Geometria: generalità sul t#
I triangoli costituiscono le figure fondamentali della geometria piana elementare, essendo possibile ricondurre a
essi molte questioni.
Classificazione
Una classificazione dei triangoli in base ai lati li suddivide in triangoli scaleni, aventi tutti e tre i lati disuguali,
triangoli isosceli, aventi due lati uguali, triangoli equilateri, aventi tutti e tre i lati uguali. Una classificazione è
possibile anche in base agli angoli interni e suddivide i triangoli in triangoli acutangoli, se hanno tutti gli angoli
interni acuti, triangoli ottusangoli, se hanno un angolo interno ottuso, triangoli rettangoli, se hanno un angolo
interno retto.
Proprietà ed elementi
Si definisce altezza di un t# il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto, che dicesi in tal
caso base; un t# ha quindi tre altezze, le quali concorrono tutte e tre in uno stesso punto detto ortocentro. Le
bisettrici degli angoli interni si intersecano in uno stesso punto detto incentro; gli assi dei lati si incontrano in un
punto detto circocentro; le mediane, segmenti condotti da un vertice al punto medio del lato opposto, si incontrano
in uno stesso punto detto baricentro.
Area di un t#
L'area di un t# è uguale al semiprodotto di una base per l'altezza corrispondente, essendo un t# equivalente alla
metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza. Se i tre vertici del t# sono punti di un piano
cartesiano allora l'area del t# è uguale alla metà del determinante la cui prima riga consiste delle ascisse dei vertici,
la seconda è composta dalle ordinate e la terza da tutti uno:
Un altro modo di calcolare l'area di un t#, in funzione del perimetro, che è la somma dei tre lati, è offerto dalla
formula di Erone che permette di calcolare l'area A di un t# per mezzo delle lunghezze a, b, c dei suoi lati:
essendo p il semiperimetro del t#.
I triangoli rettangoli
Nei triangoli rettangoli, il lato opposto all'angolo retto dicesi ipotenusa; gli altri due lati si dicono cateti.
Teorema di Pitagora
Tra questi lati esiste una relazione, definita dal teorema di Pitagora, che afferma: il quadrato costruito sull'ipotenusa
è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. In termini numerici, dette a, b, c le misure,
rispettivamente, dell'ipotenusa e dei cateti, si ha: a2=b2+c2, formula che permette, noti i due cateti, di calcolare
l'ipotenusa e, noti un cateto e l'ipotenusa, di calcolare l'altro cateto.
Teoremi di Euclide
Altri teoremi notevoli riguardanti i triangoli rettangoli sono il I e il II teorema di Euclide, che affermano,
rispettivamente: in un t# rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione
sull'ipotenusa; in un t# rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti
sull'ipotenusa. In termini numerici questi due teoremi si esprimono, rispettivamente, denotando i vertici con A, B, C
e con H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa:
I due teoremi si possono esprimere anche in forma geometrica:
Uguaglianza e similitudine dei triangoli
Due triangoli si dicono uguali se hanno uguali rispettivamente tutti i lati e gli angoli interni. I criteri di uguaglianza
dei triangoli affermano che, affinché due triangoli siano uguali, basta che abbiano uguali due lati e l'angolo
compreso, oppure un lato e gli angoli a esso adiacenti, oppure tutti e tre i lati, oppure due lati e l'angolo opposto a
uno di essi.
Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli uguali e i lati omologhi, cioè corrispondenti, in proporzione. I criteri
di similitudine dei triangoli affermano che affinché due triangoli siano simili, basta che abbiano gli angoli uguali,
oppure abbiano un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione, oppure abbiano i tre lati fra loro
proporzionali.
