LE RETI NEURALI QUANTISTICHE SONO SOGGETTE AI
VINCOLI DI DECIDIBILITA’ DELLA TESI DI CHURCH ?
Ogni computer classico è una macchina di von Neumann, ossia
computa gli algoritmi seguendo istruzioni completamente
deterministiche e seriali.
Le macchine di von Neumann sono implementate da unità di
informazione dette bit, e da gates logici che operano su questi bit.
La Tesi di Church non può essere dimostrata , sembra solo
intuitivamente corretta. E’ stata formulata indipendentemente da
A. Church e A. Turing, e afferma che qualsiasi metodo che noi
riusciamo a formulare con il pensiero per risolvere un problema
può essere espresso come un programma al calcolatore.
Ad esempio, se dobbiamo moltiplicare due numeri fra loro ,
seguiremo un semplice algoritmo che un computer può riprodurre.
Se ci viene chiesto di fattorizzare un numero, l’approccio che
usiamo nella mente sarebbe trascrivibile in un programma.
Sembra cioè che non ci sia problema algoritmico risolvibile da una
persona che non possa essere risolto da un computer, e viceversa.
Ogni programma al computer può essere svolto anche da un uomo
con carta e matita.
Sappiamo che se un problema può essere risolto, può essere risolto
con una macchina di Turing con nastro di lunghezza finita.. Se
questo non vale, l’algoritmo non è decidibile.
Un sistema assiomatico è decidibile se esiste una macchina di
Turing che può determinare quale proposizione del sistema
assiomatico è vera e quale falsa. Se un programma può essere
creato per una macchina di Turing che prenderà tutte le
proposizioni di un sistema assiomatico, e determinerà tutti i suoi
valori di verità, allora il sistema è decidibile.
In sostanza si tratta di trovare un algoritmo con terminazione per
determinare se una proposizione è vera o falsa. Ogni algoritmo
che possa fare questo è detto computabile.
La Tesi di Church dice che c’è un livello di computabilità che non
possiamo superare, e tutti i computer usano questo livello di
computabilità, e quindi sono computazionalmente equivalenti.
La questione è se le quantum neural networks, o più in generale il
quantum computing, possano usare un livello di computabilità
superiore.
Una rete neurale funziona tramite connessioni fra nodi/neuroni,
senza utilizzare una notazione simbolica come i normali
programmi computazionali. Semplicemente apprendere tramite
esempi, per riprodurre un output dato un certo input.
Ciò può significare che ci sia qualcosa che va oltre al livello di
complessità del calcolo simbolico ?
Risposta: NO.
Infatti possiamo costruire una macchina di Turing per
rappresentare una rete neurale e calcolare come la rete.
Resta il problema se una rete neurale quantistica possa essere
computazionalmente più potente di una rete neurale classica.
Un qubit ha un’importante differenza rispetto ad un bit: può avere
valore 0 ed 1 simultaneamente.
Un qubyte, fatto di 8 qubit, permetterà di rappresentare 256
numeri contemporaneamente. La quantità di numeri
rappresentabili sarà 2n, con n numero dei qubit.
Su questa base possiamo costruire un algoritmo, e quando
l’algoritmo finisce, la sovrapposizione viene fatta collassare, e
tutti i qubits salteranno nei loro stati 0 o 1.
La domanda è allora se il quantum computing offra qualcosa di
non raggiungibile da un computer classico.
Sicuramente la velocità è molto superiore. Prendiamo la
fattorizzazione di un numero con 250 cifre: un computer classico
impiegherebbe circa 800.000 anni con 1400 computer odierni in
parallelo. Anche migliorando le prestazioni, il problema resta
esponenziale.
Con un quantum computer la complessità è ridotta a polinomiale:
si può fattorizzare un numero di 1000 cifre in pochi milioni di
passi, computando tutte le possibilità simultaneamente via
sopvapposizione.
In ogni caso anche un quantum computer non permette
computazioni più complesse di quelle consentite ad un computer
classico. I problemi risolubili sono limitati dal numero di qubits
utilizzabili, e non si possono computare problemi senza
terminazione in un tempo finito.
Esiste però qualche discusso controesempio.
Nel 2001 Tien Kieu propone un algoritmo per il classico decimo
problema di Hilbert, che è connesso al problema dell’arresto di
Turing.
Un’equazione diofantea è un’equazione della forma:
E0(x1,…,xn) = E1(x1,…,xn) dove E0 , E1 sono polinomi a
coefficienti interi positivi.
Un’equazione diofantea esponenziale è una equazione della
forma: E0(x1,…,xn) = E1(x1,…,xn) dove E0, E1 sono polinomi
esponenziali a coefficienti interi positivi.
