esercizi sulle reti in regime - Ingegneria elettrica ed elettronica

Esercizi
Reti in regime stazionario
Esercizi a cura dell’Ing. Antonello Columbanu e dell’Ing Emanuel Pazzola
tutore del corso di ELETROTECNICA per Meccanici e Chimici e Biomedici
A. A. 2006/ 2007
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
ESERCIZI SULLE RETI IN REGIME
STAZIONARIO
Esercitazione 28-10-2006
ESERCIZIO 1 (Legge di Ohm generalizzata)
E’ dato il circuito rappresentato in figura:
Noti: E = 10V; Ri = 0,1Ω; Rc = 100Ω;
a) Ricavare I e VAB a interruttore chiuso
b) Ricavare I e VAB a interruttore aperto
Soluzione
a)
Quando l’interruttore è chiuso la corrente non passa più nel ramo dove è presente la
resistenza R, ma circolerà nel percorso a resistenza nulla, cioè nel tratto
cortocircuitato ( la corrente preferisce passare nei percorsi a minore resistenza).
Quindi il circuito da considerare sarà:
1
Quando il generatore eroga la corrente I la resistenza interna Ri provoca per la legge
di Ohm, una caduta di tensione Ri I, che si manifesta con una diminuzione della
tensione disponibile fra i poli del generatore, e cioè;
V AB  E  Ri I
Legge di Ohm per il bipolo attivo o legge di
Ohm generalizzata
Applicando la legge di Ohm al circuito esterno, di resistenza Rc e soggetto alla
tensione VAB, si ha d’altra parte la relazione:
V AB  RC I
Legge di Ohm per un bipolo passivo
Ne risulta l’uguaglianza:
E  Ri I  RC I
E si ricava quindi l’espressione della corrente I:
I
E
10

 0,099 A
Ri  Rc 0,1  100
La tensione VAB sarà pari a:
VAB = Rc I = 100*0,099 = 9,99V
b)
I
E
10

 0,049 A
Ri  R  Rc 0,1  100  100
2
VAB = Rc I = 100*0,049 = 4,99V
Si osserva che in questo caso la VAB è minore rispetto alla VAB calcolata
considerando l’interruttore chiuso, perché con l’interruttore chiuso è stata baipassata
la resistenza R, e quindi complessivamente si ha una caduta di tensione minore nel
circuito.
ESERCIZIO 2 (Analisi di una rete elettrica col metodo di Kirchhoff)
E’ dato il circuito rappresentato in figura:
Si considerino i seguenti dati: E2 =24V; E3=30V; E4=16V; Ic6=2A; R1=18Ω; R2=4Ω;
R4=6Ω; R5=20Ω.
Determinare le correnti e le tensioni.
Soluzione
La struttura topologica della rete (cioè la configurazione geometrica) risulta essere:
3
Il problema dell’analisi di una rete lineare comporta la determinazione delle tensioni
e delle correnti relative ai singoli lati della rete stessa. Quindi nel problema
dell’analisi di una rete costituita da l lati esistono 2l incognite rappresentate da l
tensioni di lato e da altrettante l correnti circolanti in essi. Allora bisogna impostare
un sistema di 2l equazioni linearmente indipendenti e 2l incognite.
Dove il primo gruppo di l equazioni sono le equazioni caratteristiche di ciascun
bipolo costituente la rete, ed invece il secondo gruppo di l equazioni è dato dalla
somma di n equazioni ai nodi ed m equazioni alle maglie.
Per la determinazione delle m+n equazioni linearmente indipendenti, si fa riferimento
alle definizioni di albero e coalbero.
L’albero corrisponde a un percorso che collega tutti i nodi della rete senza dar luogo a
percorsi chiusi.
Il coalbero corrisponde a tutti i rami della rete che non fanno parte dell’albero.
Dove:
4
= Albero
= Coalbero
Le equazioni linearmente indipendenti sono:
 n–1=4–1=3
equazioni ai nodi (dove: n = N° di nodi)
 l – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3
equazioni alle maglie (dove: l = N°di lati)
Quindi il numero totale di equazioni da impostare sarà: n – 1 + l – (n – 1) = 3 + 3 = 6
Si arriva così a impostare il seguente sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite:
 I 5  I1  I 2  0          NodoA
 I  I  I  0          NodoB
1 3 4
 I 3  I 5  I 6  0          NodoC

 E 4  E2  R1 I1  R4 I 4  R2 I 2   MagliaABDA
 E3  E4  U 6  R4 I 4 M      MagliaBCDB

 E3   R1 I1  R5 I 5        MagliaACBA
A questo sistema di equazioni si aggiungeranno le seguenti equazioni di bipolo per il
calcolo delle tensioni UAB, UBC, UCD, UDB, UCA, UAD.
U AB  R1  I1
U   E
3
 BC
U CD  U 6

U DB  E 4  R4  I 4
U CA  R5 I 5

U AD   E 2  R2 I 2
Risolvendo il sistema si ottengono i seguenti risultati:
I1 = -0,135 A; I2 = 1,757 A; I3 = -0,378 A; I4 = 0,243 A; I5 = 1,622 A; U6 = 15,46 V
UAB = -2,43 V; UBC = -30 V; UCD = 15,46 V; UDB = 14,54 V; UCA = 32,44 V;
UAD = -16,97 V
5
ESERCIZIO 3 (Resistori serie e parallelo)
E’ dato il circuito rappresentato in figura:
Determinare la tensione V32.
Soluzione
Semplifichiamo il circuito:
6
RP1 
R3  R2
1 2 2

