U3_MONOMI E POLINOMI

MONOMI E POLINOMI
I MONOMI
Un monomio è un’espressione letterale
in cui compaiono solo moltiplicazioni e
divisioni tra numeri e lettere.
Esempi
-12a4
3a2
3 2
x y
2
7 3 4
a b
8
Le parti di un monomio sono:
7
3
4
a b
8
il coefficiente
la parte letterale
Esempi
4
5 x y
il coefficiente
6
la parte letterale
Esempi
44 66
1 ab
la parte letterale
quando il
coefficiente non
compare è uguale a 1
GRADO di un monomio
Il grado di un monomio è la somma
degli esponenti di tutte le sue lettere.
3x2y3
grado: 2+3=5
2a2b4c
grado: 2+4+1=7
-5xy
grado: 1+1=2
+ 12
grado: 0
Il grado di un monomio privo di parte letterale è zero.
Monomi SIMILI
Due o più monomi sono simili se hanno
la stessa parte letterale.
a b
 4a b
4 6
4 6
2
4x y
5
1 4 6
ab
2
 3 xy
sono simili
NON sono simili
SOMMA di monomi
Monomi simili si possono SOMMARE
(+5a3b2) + (-2a3b2 ) =
sommando i coefficienti:
(+5 a3b2) + (-2 a3b2 ) = (+5-2) … = +3 …
La parte letterale NON CAMBIA:
(+5a3b2) + (-2a3b2 ) = (+5-2) a3b2 =+3 a3b2
SOMMA di monomi: esempi
a 4  4a 4  6a 4  (1  4  6) a 4  1a 4  a 4
 12 x y  3 x y  14 x y  (12  3  14) x y  5 x y
2
2
2
1 5  15  1 5
14 5
 3a  a 
a  a
5
5
5
5
2
2
DIFFERENZA di monomi
Si somma al primo monomio l’opposto
del secondo.
 3a 4  (2a 4 )  3a 4  2a 4  a 4
1
3
1
3
7
 xy  ( xy )   xy  xy   xy
4
2
4
2
4
La somma di due o più monomi
NON simili è un POLINOMIO
Esempi
a  4ab  5b
4
3
x y  5 xy  4 x y
3
2
2
4
GRADO di un polinomio
Il grado di un polinomio è il grado del
monomio di grado massimo.
a  4ab  5b
4
3
4grado 2grado 3grado
Il grado massimo è 4 quindi il
polinomio ha grado 4.
SOMMA di polinomi
Si sommano i monomi simili.
a  4ab  6a  12ab 
4
4
(1  6)a  (4  12)ab 
4
 5 a  8 ab
4
PRODOTTO di due monomi
Bisogna moltiplicare tra loro i coefficienti e le parti
letterali, applicando le proprietà delle potenze
(cioè sommando gli esponenti).
( 2a b)  (4a b ) 
4
2 2
8 a
4  2 1 2
b
8a b
6 3

PRODOTTO di un monomio per
un polinomio
Bisogna applicare la proprietà distributiva della
moltiplicazione.
2x (3x2 + 2x – 1) =
2x (3x2 ) + 2x (2x) + 2x (–1) =
6x3 + 4x2 – 2x
PRODOTTO di polinomi
Bisogna applicare la proprietà distributiva della
moltiplicazione.
(x – 1)(2x2 + 7x + 3) =
(x – 1) (2x2) + (x – 1) (7x) + (x – 1) (3) =
2x3 – 2x2 + 7x2 – 7x + 3x – 3 =
2x3 + 5x2 – 4x – 3
DIVISIONE di un polinomio per
un monomio
Bisogna applicare la proprietà distributiva della
divisione e si applicano alla parte letterale le
proprietà delle potenze (sottraendo gli esponenti).
(6 x4 + 8 x3 –12 x2): 2x2 =
(6 x4 ): 2x2 + (8 x3): 2x2 + (–12 x2): 2x2 =
3 x4-2 + 4 x3-2 - 6 x2-2 =
3 x2 + 4 x1 - 6 x0 = 3 x2 + 4 x - 6
I casi particolari del prodotto
I PRODOTTI NOTEVOLI
La SOMMA per la
DIFFERENZA
(a+b) (a-b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 - b2
È il quadrato del primo termine MENO il
quadrato del secondo termine.
Esempi
(2a + 7)(2a - 7)=
4a2 - 49
2 - 16b2
9a
(3a - 4b)(3a+ 4b) =
(x2 + 3y)(x2 – 3y) = x4 - 9y2
2 - 9b2
25a
(5a - 3b)(5a+ 3b) =
(5x2+2y2)(5x2 -2y2) = 25x4 - 4y4
QUADRATO di binomio
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
= a2+2ab+b2
È il quadrato del 1° monomio
+
il doppio prodotto del 1° per il 2°
+
il quadrato del 2° monomio
Esempi
 (2x + 7)2 =
4x2 + 28 x + 49
 (3a -
4b)2
=
9a2 - 24 ab + 16b2
 (2x -
3y)2
=
4x2 - 12 xy + 9y2
 (5a -
3b)2
=
25a2 - 30ab + 9b2
 (2xy –
3y)2
=
4x2y2 - 12 xy2 + 9y2