Alla fine dell’800 Hilbert indicò 23 importanti problemi. Il decimo
si può esprimere così:
Data una qualsiasi equazione diofantea con qualsiasi numero
di coefficienti interi, trovare un procedimento universale
secondo il quale possa essere determinato da un numero finito
di operazioni se l’equazione ha soluzioni intere.
Il problema della decisione per tali equazioni polinomiali e’ stato
dimostrato da Matiyaesevich nel 1970 essere indecidibile nel
senso di Turing.
Di fatto le equazioni diofantee coprono la classe delle funzioni
parziali ricorsive, che sono alla base degli algoritmi classici.
Pertanto il risultato di indecidibilità è importante: il decimo
problema di Hilbert può essere risolto se e solo se può essere
risolto il problema dell’arresto di Turing.
Per risolvere il Decimo problema di Hilbert Kieu costruisce un
algoritmo per trovare il minimo globale di una funzione (P(x;y;z)
di ad es. tre variabili x;y;z ,ciascuna scelta fra gli interi non
negativi.
A questo scopo, l’evoluzione adiabatica trova lo stato base
dell’Hamiltoniana i cui autovalori sono i numeri P(x;y;z).
L’evoluzione adiabatica si ottiene con uno strumento matematico
che permette di descrivere gli autostati di un sistema di particelle
interagenti in termini di autostati di un sistema di particelle non
interagenti.
Questo è ovviamente molto utile dato che si presume si sappia
descrivere perfettamente il sistema di particelle non interagenti.
Si introduce una hamiltoniana del tipo:
H = H0 + e-tH1
tale che
in cui numero reale positivo.
Al tempo t = 0 l'hamiltoniana corrisponde all'intera hamiltoniana:
Gli autostati dell'hamiltoniana in rappresentazione d'interazione
sono espressi come:
Analogamente nel calcolo quantistico un’hamiltoniana dipendente
dal tempo interpola fra un’hamiltoniana iniziale facile da costruire
ed una finale il cui stato codifica l’assegnamento corretto.
Il tempo di evoluzione, confrontato con quello della computazione
quantistica normale, è estremamente inferiore. Secondo Kieu,
purchè venga fornita la corretta hamiltoniana , la nozione di
computabilità viene stesa rispetto a quella classica di ChurchTuring.
Il punto cruciale è che il range degli interi deve essere esaminato
entro un tempo finito.
Questo, secondo Kieu, è possibile perché lo spazio di Hilbert
prescelto è finitodimensionale.
Boris Tsirelson sostiene invece che la dimostrazione di Kieu è
errata, perché l’evoluzione adiabatica non riesce a trovare il
minimo globale.
Dunque un computer quantistico è solo una macchina di Turing
più veloce, quindi è ancora soggetta alla tesi di Church, o almeno
lo è un quantum computer come lo concepiamo oggi, con un
insieme di gates.
Ma il dubbio è se la tesi di Church sia vera per qualsiasi computer
quantistico: ossia non si può escludere che non si possano
costruire altri tipi di computer che siano sostanzialmente più
potenti. Forse le QNN sono di questo tipo ?
Se costruiamo su computer quantistico delle reti neurali come
costruiamo reti neurali su computer classici, sicuramente avremo
solo maggior velocità. Ma se costruiamo reti neurali con un
approccio completamente diverso da quello di qubits e gates, forse
la tesi di Church potrebbe non essere più valida.
Questo sicuramente è molto difficile, ma esiste già qualche
tentativo, anche se non pubblicato perché le università stanno
facendo a gara per vincere la corsa al quantum computer.
Il vantaggio delle QNN è il seguente.
La sovrapposizione di molti qubit diminuisce la resistenza al
rumore, e il rumore può portare alla decoerenza prima che la
computazione sia finita.
Invece una QNN non richiede molte sovrapposizioni per nodo, e
quindi sarebbe meno suscettibile al rumore a parità di problema da
risolvere computazionalmente rispetto ad un quantum computer a
gates.
Una QNN sarebbe molto (probabilmente esponenzialmente) più
veloce di una rete artificiale classica, potendo compiere una
sovrapposizione di valori ai nodi, ed inoltre potrebbe eliminare
molti neuroni nascosti avendo modo di calcolare tutte le
possibilità all’interno di un singolo nodo.
Ma anche in questo caso non ci sono elementi per pensare che
anche questi vantaggi in velocità potrebbero cambiare la posizione
delle QNN rispetto alla tesi di Curch, sempre che siano basate sul
concetto di qubit e di gates.
Ad esempio la congettura di Goldbach: “Ogni numero pari può
essere rappresentato come somma di due numeri primi” richiede
un algoritmo non decidibile se si prende a turno ogni numero pari
e si cerca fra i numeri naturali quale coppia di numeri primi
sommata corrisponde a quel numero.
