segno opposto. La particella a è appesa al soffitto tramite un filo di lunghezza 0.35m e massa
trascurabile (vedi Figura). Quando a e b si trovano sulla stessa retta orizzontale ad una distanza di
0.25m a è in equilibrio statico con il filo che forma un angolo di 45° con la verticale. Determinare
q.
Esercizio 1.3*
E' dato un sistema di tre cariche ai vertici di un triangolo equilatero di lato a=2cm : -q in (a/2,0), -q
in (-a/2,0) e +q in (0, 3 / 2 a). Trovare modulo e direzione del campo elettrico nell’origine se
q=1C. Dove deve essere posta una carica -4q in modo che una carica posta nell'origine non risenta
di alcuna forza elettrostatica?
Esercizio 1.4
Una goccia di olio (olio=0.8 103Kg/m3) di raggio r=1.8m e carica positivamente, è mantenuta in
equilibrio mediante un campo elettrico E=1.2 105 N/C. Calcolare a) la carica q della goccia in
funzione della carica elementare e=1.6 10-19 e b) di quanto bisogna variare E se la carica q
diminuisce di q =e per mantenere l’equilibrio. Se l’esperimento fosse condotto in aria secca
anziché nel vuoto?
- - - - - - - -
Esercizio 1.5
Si consideri l’ anello di raggio R con densità lineare di carica positiva uniforme e carica totale Q.
Calcolare la forza F agente su una carica q0 posta sull’asse dell’anello a distanza z dal suo centro (il
calcolo del campo elettrico lungo l’asse è semplice, ma lo si trova anche illustrato in quasi tutti i
libri di testo). Rappresentare qualitativamente in un piano cartesiano il modulo del campo elettrico
in funzione della distanza z. Cosa succede se z=0? Che cosa a grande distanza dall’anello?
Esercizio 1.6
Una particella di massa m carica negativamente con carica totale –q viene posta al centro dell’anello
dell’esercizio precedente. Se la particella è vincolata a muoversi lungo l’asse z e viene spostata di
un piccolissimo tratto z lungo l’asse (z «R) e poi lasciata libera, dimostrare che il suo moto sarà di
tipo armonico con periodo T (2 pari a 2
4 0 mR3
qQ


Esercizio 1.7*
Sono dati due grandi piatti di rame paralleli e posti ad una distanza di 5cm. Fra di essi è presente un
campo elettrico uniforme. Un elettrone viene rilasciato dal piatto carico negativamente nello stesso
momento in cui un protone viene rilasciato dal piatto carico positivamente. In che relazione sono i
tempi che ciascuna particella impiegherà per arrivare sul piatto opposto? Determinare la loro
distanza dal piatto positivo quando si incrociano.
Esercizio 1.8*
Un campo elettrico uniforme E, diretto verso l’alto di intensità 2 103 N/C è presente fra due piatti
orizzontali lunghi L=10 cm e distanti d=2 cm. Un elettrone viene proiettato fra i piatti con velocità
iniziale v0=6 106 m/s e angolo =45°. L'elettrone colpirà uno dei due piatti? Se si, quale piatto e a
quale distanza dall’estremità sinistra?
Esercizio 2.1*
Si consideri la superficie chiusa indicata in figura con a=b=40.0cm e c=600mm. Nella stessa
regione di spazio in cui si ha la superficie è presente un campo elettrico non uniforme dato da
E  (3  2 x2 ) i N/C con x espresso in metri (vedi sistema di riferimento in figura). Calcolare il
flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa. All’interno della superficie è presente una
carica netta? Quanta e di che segno?
Esercizio 2.2*
Sono date le distribuzioni uniformi di carica mostrate in figura (la carica complessiva per ciascuna
distribuzione uniforme è pari Q). Il volume è ottenuto per rotazione attorno all'asse tratteggiato.
Dire se il campo elettrico per ciascuna distribuzione è nullo nel centro O.
Dire se il modulo del campo elettrico in un punto P esterno alla distribuzione di carica e a distanza r
da O è dato da Q/40r2.
Nel caso che la figura B rappresenti una sfera carica di raggio R con un buco anch’esso sferico,
calcolare il campo E nel centro O se la cavità ha raggio h e il suo centro dista d dal centro O.
