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Poligoni e triangoli
SPEZZATA
• Si chiama spezzata una figura costituita da due o più
segmenti consecutivi non adiacenti
C
B
A
D
• A, B, C, D, E ….
Vertici
• AB, BC, CD, DE, ….. Lati
E
Una spezzata può essere
• aperta
• chiusa – quando il primo vertice coincide con l’ultimo
Spezzata aperta
Spezzata chiusa (Poligonale)
POLIGONO
Si chiama poligono la figura formata da una poligonale
e dalla parte finita di piano delimitata dalla stessa.
Vertici
Lati
Contorno
TRIANGOLI
Definizione:
Si chiama triangolo un poligono di tre lati
B
C
A
CLASSIFICAZIONE TRIANGOLI
In base ai lati
Scaleno
In base agli angoli
Acutangolo
:scaleno, isoscele, equilatero
Isoscele
Equilatero
:acutangolo, rettangolo, ottusangolo
Rettangolo
Ottusangolo
DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI
Mediana:
si chiama mediana relativa ad un lato il segmento che
congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto
Baricentro
Baricentro:
punto di intersezione delle mediane relative ai tre lati
DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI
Bisettrice:
si chiama bisettrice relativa ad un lato il segmento che
congiunge il lato con il vertice opposto sulla semiretta
bisettrice dell’angolo.
Incentro
Incentro:
punto di intersezione delle tre bisettrici
DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI
Altezza:
si chiama altezza relativa ad un lato il segmento che
congiunge il vertice opposto con il lato formando con
esso due angoli retti
Ortocentro
Ortocentro: punto di intersezione delle tre altezze
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti
uno sull’altro mediante un movimento rigido
A
B’
B
A’
C
C’
TRIANGOLI CONGRUENTI
I triangoli congruenti hanno i lati e gli angoli ordinatamente
congruenti
ABDE
BCEF
ACDF
AD
B E
C F
A
E
B
F
D
C
I° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI
TRIANGOLI
Se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso congruenti
allora sono congruenti
Se AB A’B’
B’
A



ACA’C’
β'
B
A’
α'
’
Risulta anche:
γ'
C’
BC B’C’
’
C
’
ESERCITAZIONE
Dato un triangolo qualunque ABC, tracciamo la mediana AM e prolunghiamola,
dalla parte di M, di un segmento MDAM. Dimostrare che BDAC e che
CDAB
Hp: CMMB AMMD
A
Th: BDAC CDAB
B
M
C
D
II° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI
TRIANGOLI
Teorema: Due triangoli che hanno un lato e i due angoli
ad esso adiacenti congruenti sono congruenti
Hp: ACA’C’
B’
A



B
’ e ’
β'
A’
α'
Th:
γ'
C’
BC B’C’
ABA’B’
’
C
PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti
alla base sono congruenti
A
Hp: ABBC (il triangolo è isoscele)
Th: ABC  ACB
Dimostrazione
ABBC per ipotesi
\
B
T
Bisettrice
ATAT per la proprietà riflessiva della
congruenza
BAT CAT perché AT è la bisettrice per
C
costruzione
I triangoli ABT e ACT risultano congruenti
per il primo criterio di congruenza
PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti
alla base sono congruenti
A
I triangoli ABT e ACT risultano congruenti
per il primo criterio di congruenza perché
hanno due lati e l’angolo compreso congruenti
Poiché ABTACT allora ne consegue che
B
T
Bisettrice
C
ABC  ACB perché angoli
omologhi di triangoli congruenti
Resta pertanto dimostrata la tesi
C.V.D. (Come Volevasi Dimostrare)
PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli
congruenti allora è isoscele
Hp: ABC  ACB
A
Th: il triangolo è isoscele cioè ABBC
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli TCB e SBC
BCBC per la proprietà riflessiva della
congruenza
BTCS per costruzione
C
B
T
TBC SCB perché angoli supplementari di
angoli congruenti
I triangoli TCB e SBC risultano congruenti
S per il primo criterio di congruenza (due lati e
l’angolo compreso)
PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli
congruenti allora è isoscele
A
Poiché TCB SBC risulta BSCT e TCB SBC
Consideriamo i triangoli ASB e ATC
BSCT per la precedente dimostrazione
BAS CAT perché angoli coincidenti
ABSACT perché somma di angoli
congruenti ABC + SBC  ACB + TCB
B
C
I triangoli ASB e ATC risultano congruenti
per il secondo criterio di congruenza (due
angoli e il lato compreso congruenti)
S
T
Pertanto in particolare risulta ABBC che è la tesi C.V.D.
III° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI
TRIANGOLI
Teorema: Due triangoli che hanno i tre lati
ordinatamente congruenti sono congruenti
Hp: AB A’B’
B’
A


C

B
ACA’C’
BC B’C’
β'
A’
α'
γ'
Th: ’ ’
’