Ammettiamo però di poter utilizzare un wormhole e di poterlo
usare a ciclo chiuso come parte del nostro quantum computer.
Noi potremmo avere il tempo infinito necessario per computare
l’algoritmo all’interno di questo ciclo chiuso.
Oppure il wormhole potrebbe generare un altro universo
all’interno del nostro e così via all’infinito. Se ogni universo
computa un passo dell’algoritmo, si ottiene la soluzione
immediatamente.
Degli esempi di QNN visti in precedenza l’unico che potrebbe
avere caratteristiche interessanti in questio senso è ovviamente
quello di Weigang che sfrutta il teletrasporto.
La versione più formale della tesi di Church è :
Una funzione è computabile sse è parziale ricorsiva.
Un insieme è detto ricorsivo se esiste un procedimento effettivo
per decidere se un elemento appartiene o no ad esso, mentre si
dice che è ricorsivamente numerabile se esiste un procedimento
per generare i suoi elementi uno dopo l’altro.
Una formulazione astratta del teorema di Goedel è la seguente:
Esiste un insieme di interi positivi ricorsivamente numerabile
ma non ricorsivo.
Poiché si può vedere una procedura di decisione come la
computazione di una funzione c t.c. se Q è un insieme numerico
c(n) = 0 se n Q
c(n) = 1 altrimenti,
si dimostra che
La proprietà di terminazione dei programmi è ricorsivamente
indecidibile.
Si può esprimere questo concetto affermando che non esiste un
programma che sappia prevedere in modo affidabile se un altro
programma cadrà o meno in un loop infinito., ossia non esiste un
perfetto controllore di arresto.
Secondo molti studiosi questo è ciò che distingue il cervello
umano dal computer.
Secondo il filosofo inglese Lucas (1964) l’uomo può esaminare il
proprio pensiero attraverso la coscienza, che gestisce senza
difficoltà il regresso all’infinito (conoscere il proprio pensiero,
conoscere di conoscerlo, conoscere di conoscere di conoscerlo,
ecc.) . Lo stesso argomento è adottato da Ernest Nagel nel
suolibro La prova di Goedel.
Turing stesso osserva che ad un certo grado di complessità anche i
sistemi meccanici potrebbero cessare di essere predicibili, perché
potrebbero intervenire trasformazioni di stato irreversibili al di
sopra di una certa dimensione critica.
In tal caso non si potrà predire il loro comportamento solo
conoscendone il funzionamento e le condizioni iniziali. Questa
capacità è quell ache in genere si attribuisce al cervello umano.
Secondo Douglas Hofstadter invece il cervello umano riesce a
superare il problema dell’arresto perché metaconoscenza e
conoscenza si mescolano fra loro in un “tangled loop”: l’uomo
non è una torre infinita di autoosservatori, ma un unico
autoosservatore in cui tutti i livelli ricadono su uno solo.
Il loop non ha un ordine cronologico o topologico : i due livelli di
osservatore ed osservato sono fusi insieme.
Quando non esiste più distinzione di livello in un ciclo si crea il
paradosso: il linguaggio crea paradosso quando parla di se stesso:
qualcosa nel sistema agisce sul sistema come se ne fosse fuori.
Il cervello riesce a costruire come un anello di Moebius, uscendo
dal circolo vizioso.
Un fenomeno emergente come la coscienza, in grado di
interrompere i loop infiniti, può provenire dall’interazione
“tangled” di livelli simbolici differenti all’interno del cervello.
Dal punto di vista neurofisiologo questo potrebbe prodursi
attraverso il feedback fra lobi prefrontali (sede delle percezioni) e
sistema libico (sede delle emozioni).
Secondo Roger Penrose l’intuizione matematica che porta l’uomo
a non entrare in loop infiniti non è di natura computazionale.
I bambini comprendono il funzionamento dei numeri naturali
senza che si debba loro spiegare un insieme di regole
computazionali, ma stabiliscono con la matematica un contatto di
tipo platonico.
Secondo Penrose quindi la coscienza ha caratteristiche di non
computabilità.
Questo non deve sembrare ascientifico: Penrose cita in proposito
due teorie sulla gravità quantistica, una di David Deutsch e una di
Geroch-Hartle, che si rifà ad una varietà topologica 4dimensionale non classificabile in modo computazionale.
L’idea di Penrose è che i neuroni biologici potrebbero comportarsi
in modo non computazionale, attraverso l’attività dei microtubuli,
che potrebbero creare processi quantistici coerenti su larga scala.
In conclusione reti neurali quantistiche che riproducano il
funzionamento delle reti neurali biologiche potrebbero forse
falsificare la Tesi di Church.