Esercizio 2.3*
Una carica Q=-230 nC è distribuita uniformemente su una asta cilindrica lunga L=6.3 m e raggio
d=1 cm. Valutare E in prossimità del punto medio dell'asta: a) ad una distanza pari a 25mm da
questa, b) ad una distanza pari a 800m da questa c) sull’asse dell’asta.
Esercizio 2.4*
Si considerino due strati piani di carica molto estesi A e B, posti l'uno di fronte all'altro e aventi
densità di carica superficiali uniformi pari a += 6.8 C/m2 e -=-4.3C/m2 Si trovi il campo
elettrico E alla sinistra dei due fogli, tra i due fogli e alla destra dei due fogli. Discutere il valore del
campo elettrico per la stessa geometria se le due densità di carica fossero a) tali che +=- b)
+A=+B.
Esercizio 2.5
Una lastra molto grande di materiale isolante ha una densità di carica positiva e uniforme pari a ed
ha uno spessore d. Dimostrare che il campo elettrico ad una distanza x dal bordo sinistro e
all'interno della lastra è pari a E=2x-d)/20 x.
Esercizio 2.6*
Due sottili gusci sferici concentrici carichi hanno rispettivamente raggio pari a 10 cm e 15 cm. La
carica sul guscio interno vale 40.6 nC e quella sul guscio esterno vale 19.3 nC. Si determini il
campo elettrico a) per r=12cm b) per r=22cm e c) per r=8.18 cm dal centro dei gusci.
Esercizio 2.7
Un filo rettilineo lungo 7.00m, carico uniformemente, ha una carica totale positiva di 2C. Un
cilindro della stessa lunghezza e raggio R=2cm circonda il filo (l’asse del cilindro coincide con il
filo). Il cilindro è carico uniformemente e ha una densità lineare negativa di carica= -1C/m.
Determinare il campo elettrico a 1 cm dal filo, a 4 cm dal filo e a 7 km dal filo.
Esercizio 2.8
Si consideri una distribuzione di carica positiva con simmetria cilindrica di raggio R e densità di
carica di volume =Kr (0≤r≤R) dove K è una costante positiva
Si trovi l’espressione del campo elettrico e lo si rappresenti graficamente in funzione della distanza
r dall’asse.
Esercizio 3.1
Sono date tre cariche positive Q1 =2 x 10-7 C, Q2 =2 x 10-7 C e Q3 =2 x 10-7 C disposte lungo una
linea retta con Q2 al centro in modo che la sua distanza con le due cariche adiacenti sia 0.1 m.
Calcolare a) la forza risultante esercitata su ciascuna carica dalle altre due, b) l'energia potenziale di
ciascuna carica, c) l'energia potenziale totale del sistema.
Esercizio 3.2*
Tre cariche positive uguali con carica q=3nC sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato
a=3 cm. Dove si annulla il campo elettrico per questo sistema di cariche? Dove si annulla il
potenziale elettrico?. Trovare il campo elettrico ed il potenziale in P. Calcolare l’energia potenziale
totale del sistema.
Esercizio 3.3*
Sono date due lastre piane (spessore trascurabile) di carica positiva, densità superficiale di carica
pari a = 17.72 C/m2 e =/2. Le dimensioni delle lastre sono molto maggiori della loro
distanza che è d=20cm. Calcolare la differenza di fra le due lastre. Determinare l’energia cinetica
minima EKmin che deve avere un protone nel punto P posto 10 cm dalla lastra di sinistra per
giungere in un generico punto O (si assuma che il protone possa attraversare le lastre).
Esercizio 3.4*
Sono date due distribuzioni superficiali indefinite di carica a simmetria cilindrica coassiali di raggio
RA=3cm e RB =4 cm e con densità superficiale A(>0)=-B. Il campo elettrico a metà fra le due
superfici ha modulo pari a 150 V/m. Calcolare il valore di A. Calcolare il lavoro che si compie a
portare un elettrone dall’asse dei cilindri ad un punto P posto a distanza r0=5cm dall’asse.
