Vettori e cinematica

Leggi la seguente tabella che riporta alcune indicazioni pratiche sul metodo di studio. Alla luce del tuo
lavoro nel trimestre appena concluso per ogni voce datti un voto (1 è il più scarso). Vedi in quale
settore sei più carente e …provvedi a migliorarti. Calcola il tuo punteggio totale. Se hai totalizzato
meno di 20 punti, ciò che hai fatto fino ad ora è assolutamente inadeguato. Se non raggiungi i 64 punti
puoi ancora migliorare. Se il tuo punteggio è di 64 punti sei pronto a passare al livello superiore, quello
in cui ti verrà chiesto di rispondere a domande o fare esercizi che non sono ancora stati affrontati,
insomma ti viene chiesto di metterci un po’ di intuito e magari di genialità.
SUGGERIMENTI PER UN METODO…INTELLIGENTE
1
2
Seguo attentamente le lezioni. Alla fine di ogni lezione ho capito tutto quanto spiegato
comprensione
Riguardo a casa quanto fatto in classe il giorno stesso in cui è stato spiegato e segno sugli appunti ciò
che non mi è chiaro per poter fare domande la volta successiva
Chiedo ciò che mi sono accorto di non aver capito riguardando gli appunti eventualmente integrati con
il libro
Seguo attentamente le interrogazioni facendo gli esercizi proposti o annotando le domande fatte
(domande alle quali provo a dare una risposta)
Svolgo costantemente gli esercizi assegnati di compito
Svolgo nuovamente in modo autonomo gli esercizi già fatti in classe
Memorizzazione
Evidenzio gli errori commessi (con la penna rossa), cerco di capire cosa mi ha portato a sbagliare e
faccio di tutto per non ripetere lo stesso errore
Memorizzo un nuovo argomento solo dopo essermi accertato di averlo capito
Quando studio la teoria riguardo anche gli esercizi corrispondenti
Non studio in modo sequenziale, così come gli argomenti sono stati presentati, ma cerco di farmi degli
schemi riassuntivi che evidenziano collegamenti tra le diverse parti.
Quando studio evidenzio (con una penna diversa da quella utilizzata per prendere appunti) le cose
fondamentali
verifiche
Per prepararmi ad una verifica provo a rispondere alle domande che sono state fatte nelle interrogazioni
precedenti o provo a rifare gli esercizi nei quali avevo trovato difficoltà
Quando ripeto un argomento faccio attenzione al corretto uso della terminologia specifica e delle
notazioni
Quando ripeto supporto le mie parole con opportuni esempi, disegni, relazioni scritte
Per verificare il mio grado di preparazione ripeto a qualcuno che sia in grado di seguire il mio discorso
Dopo aver compreso e memorizzato tutto cerco di ridurre il tempo di esecuzione degli esercizi.
1
Fisica
3
4
1) Il vettore nel riferimento cartesiano



Dato un vettore nel piano, per componenti cartesiane a  axi  a y j , ricorda che è possibile calcolare
il modulo e l’angolo che il vettore forma con l’asse delle x, sfruttando rispettivamente il teorema di
Pitagora e le relazioni trigonometriche:

a  ax2  a 2 y
modulo
ay

angolo
  tan 1
ax
ay
ax
E’ possibile anche fare il contrario, noti modulo e angolo, sempre sfruttando le relazioni goniometriche
si possono trovare le componenti cartesiane ( attenzione, in questo caso l’angolo da considerare è
quello che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse)

a x  a cos 

a y  a sin 
ay
ay


ax
ax

ay
ax
2) Le operazioni tra vettori per componenti






Dati due vettori per componenti a  axi  a y j e b  bxi  by j ricorda che valgono le seguenti
relazioni:
somma algebrica
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Prodotto tra uno scalare
e un vettore


 
a  b  (ax  bx )i  (a y  by ) j
 
a  b  axbx  a yby

 
a  b  (axby  a ybx )k



ha  ha x i  ha y j

Angolo tra i due vettori


  cos 

 a x2  a 2y  bx2  b y2 


1 
a x bx  a y b y
Vettore
Scalare
Vettore
vettore
Angolo
3) Le operazioni tra vettori noti moduli e direzioni
somma algebrica
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
2
Graficamente: regola del parallelogrammo o della
poligonale
Numericamente: eccetto i casi particolari, si
utilizzano le componenti cartesiane
   
a  b  a b cos 
 
Modulo: a b sin 

Direzione: perpendicolare al piano individuato da a
Vettore
Scalare
Vettore
Fisica
Prodotto tra uno scalare
e un vettore

eb
Verso: regola della mano destra

Modulo: h a

Direzione: del vettore a


Verso: del vettore a se h è positivo, opposto ad a se
h è negativo
vettore
A) Il vettore nel riferimento cartesiano e le operazioni tra vettori per componenti.
Dati i seguenti vettori per componenti, rappresentali
rappresenta (quando ha senso) quanto richiesto:



 

 
1) Dati a  2i  3 j b  4i  2 j trova a  b ;



 

 
2) Dati a  3i  2 j b  2i  3 j trova a  b ;







b  4i  3 j trova a ; b ;
3) Dati a  2i

 

 


4) Dati a  4i  3 j b  i  j
trova a ; b ;



 

 
b  10i  2 j trova 2a  b ;
5) Dati a  5i  j



  
 
b 2j
6) Dati a  i  3 j
trova a  b  k ;
in un riferimento cartesiano e calcola e
 
a b ;
 
a b ;
 
a b ;
 
a b ;


a  2b ;
  
a b a
 
a b ;
 
a b ;
 
a b
 
a b
angolo tra i due vettori
angolo tra i due vettori
 
a b
B) Le operazioni tra vettori noti moduli e direzioni
Considera due vettori di moduli 2 e 4, posti come nelle figure sotto; calcola e rappresenta somma,
differenza e prodotto vettoriale.
2
1
60°
5
3
3
60°
6
4
30°
7
30°
8
Fisica
0) Richiami di geometria analitica
Una relazione del tipo y=(polinomio di 1° grado), nel piano x,y rappresenta una retta (non verticale)
che ha le seguenti caratteristiche:
y=ax+b
termine noto (b)
Coefficiente del termine
di primo grado (a)
intercetta
Coefficiente angolare, cioè
l’inclinazione, cioè la tangente
goniometrica dell’angolo che la retta
forma con il semiasse positivo delle
ascisse
y
b
a
1
x
Una relazione del tipo y=(polinomio di 2° grado), nel piano x,y rappresenta una parabola con asse di
simmetria verticale che ha le seguenti caratteristiche:
y=ax2+bx+c
termine noto (c)
Coefficiente del termine
di primo grado (b)
Coefficiente del termine
di 2° grado (a)
intercetta
Coefficiente angolare della retta
tangente alla parabola nel punto di
intersezione con l’asse verticale
Concavità della parabola (  se a>0,
 se a<0) e apertura, all’aumentare
del modulo di a diminuisce l’apertura
della parabola
y
x
1) Le definizioni minime
Ricorda le principali definizioni in ambito cinematico
Posizione

r
Spostamento

r
Spazio
percorso
s
Legge oraria
Traiettoria
4
E’ il vettore che va dal punto O occupato dall’osservatore al
punto P occupato dall’oggetto che si vuole studiare. In un
 

riferimento cartesiano è dato per componenti: r  xi  yj
È il vettore che unisce due punti P1 e P2 occupati da un corpo in
due istanti successivi t1 e t2. E’ legato alla posizione dalla
  
relazione: r  r2  r1
E’ la lunghezza del tratto percorso dall’oggetto che si sta
studiando, in un determinato intervallo di tempo
Grandezza
vettoriale
E’ la legge che indica la posizione in funzione del tempo. In un
moto rettilineo, fissato un riferimento è data da una funzione del
tipo x  x (t ) , in un moto piano, fissato un riferimento è data da
 x  x(t )

 y  y (t )
E’ il luogo dei punti occupati dal corpo durante il suo
movimento
Funzione
Grandezza
vettoriale
Grandezza
scalare
Curva
Fisica
Velocità
scalare media
Velocità
vettoriale
media
Velocità
scalare
istantanea
Velocità
vettoriale
istantanea (o più
semplicemente
velocità)
Accelerazione
v sm 
s
t


r
vm 
t
Grandezza
scalare
Grandezza
vettoriale
s
t 0 t


r
v  lim
t 0 t
direzione Tangente in ogni punto alla traiettoria
modulo
vs
verso
Del moto