 
R3  R2 1  2 3
RS 1  R5  R6 
RP 2 
1 1 5
  
2 3 6
R4  RS1
1/ 3  5 / 6
5

 
R4  RS1 1 / 3  5 / 6 21
RS 2  RP1  RP 2 
RP 3 
2 5 19

 
3 21 21
R1  RS 2
5  19 / 21
95



R1  RS 2 5  19 / 21 124
7
Calcoliamo la tensione V41 secondo la legge di Ohm per un bipolo passivo:
V41  RP 3  I 
95
285
6 
V
124
62
Calcoliamo la tensione V31 utilizzando la formula del partitore di tensione:
V31 
RP 2
5 / 21
285 75
 V41 

 V
RP1  RP 2
2 / 3  5 / 21 62 62
Quindi la tensione V32 sarà pari a:
V32 
R5
1/ 2
75 45
 V31 

 V
R5  R6
1 / 2  1 / 3 62 62
ESERCIZIO 4 (Trasformazione stella triangolo)
E’ dato il circuito rappresentato in figura:
Sono noti i seguenti dati: R1 = 40Ω; R2 = 50Ω; R3 = 20Ω; R4 = 20Ω; R5 = 20Ω;
Ri = 0,75Ω; E0 = 22V
8
Calcolare il valore della corrente I.
Soluzione
Il calcolo della corrente erogata dal generatore E0 è possibile se riusciamo a calcolare il
valore della resistenza equivalente tra i punti A-C e cioè la RAC.
Come appare chiaramente nessuno dei resistori del circuito risultano collegati il serie o
parallelo e quindi bisogna operare una trasformazione triangolo-stella, infatti si osserva
come le terne R1, R5, R4 e R3, R2, R5 costituiscono dei triangoli.
Vediamo come diventa il circuito se sostituiamo al primo di questi due triangoli una
stella:
Come mostrato dalla figura di sopra, il circuito ottenuto è molto più semplice e presenta i
caratteristici collegamenti serie parallelo.
I valori di RA, RB, RD sono:
RA 
R1  R4
40  20

 10
R1  R4  R5 40  20  20
RB 
R1  R5
40  20

 10
R1  R4  R5 40  20  20
RC 
R4  R5
20  20

 5
R1  R4  R5 40  20  20
Risultano in serie RC ed R3, ed anche RB con R2, quindi:
RC 3  RC  R3  5  20  25
9
RB 2  RB  R2  10  50  60
Quindi il circuito sarà:
RC3 risulta in parallelo con RB2, pertanto:
RP 
RC 3  RB 2
25  60

 17,65
RC 3  RB 2 25  60
Il circuito semplificato sarà il seguente:
La corrente in questo circuito vale:
I
E0
22

 0,77 A
R A  RP  Ri 10  17,65  0,75
Proviamo ora a risolvere lo stesso problema utilizzando una trasformazione stellatriangolo.
Più precisamente sostituiamo alla stella R4, R5, R3 il triangolo RAB, RBC, RAC. Il
circuito diventa:
10
I valori di RAC, RAB, RCB sono:
R AB  R4  R5 
R4  R5
20  20
 20  20 
 60
R3
20
RBC  R5  R3 
R5  R3
20  20
 20  20 
 60
R4
20
R AC  R4  R3 
R4  R3
20  20
 20  20 
 60
R5
20
Sono inoltre collegati in parallelo RAB con R1 (che chiameremo RP1), e RBC con
R2(che chiameremo RP2):
RP1 
R AB  R1
60  40

 24
R Ab  R1 60  40
RP 2 
RBC  R2
60  50

 27,27
RBC  R2 60  50
Quindi il circuito diventa:
11
RP1 e RP2 risultano essere in serie, quindi:
Rs  RP1  RP 2  24  27,27  51,27
RS risulta essere in parallelo a RAC, quindi:
RP 3 
R AC  RS
60  51,27

 27,65
R AC  RS 60  51,27
Il circuito semplificato sarà il seguente:
Quindi la corrente che circolerà nel circuito sarà pari a:
I
E0
22

 0,77 A
Ri  RP3 0,75  27,65
C.V.D.
ESERCIZIO 5 (Princ. di sovrap. degli effetti e generatori dipendenti)
E’ dato il circuito rappresentato in figura:
12
Calcolare la tensione V.
Soluzione
Il principio di sovrapposizione degli effetti è valido per i circuiti lineari ed afferma
che ogni grandezza elettrica in un circuito elettrico lineare in cui siano presenti n
generatori può essere ricavata come la somma della stessa grandezza elettrica per n
circuiti in cui ogni generatore indipendente operi singolarmente e gli altri siano
disattivati.
Anche nei circuiti in cui siano presenti generatori controllati è possibile applicare il
principio di sovrapposizione degli effetti. In questo caso non si dovranno annullare i
generatori controllati, ma si modificherà per i diversi circuiti la relazione fra la
grandezza di controllo e quella controllata.
Nel circuito ci sono due generatori indipendenti ed uno dipendente (generatore di
tensione controllato in corrente), quindi i circuiti da considerare saranno due.
Il primo circuito sarà:
Per questo circuito si applica direttamente il principio di Kirchhoff e la legge di Ohm,
e si ottiene:
12 - 2I = 4I
da cui:
I = 2A
e quindi la tensione V1 sarà pari a:
V1 = 6V = contributo alla tensione V del primo circuito
Il secondo circuito sarà:
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Applicando Il principio di Kirchhoff alle due maglie e la legge di Ohm si ottiene:
6  I  Ix

- I - 3 Ix - 2I  0
Risolvendo questo sistema si ottiene: Ix = 3A
Quindi la tensione V2 sarà pari a:
V2 = 3*3 = 9V = contributo del secondo circuito alla tensione V
La tensione totale V è allora:
V = V1 + V2 = 9 + 6 = 15V
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