Esercizio 3.5*
Considerare una sfera di raggio R di carica uniforme Q. Trovare la differenza di potenziale V fra
due punti interni alla sfera e tra due punti esterni. Ponendo V(  )=0 trovare una espressione per il
potenziale internamente ed esternamente alla sfera. Verificare che il campo elettrico in ogni punto
dello spazio è ricavabile dalla relazione nota Er=-dV/dr.
Se R=41mm e V(R)=600V trovare i raggi delle superfici equipotenziali a 300V e 150V
Esercizio 3.6*
Nella esercitazione precedente è stato risolto il seguente problema
Una lastra molto grande di materiale isolante ha una densità di carica positiva e uniforme pari a
ed ha uno spessore d. Dimostrare che il campo elettrico ad una distanza x dal bordo sinistro e
all'interno della lastra è pari a E=2x-d)/20 x.
Partendo da un punto A a destra della lastra (x=-a) a quale distanza dalla superficie destra della
lastra devo portare una carica positiva in modo da compiere un lavoro nullo?
A•
B•
-a
x?
Esercizio 3.7
Il potenziale elettrico in una regione compresa fra x=0 e x=6m è V=a+bx con a=10 V e b=-7 V/m.
Determinare il potenziale elettrico ed il campo elettrico a x=0 a 3m e a 6m. (Ricavare il campo
elettrico direttamente dalla conoscenza del potenziale).
Esercizio 3.8
Una goccia di acqua sferica su cui è presente una carica di 32 pC ha un potenziale alla superficie di
512 V. Trovare il raggio della goccia nel caso in cui la carica in eccesso sia uniformemente
distribuita solo sulla superficie e nel caso sia uniformemente distribuita su tutto il volume. Se due
gocce identiche (stessa carica e stesso raggio) si uniscono calcolare il potenziale alla superficie della
nuova goccia.0562 813.
Esercizio 4.1*
Due sfere conduttrici C1 e C2 di raggio R1=6 cm e R2=12 cm, hanno la stessa carica q=6 10-8 C e
sono molto distanti fra loro. Le due sfere vengono collegate tra loro con un filo sottile. Calcolare i
potenziali V’1 e V’2 delle sfere prima del collegamento, le cariche q1 e q2 sulle sfere dopo il
collegamento e il numero Ne di elettroni trasferiti da un conduttore all’altro.
Esercizio 4.2
Sono date cinque superfici sferiche di spessore trascurabile, tutte concentriche con raggi pari a 1, 2,
3, 4 e 5 cm e collegate con sottili fili conduttori come in figura. Una carica q=10-10 C è depositata
sulla superficie più interna. Calcolare le cariche presenti su ciascuna superficie, il campo elettrico in
tutti i punti dello spazio e l’energia elettrostatica totale del sistema.
Inoltre determinare come varia il campo E(r) a) se la sfera 1 è posta in contatto con la sfera 2 ; b) se
la sfera 3 è posta in contatto con la sfera 4 ; c) se la sfera 5 è messa a terra.
Esercizio 4.3*
Un condensatore piano è caricato a 300 V. La distanza tra le armature è 0.5 mm. Calcolare il campo
elettrico fra le armature e la densità di energia elettrostatica nello spazio racchiuso fra le armature .
Se le armature sono quadrate con il lato di 11 cm calcolare l'energia totale immagazzinata nel
condensatore. Calcolare la capacità del condensatore e ricalcolare l' energia elettrostatica
immagazzinata nel condensatore a partire da questo valore.
Esercizio 4.4*
Nella configurazione in figura C1=4.0 F, C2=6.0 F e C3=5.0F. Quale è la capacità equivalente
del sistema? Se Va-Vb=65V. Quale è la differenza di potenziale tra le armature di ciascun
condensatore? Quale è la carica di ciascun condensatore?
Esercizio 4.5*
Due condensatori C1=120pF e C2=240 pF sono caricati ciascuno ad una d.d.p. di V=200V . I due
condensatori vengono collegati fra di lorocome in figura. Calcolare la nuova differenza di
potenziale V’ ai capi del sistema e la variazione di energia elettrostatica U.
Esercizio 4.6*
Una piastra conduttrice di spessore b viene inserita in un condensatore a piatti piani paralleli.
