111 kg - Matematicapovolta

Il metodo Singapore nella
risoluzione di Problemi assegnati ai
Giochi Matematici
Claudio Marchesano
Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono
molto amici.
La loro età media è 14 anni.
Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero
gruppo diventa di 16 anni.
Qual è l’età media degli amici di Enea ?


Questa domanda è stata posta ai Giochi di Archimede del
2015/2016
I Giochi di Archimede si svolgono a fine novembre in tutte le
scuole superiori d’Italia ed, in genere, partecipano circa
300.000 studenti
Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto
amici.
La loro età media è 14 anni.
Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo
diventa di 16 anni.
Qual è l’età media degli amici di Enea ?
Provate a rispondere voi !!



Agli alunni del biennio vengono assegnate 16
domande in due ore (quindi meno di otto minuti a
domanda)
Agli alunni del triennio , invece, vengono assegnate 20
domande in due ore (quindi 6 minuti a domanda)
Questa domanda (con dati diversi) era presente nei
testi di entrambe le categorie
Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono
molto amici.
La loro età media è 14 anni.
Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero
gruppo diventa di 16 anni.
Qual è l’età media degli amici di Enea ?
Una soluzione proposta con il metodo tradizionale
Posto x=Età media amici di Enea
6  14  3  x
 16
9
9(
6  14  3  x
)  16  9
9
6 14  3  x  16  9
84  3  x  144
3  x  144  84
3  x  60
X=20
Proposta di soluzione con metodo a
barre


E’ una proposta …. Probabilmente migliorabile
Il metodo a barre si presta benissimo anche per
essere “adattato” alla situazione
Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto amici.
La loro età media è 14 anni.
Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16
anni.
Qual è l’età media degli amici di Enea ?
?
84
84 = 14 x 6
144=16*9
144
Età media amici Enea
60=144-84
20
Gli amici di Enea hanno una età media di
20 anni
Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta
e mantiene una media di 21 km/ora in salita e
42 km/ora in discesa.
Ha percorso la stessa strada.
Qual è la media oraria complessiva ?


Questa domanda è risultata la più difficile alla Prima
edizione della matema…ti.ca…ttura cat. Biennio
Conviene “ragionare” pensando, ad esempio, che la
salita sia di 21 km , proprio perché , con la media
oraria, si vuole sapere quanti km si percorrono in un ora
Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta
e mantiene una media di 21 km/ora in salita e 42
km/ora in discesa. Ha percorso la stessa strada.
Qual è la media oraria complessiva ?
42
1h 30’ per
fare 42 km
42 ÷ 3 = 14
?
Ogni 30’ percorre
in media 14 km
totale
una parte
Numero di blocchi
da 30’ (parti)
Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta
e mantiene una media di 21 km/ora in salita e 42
km/ora in discesa. Ha percorso la stessa strada.
Qual è la media oraria complessiva ?
42
1h 30’ per
fare 42 km
14 x 2 = 28 km/ora
Ogni 30’ percorre
in media 14 km
Pierino ha 200 macchinine . 5/8 di esse sono Ferrari e il restante
di altre case automobilistiche. Ha dato 1/5 delle Ferrari ad un suo
amico. Quante macchinine ha in tutto?
200 macchinine
Ferrari
?
Altre marche
7/8 x 200 = 7 x (1/8 x 200) = 7 x 25 = 175
Pierino ha ancora 175 macchinine.
Aldo ha 3/7 delle caramelle che ha Teresa . Se Aldo da
1/6 delle caramelle a Teresa , quante caramelle ha
rispetto a Teresa . Esprimere il risultato come una frazione
Aldo
Teresa
Il rapporto cercato è in termini di frazione 5:15
oppure
1:3
Problemi con equazioni di primo grado
Andrea, Bruno e Carlo pesano in tutto 111 kg
Andrea pesa 15 kg più di Bruno.Carlo pesa 3 kg più di
Bruno. Quanto pesa ciascuno dei tre amici ?
Andrea
15kg
111 kg
Bruno
Carlo
3kg
Il concetto di
Unità
In questo caso il peso di Bruno può essere
tranquillamernte utilizzato come unità…
Andrea
15kg
111 kg
Bruno
Carlo
3kg
Con il MODELLO a BARRE l’Equazione la …vediamo
3X+18 =111
Andrea
X
Bruno
X
Carlo
X
15kg
111 kg
3kg
Problema: L’ area di un rettangolo è 1620 cm² .
La base è i 5/4 dell’altezza. Trova Perimetro
4 unità
5 unità
Ci sono 20 unità quadrate. Ciascuna è 81 cm²
Unità lineare è 9 cm. Base 45 cm. Altezza 36 cm
Perimetro 162 cm
Problema: Il perimetro di un triangolo isoscele è 360 cm .
Il lato e la base stanno in rapporto 7:4. Trova Base
4 unità
18 unità lineari formano il perimetro . Ciascuna è 20 cm.
Base 80 cm. Lato 140 cm
Problema: .
I due cateti di un triangolo rettangolo misurano
rispettivamente 108 m e 144 m. Trova Perimetro
?
144 m
108 m
Il MCD tra 144 e 108 è 36 .
Posso pensare di costruire triangolo simile.
Problema: .
I due cateti di un triangolo rettangolo misurano
rispettivamente 108 m e 144 m. Trova Perimetro
5m x 36 =180 m
144m:36
=4m
108m :36 = 3m
Applico il teorema di Pitagora , considerando I lati 3m e 4m. .
Ho pagato un cappotto (scontato del 40%) 98.40 Euro
Quanto costava il cappotto prima dello sconto ?
Prezzo
scontato
Prezzo prima
delo sconto
Ogni blocco vale 98.40 Euro :6 =16.40 Euro
Il cappotto perciò costava 164 Euro
Area Figura (senza conoscere ancora formule)
Area = (2.5 + 35 + 2.5) unità quadrate
Area = 40 unità quadrate
Area Figura
Area Figura
Area Esagono regolare
La Comparazione è immediata