v 
a  lim
 a tan gente  anormale
t 0 t
Grandezza
scalare
v s  lim

a tan gente  0

anormale  0
Moto uniforme
Moto vario
Grandezza
vettoriale
Grandezza
vettoriale
Se il modulo della velocità cambia, cioè se il
moto non è uniforme
Se la direzione della velocità cambia, cioè se il
moto non è rettilineo
Moto in cui il modulo della velocità non varia nel tempo, non si ha alcuna
informazione sulla direzione
Moto in cui il modulo della velocità varia nel tempo, non si ha alcuna
informazione sulla direzione
2) I moti rettilinei
 Nei moti rettilinei è necessario fissare un asse di riferimento con origine e verso. Fatto questo, di
tutte le grandezze vettoriali si considerano solo le componenti cartesiane: componenti positive
rappresentano vettori nel verso del riferimento, componenti negative vettori nel verso opposto a
quello del riferimento.
 Dato il grafico della velocità in funzione del tempo l’area sotto la curva rappresenta lo spazio
percorso.
 Dato il grafico della legge oraria la pendenza della curva in ogni punto rappresenta la velocità
nell’istante corrispondente.
Rettilineo uniforme
Accelerazione
a0
velocità
v  cos tan te
a
Legge oraria
x  x0  vt
v
t
x
t
t
Intercetta= posizione iniziale
Coefficiente angolare=velocità
5
Fisica
Rettilineo uniformemente accelerato
accelerazione
a  cos tan te
velocità
v  v0  at
a
Legge oraria
x  x0  v0 t 
v
1 2
at
2
x
t
t
t
Intercetta= velocità iniziale
Coefficiente angolare=accelerazione
Intercetta= posizione iniziale
Pendenza iniziale della parabola =
velocità iniziale
Concavità e apertura=accelerazione
A) Le definizioni minime
Un corpo si muove di moto rettilineo che rispetto ad un riferimento fissato è dato dalle seguenti leggi
orarie (espresse nel S.I.). In ciascun caso determina: posizione iniziale e istante in cui il corpo passa
dall’origine del riferimento.
1) x(t )  4t  5t 2
2) x(t )  4  5t 2
3) x(t )  4t 3  5t 2
2t  3
4) x(t )  4t  5
5) x(t )  t 2  6t  8
6) x(t ) 
5
Un corpo si muove di moto uniforme con velocità scalare di 2 m/s, sulle traiettorie seguenti. In
ciascun caso determina velocità vettoriale media nell’intervallo di tempo in cui il corpo passa dalla
posizione A alla posizione B (indicate). Determina e rappresenta il vettore velocità nella posizione C e,
sempre nella posizione C rappresenta il vettore accelerazione.
b=20 m
L=10 m A
A
A
A
R=10 m
h=10 m
B
C
B
C
C
B
C
B L=10 m
B) I moti rettilinei
1) Considera i seguenti grafici che si riferiscono a moti rettilinei che avvengono nel riferimento qui
rappresentato:
O
Per ciascuno, quando è possibile, rispondi alle seguenti domande:
a) posizione iniziale
b) velocità iniziale
c) quando il corpo si muove verso destra
d) quando il corpo si muove verso sinistra
e) quando il corpo è fermo
f) quanto spazio viene percorso nei primi 5 secondi di osservazione
g) quanto vale lo spostamento nei primo 5 secondi di osservazione
6
Fisica
v(m/s)
v(m/s)
v(m/s)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
0
t(s)
1
2
3
4
5
6
t(s)
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
x(m)
x(m)
3
3
2
2
2
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
t(s)
1
2
3
4
5
6
t(s)
0
t(s)
1
2
3
4
5
6
t(s)
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
v(m/s)
2
x(m)
3
0
1
x(m)
x(m)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
t(s)
1
2
3
4
5
6
t(s)
1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
2
3
4
5
6
t(s)
-3
2) Scrivi le leggi orarie dei moti seguenti rispetto ai riferimenti indicati:
a) macchina in moto uniforme che parte a 10 m dal pino alla velocità di 30 km/h
O
b) macchina in moto uniforme che parte a 10 m dal pino alla velocità di 30 km/h
O
7
Fisica
c)
macchina che parte da ferma a 10 m dal pino e che si muove di moto uniformemente
accelerato con accelerazione di modulo 4 m/s2 .
O
d) macchina che parte da ferma a 10 m dal pino e che si muove di moto uniformemente
accelerato con accelerazione di modulo 4 m/s2 .
O
e) palla che parte a 1 m dal pavimento e viene lanciata
verso l’alto con velocità iniziale di 4 m/s
f) palla che parte a 1 m dal pavimento e viene lanciata
verso l’alto con velocità iniziale di 4 m/s
g) palla che parte a 1 m dal pavimento e viene lanciata
verso l’alto con velocità iniziale di 4 m/s
h) palla che parte a 1 m dal pavimento e viene lanciata
verso l’alto con velocità iniziale di 4 m/s
8
e)
1m
f)
g)
O
O
h)
O
O
Fisica