Calcolare la nuova capacità. Se l’inserimento viene fatto mantenendo una carica q costante sul
condensatore iniziale calcolare il rapporto fra l’energia immagazzinata . prima e dopo l’inserimento
della lastra. Che lavoro è stato compiuto? La lastra è attratta dal condensatore o respinta durante
l’inserimento. E se il processo fosse compiuto a differenza di potenziale costante?
Esercizio 4.7
E’ data una sfera metallica di raggio R inizialmente scarica. In seguito ad un processo di carica la
sfera ha una carica netta Q positiva. Calcolare il lavoro speso per caricare la sfera. Calcolare il
lavoro speso se la carica Q fosse negativa.
Esercizio 4.8
Un condensatore piano le cui armature hanno un’area A, ha una carica Q. Si dimostri che la forza
che si esercita fra le armature è F=Q2/2Ponendo C= 0A/x per una generica distanza x fra le
armature, legare il lavoro ∫Fdx compiuto per separare le armature all’energia elettrostatica).
Esercizio 5.1*
La molecola di H2O ha un momento di dipolo di 6.3 x 10-30 C m. Un campione di acqua contiene
1021 molecole i cui momenti sono tutti orientati nella direzione di un campo elettrico di 2.5 x 105
V/m. Quanto lavoro è necessario per ruotare di 90° tutti i momenti?
Esercizio 5.2*
Si consideri un condensatore piano di capacità pari a 1000pF. La carica su ciascuna piastra è 1C.
Si immagini di immergere il condensatore carico e isolato in glicerina (=43). Quale è la differenza
di potenziale fra le piastre? Supponendo di mantenere costante la carica quale sarà la differenza di
potenziale fra le piastre se la distanza viene raddoppiata? Quanto lavoro deve essere speso per
raddoppiare la distanza? Se la distanza fra le piastre era inizialmente di 10 mm quanto vale la
densità superficiale delle cariche di polarizzazione?
Esercizio 5.3*
È dato un condensatore piano di area A= 115cm2 e distanza fra le armature pari a d=1.24cm. Fra i
piatti si ha inizialmente dopo averlo caricato una differenza di potenziale V0=85.5V. Dopo avere
staccato la batteria viene poi inserita fra i piatti una lastra di dielettrico di spessore b=0.78cm e
costante dielettrica =2.61. Calcolare 1) la capacità C0 prima che la lastra venga inserita 2) la carica
libera sui piatti 3) il campo elettrico nella zona vuota tra i piatti 4) Il campo elettrico E nel
dielettrico 5) la differenza di potenziale V dopo che il dielettrico è stato introdotto 6) la carica di
polarizzazione sulle superfici del dielettrico 7) la capacità finale del condensatore – Verificare che
la capacità totale equivale a considerare la serie di due capacità come in figura.
Esercizio 5.4*
Lo spazio fra due armature piane quadrate di lato L=2cm e distanza d=0.75mm è riempito per un
terzo con un dielettrico e per due terzi con un altro (polistirene 1=2.56 e gomma neoprene 2=6.7).
Calcolare la capacità del dispositivo. Se il condensatore è caricato con una differenza di potenziale
V=90V Calcolare la carica totale libera sulle armature? Calcolare la densità superficiale delle
cariche libere in corrispondenza di ciascun dielettrico? Calcolare la densità superficiale delle
cariche di polarizzazione. Verificare che è corretto considerare il sistema dato come il parallelo di
due condensatori come mostrato in figura.
Esercizio 5.5*
A due condensatori piani di capacità C01=500pF e C02 =1000pF collegati in serie è collegato un
generatore che mantiene una differenza di potenziale costante V=400V.Una lastra di dielettrico
(=4 )viene inserita fra le armature del primo condensatore. Calcolare le capacità equivalenti prima
e dopo l’inserimento del dielettrico. Calcolare la variazione di carica libera sulle armature dei
condensatori. Calcolare la variazione di potenziale ai capi del primo condensatore dopo
l’inserimento del dielettrico.
