Forza di Lorentz
Correnti e magneti
Campi lentamente variabili e correnti indotte
Esperienza di Oerstead
Ad aprire gli studi sull’elettromagnetismo e sull’origine del campo
magnetico fu l’esperienza di Oerstead
1-7
Forza di Lorentz
L’azione del campo magnetico su una carica puntiforme dotata di
movimento è descritta dalla forza di Lorentz:
f = qv Ù B
secondo cui, una carica elettrica, q, in moto in un campo
magnetico, è soggetta ad una forza agente solo sulla direzione
v e
il verso di .
Questa forza è perpendicolare al piano individuato dalla direzione
della velocità di q e dalla direzione del campo magnetico, ecco
perché non agisce sul modulo della velocità di q e quindi sulla sua
energia cinetica.
B
v
f = qv Ù B campo magnetico attraversato
dalla carica.
q è la carica elettrica, la velocità di q,
B
v
il
Fasci descritti da elettroni in situazioni
diverse di campo magnetico
N. B.: In generale la forza di Lorentz si scrive considerando anche il contributo del campo
elettrico:
f = qE + qv⋀B
ma noi consideriamo la sola presenza del campo magnetico, supponendo nullo il
campo elettrico.
Forza di Lorentz
La deviazione della traiettoria di una particella carica da parte di un campo
magnetico avviene in ragione del segno della carica.
-
B
+
uscente
n
Forza di Lorentz
f = qv Ù B
B
Se v//B non c’è nessun effetto di B sul moto di q
3-7
4-7
Forza di Lorentz
f = qv Ù B
B
uscente
Basta che v non sia // B e la forza di Lorentz produce l’effetto di curvare la traiettoria della carica.
Forza di Lorentz
f = qv Ù B
B
v
Particella
carica
Se v ha una componente parallela ed un’altra perpendicolare a B, il moto della particella nel
campo sarà elicoidale. Una volta uscita riprenderà il suo moto rettilineo. La componente di v
parallela al campo non subisce alcuna influenza da B.
5-7
B
LA componente 𝑉 ⊥ non è influenzata dal C.M., per cui fa traslare la particella,
invece 𝑉 ⊥ interagisce con il C.M. inducendo una rotazione della carica, che
quindi trasla e ruota
Forza di Lorentz
f = qv Ù B è una forza sempre perpendicolare alla velocità, quindi alla traiettoria, di q.
La forza di Lorentz è una forza centripeta e genera una traiettoria circolare.
Quanto vale il raggio di questa traiettoria?
Dalla seconda legge della dinamica: f
= ma
v2
ricordando che l’accelerazione centripeta vale: a
r
v2
m qvBsenα
r
Da cui
r
mv
qBsenα
Non è detto che la traiettoria sia una circonferenza completa, dipende dalle relative intensità di
B, q e v .
6-7
Forza di Lorentz
La forza di Lorentz compie lavoro?
L FL S FL S cos
Siccome
𝐹𝐿 ⊥ 𝑉 ∥ 𝑆 ⇒ 𝐹𝐿 ⊥ 𝑆
E quindi il lavoro è nullo
Dal teorema dell’energia cinetica la F.di L. non può cambiare il modulo di v.
Influenza solo la direzione ed il verso della velocità.
7-7
Moto di una carica in un c.m. uniforme
• Una carica q che si muove con velocità v perpendicolarmente
alle linee di forza di un campo magnetico uniforme B è
sottoposta alla forza di Lorentz il cui modulo è: F = qvB
• La forza di Lorentz
• FL = qvB
fornisce la forza centripeta del moto:
Fc = mv2/r
• Essendo quindi
• Fc = FL => qvB = mv2/r => r = mv/qB
Moto circolare in campo magnetico
Consideriamo una particella carica che entra in un campo
magnetico con velocità perpendicolare al campo magnetico
Poichè la forza di Lorentz (e quindi l’accelerazione) è
perpendicolare alla velocità, il moto è circolare uniforme
Forza centripeta:
Raggio di curvatura:
Periodo:
v2
q vB m
R
mv
R
qB
2πR 2πm
T
v
qB
Interazione corrente magnete: forze su conduttori percorsi da corrente
F
i
S
N
i
B
Le direzioni di
i e di B in questo caso
sono perpendicolari
B
Interazione corrente-magnete
Volendo generalizzare l’esperienza si dovrebbe studiare la dipendenza della forza
magnetica anche in funzione dell’angolo fra la direzione di i e le linee del campo
magnetico. Si osserverebbe che:
quando le linee di campo sono perpendicolari al
filo percorso da corrente percorso da corrente la
forza magnetica sul filo percorso da corrente ha
intensità massima.
la forza magnetica sul filo percorso da corrente
ha intensità minore quando il filo percorso da
corrente è inclinato rispetto alle linee di campo.
la forza magnetica sul filo percorso da corrente
ha intensità nulla quando il filo percorso da
corrente è parallelo alle linee di campo.