Lato x Lato= 4 unità x 4 unità=
16
unità quadrate
4 л unità quadrate
 Л=3.14… minore di 4 .. E si vede pure

Raggio x Raggio x л =
Area della regione di colore giallo .
Area Quadrato
meno
Area del cerchio
Trovare area sezione grigia.
Somma tra frazioni con metodo a
barre
3 4

2 1
8 3 11
 
12 12 12
Differenza tra frazioni
2 1

3 4
8
3
5


12 12 12
Probabilità … esempio 1
Esempio 1: Scegli una carta da un mazzo di 52
carte francesi. Qual è la probabilità che sia un
asso?
Num. di assi
4
P(scegliere un asso ) 

 .0769
Numero di carte 52
probabilità: Esempio 2
Esempio 2. Qual è la probabilità di scegliere due assi da un mazzo di 52 carte?
num. di assi
4
P(scegliere un asso come la prima carta ) 

numero carte 52
num. di assi nel mazzo
3
P(scegliere un asso come seconda carta ) 

numero di carte rimaste 51
4 3
 P(due assi su due carte pescate) 
x
52 51
Probabilità: Esempio 2
Altro metodo per risolvere il problema proposto
P(due assi pescati su due carte estratte ) 
numero di modi in cui si possono pescare due assi
numero totale di coppie che si possono avere con due carte
Numerator:e AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA,
AA, AA, or AA = 12
52 carte
Denominatore = 52x51 = 2652 -- cioè
12
 P(cercata ) 
52 x51
51 carte
.
.
.
.
.
.
Permutazioni con ripetizioni
“Qual è la probabilità di avere due teste lanciando due volte una moneta?
Lancio 1 : due
possibilità
Lancio 2: due
possibilità
T T:
T
C
1 modo TT
P(TT )  2
2 modi possibili
Permutazioni con ripetizioni
Probabilità di avere tre teste con tre lanci?
TTT
TTC
TCT
TCC
CTT
CTC
1
P(TTT )  3
2  8 possibili combinazio ni
CCT
CCC
Permutazioni con ripetizioni
Probabilità di avere due 6 lanciando due dadi
non truccati?
1 modo di avere 6, 6
1
P(6,6)

2
6
36
Qual è la probabilità di avere un 3 ed un 6?
2 modi : 3,6 o 6,3 2
P(3 & 6) 

2
6
36
Permutazioni senza ripetizioni
 Anagrammi di una parola formata da cinque lettere (tutte diverse
tra loro):
ABCDE
ABCED
ABDCE
ABDEC
ABECD
ABEDC
.
.
.
Permutazione senza ripetizioni
2 scelta
solo 4 possibilità
1 scelta:
5 possible
A
B
A
B
C
D
E
Etc….
D
…….
E
A
B
C
D
Numero di permutazioni = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!
Ci sono 5! Modi per formare anagrammi con 5 lettere diverse
Permutazioni senza ripetizioni
In quanti modi si possono formare parole di tre lettere
diverse pescando da cinque lettere (due lettere
rimangono fuori) ?
5 x 4 x3 
B
A
B
B
C
D
E
D
A
D
A
B
C
D
E
E
5 x 4 x3x 2 x1 5!
 
2 x1
2!
5!
(5  3)!
Permutazioni senza ripetizioni
Nota che la regola vale anche con 5 lettere in 5 posti:
5!
5!
  5!
(5  5)! 0!
Combinazioni
1.
2.
3.
….
Quanti sono in totale ?
Combinazioni
1.
2.
3.
….
ad esempio, in quanti modi diversi si possono disporre 5 carte prelevandole
da un mazzo di 52?
Combinazioni… la prossima
volta?
1.
2.
3.
….