Esercizio 5.6
Un contatore di Geiger Muller consiste di un conduttore cilindrico cavo con un sottile filo
conduttore teso lungo il suo asse. Si consideri il diametro interno del cilindro pari a 2.5 cm e che il
filo abbia un diametro di 0.2mm. Se la rigidità dielettrica del gas contenuto nel cilindro è 1.2 10 6
V/m (massima intensità del campo elettrico applicabile al dielettrico prima che si verifichi in esso
una scarica), calcolare la massima tensione che si può applicare fra il filo e il cilindro prima che si
formi una scarica nel gas.
Esercizio 5.7
Si consideri l’esercizio già risolto in precedenza:
Due particelle a e b hanno la stessa massa pari a 2.6 g e carica di uguale valore assoluto q ma di
segno opposto. La particella a è appesa al soffitto tramite un filo di lunghezza 0.35 m e massa
trascurabile (vedi Figura). Quando a e b si trovano sulla stessa retta orizzontale ad una distanza di
0.25 m a è in equilibrio statico con il filo che forma un angolo di 45° con la verticale. Determinare
q.
Supponendo che le particelle siano immerse in acqua (=80) determinare q nel caso in cui il volume
della sferetta a sia trascurabile e nel caso in cui sia pari a 1cm3.
Esercizio 6.1*
Un filo di carbonio di lunghezza l=5m e diametro d=2mm è percorso da una corrente I=750 mA
quando è applicata una d.d.p. V=22V. La velocità di deriva degli elettroni è vd=1.7 10-5 m/s.
Calcolare la resistenza R del filo, la resistività  del materiale, il campo elettrico E all’interno del
filo, il numero di elettroni di conduzione ne per unità di volume. Se il coefficiente termico è  =4
10-3 K-1e la (20°C)=1.2 10-5  m calcolare a quale temperatura si trovava precedentemente il filo.
Esercizio 6.2*
Si consideri una stufetta in cui il riscaldamento avvenga tramite una resistenza di nichel-cromo con
R=72. Quale potenza viene dissipata A) se si applica una d.d.p. di 120 V B) se si taglia la
resistenza a metà e si applica una d.d.p. di 120 V su entrambi i pezzi. Conviene operare in questo
modo per aumentare la potenza totale dissipata?
Esercizio 6.3*
Un circuito consiste di quattro lampadine identiche (55 W a 220V) collegate come in figura ad una
batteria da 220V: come sarà la luminosità delle quattro? Calcolare: la potenza totale dissipata dalle
quattro lampadine e la differenza di potenziale ai capi di ciascuna di esse. Che cosa succede se A si
fulmina? E se invece si fulmina C? E se invece si fulmina D? (le lampadine si assuma che seguano
la legge di Ohm).
Esercizio 6.4
Una automobile elettrica è progettata per funzionare con un gruppo di batterie da 12 V che
immagazzinano un’energia totale di 2 107 J. Se il motore elettrico assorbe 8 kW a 72 km/h, quale
corrente è erogata al motore e quanta strada può percorrere a questa velocità prima di fermarsi? 
Esercizio 6.5
Se in un conduttore metallico la corrente che transita viene raddoppiata che cosa succede a) alla
densità degli elettroni, b) alla densità di corrente, c) alla velocità di deriva degli elettroni, d)
all’intervallo di tempo medio fra due urti consecutivi?
Esercizio 6.6*
E' dato il circuito mostrato in figura con Vc=36V. Calcolare i valori di I1 e I2 e Vb-Va quando
l'interruttore S è aperto e quando viene chiuso.
C°
Esercizio 6.7*
E' dato il circuito mostrato in figura. Calcolare il valore di I1, I2 e I3. Quanto vale la d.d.p. Va-Vb?
Esercizio 6.8*
La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore C=2F scende da V0 a V0/4 in un
tempo t=2s. Calcolare la resistenza di perdita fra le armature.[Sembra una domanda difficile….ma è
un semplice circuito RC in cui si deve esaminare la scarica del condensatore!!!].
Esercizio 6.9*
Un condensatore carico ha un’energia immagazzinata U0. Calcolare l’energia immagazzinata nel
condensatore quando scaricandosi su una resistenza R la sua carica si sia ridotta a metà del valore
iniziale.