In ogni caso ha importanza solo la parte di filo percorso da corrente immersa nel
campo magnetico.
6-8
Interazione corrente-magnete
Riassumiamo le considerazioni mostrate.
La forza cui è sottoposto il filo percorso da corrente e immerso nel campo
magnetico dipende:
1. dal campo magnetico B.
2. da i (vettore con la direzione del filo e il verso della corrente).
3. dall’angolo che il filo forma con le linee di forza del campo magnetico.
In particolare:
1. Non c’è forza magnetica se le direzioni di i e B sono parallele.
2. Fissato i e B, la forza cresce con l’angolo fino a raggiungere il massimo a
90°, poi decresce.
3. La forza dipende solo dalla parte di filo completamente attraversata
dalle linee di campo magnetico.
L’operazione definita nella matematica dei vettori: Prodotto Vettoriale, permette di sintetizzare le proprietà della forza magnetica appena descritte.
7-8
Vettore di induzione magnetica B
8-8
interazione corrente-magnete, Faraday 1821
i
F
B
F
B
i
F
B
B
i
i
F
F l iB
B è il vettore campo magnetico (d’induzione magnetica) il cui verso
è dato dall’orientamento sud-nord di un ago magnetico ed il suo
modulo vale:
F
B
i l sen
B si misura in tesla,( simbolo: T ).
B ha intensità di 1T in un punto quando un conduttore rettilineo lungo 1m e percorso da una
corrente di 1A è soggetto alla forza di 1N quando è posto in quel punto perpendicolarmente
(sen90°= 1) alla direzione del campo magnetico. 1T equivale ad 1N/1A∙1m .
L’intensità del campo magnetico terrestre sulla superficie varia dall’equatore ai poli da circa 2∙10-5 T a 7∙10-5 T.
Momento torcente di B su una spira
Che succede se inseriamo una spira (per comodità quadrata) in un campo
magnetico e con i lati AD e BC perpendicolari a B?
B
A
B
C
D
Vista dall’alto
B
A
1-5
Momento torcente di B su una spira
Con questa scelta, su AB e su CD la forza di Lorentz non produce effetti, o
meglio, se i lati AB e CD non sono paralleli a B, la forza di Lorentz
tendereb-be a dilatare la spira, che però la supponiamo rigida.
A
B
B
Le frecce rosse
rappresentano
la forza di Lorentz
i
D
C
C
Invece, su BC e DA la forza di Lorentz agisce e produce una coppia di forze
che fa ruotare la spira fino a portare il suo piano perpendicolare a B.
A
Vista dall’alto
A
×
●
B
B
Le frecce rosse
rappresentano
la forza di Lorentz
2-5
1-1
Momento torcente di B su una spira
Consideriamo una spira quadrata di lato l disposta come in figura (col
piano che la contiene parallelo a B e con due lati perpendicolari a B),
quanto vale il momento della coppia?
M F b ilB l il B
×
●
2
Tenendo presente che l 2 è l’area della spira, possiamo scrivere il momento
torcente di B sulla spira:
M μmB
Questa è una disposizione particolare, non appena la spira si mette in rotazione il braccio della coppia non sarà più l. Si generalizza considerando l’angolo
tra la spira e B così che il braccio della coppia sarà lsenα, pertanto:
Le frecce rosse
rappresentano
la forze che
formano
la coppia
dovute
alla
forza
di Lorentz
M = mm ´ B
l senα
α
μm
Vista dall’alto
Si badi che mentre le forze
della coppia, fissati i e B, non
variano, il momento della
coppia varia fra un valore
massimo (μmB) e zero.
M
i
A
B
μm
1-1
Momento magnetico di una spira: μm
Siccome una spira percorsa da corrente può ruotare intorno ad una asse, è
utile introdurre un vettore riferito alla spira detto momento magnetico.
Tenendo conto che la spira si orienta ruotando in base alle sue dimensioni
ed alla corrente che in essa circola, il momento magnetico di una spira è
un vettore che ha:
Modulo pari al prodotto fra la corrente, i, che
circola nella spira e l’area, A, della spira: μm = iA.
i
Direzione perpendicolare al piano contenente la
A
spira.
Verso ottenuto con la regola della mano destra (dita
che si chiudono seguendo il verso della corrente e pollice indicante il verso)
μm
μm = iA
Si tenga presente che due spire di diversa area e differente corrente in
esse circolante, possono mostrare gli stessi effetti di rotazione causati da
un campo magnetico esterno. Basta, infatti, che abbiano lo stesso μm = iA
FE
E
v
Q+
Q+
B
E
FE FB E q B q v v
B
Se E e B sono costanti, anche v è costante in modulo direzione e verso
FB
Spettrografo di massa
Misurando il raggio di curvatura
si può risalire alla massa degli
ioni:
m
q BR
v
