lezione A - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

Elettromagnetismo per la
Trasmissione dell’Informazione
Prof. Marco Farina
Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e
Telecomunicazioni
Modalità Esami
Prova scritta
“Auto-correzione”
Prova orale
Testi consigliati
Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde
nell’elettronica delle Telecomunicazioni
R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2:
Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli
Un po’ di storia...








William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione
fenomeni elettrici e magnetici;
Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo
“generatore” con sfera di zolfo
Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti
Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa”
Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo
condensatore
John Canton (1718-1772): induzione elettrica
Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico…
Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti
Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge
quantitativa
Un po’ di storia...










Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica;
analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse
(definizione di capacità)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale
Pierre Simon De Laplace (1749-1827)
Siméon Denis Poisson (1781-1840)
George Green (1793-1841)
Carl Friederich Gauss (1777-1875)
Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro,
pila…
Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti
André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra
correnti elettriche
Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio,
rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del
benzene, induzione elettromagnetica, decomposizione elettrochimica,
scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il
più grande fisico sperimentale del XIX secolo
Un po’ di storia...

James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo
(“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica
statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo
elettromagnetico
Da una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe
chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli
effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano
esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che
esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non
sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici
in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo
di esperimenti….”

Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove
della teoria di Maxwell
Struttura dell’atomo
Negli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e
James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”,
con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di
elettroni
Z = numero atomico
A = numero di massa
Z elettroni esterni
10-10 m
Nel Nucleo:
Z
protoni
A – Z neutroni
10-15 m
Struttura dell’atomo
…non prendete troppo sul serio l’idea planetaria...
…nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ...
Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo?
Non c’è spiegazione nella meccanica classica
La spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica
quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono
misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella
misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere
migliore di una costante (legata alla costante di Plank)
(a meno di qualche fattore 2 e p…)
px  h
Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la
quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno
è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal
principio di indeterminazione
Struttura dell’atomo
supponete che a sia il “raggio” dell’atomo
la quantità di moto sarebbe dell’ordine
p  h/a
e l’energia cinetica
Ec  p / 2m  h / 2ma
2
2
La forza elettrica attrattiva darà all’elettrone un’energia
potenziale
E p  q 2 / 4p0 a
L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a
l’energia è minimizzata
dE
 0  h 2 / ma3  q 2 / 4p0 a 2
da
raggio di Bohr….
10
 a  0.528 10
Struttura dell’atomo
Negli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un
ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli
anni 30: il Neutrino
Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un
cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più
pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli
accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau
Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre
condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti
del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrino
Neutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e
quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle
effimere.
Struttura dell’atomo
Nel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono
fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK
(QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che
hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica
dell’elettrone rispettivamente
ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e
viceversa in un neutrone
Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark
vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni
(elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non
sono sensibili alla Forza Forte
“Zoologia” delle particelle
Particelle elementari
(Fermioni)
Particella
Massa
Particella
Elettrone
.00054 Muone
Massa
Particella
Massa
.11
Tau
1.9
Neutrino
<10-8
elettronico
Neutrino
muonico
<.0003 Neutrino
Tau
<.033
Quark up
.0047
Quark
charm
1.6
Quark top
189
Quark
down
.0074
Quark
strange
.16
Quark
bottom
5.2
+antiparticelle (identiche con carica opposta)
“Zoologia” delle particelle
Combinazioni di Quark danno origine a:
- Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone)
- Barioni esotici (4, 5 quark)
- Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni…..
Le Forze




Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze
fondamentali
Interazione Elettromagnetica
Interazione Gravitazionale
Interazione Nucleare Forte
Interazione Nucleare Debole
Le Forze e i quanti
“C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che
solo 20 persone avevano capito la teoria della
relatività. Non credo che tale tempo sia mai
esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in
cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico
a concepirla, prima di scrivere il suo articolo.
Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la
teoria della relatività, in un modo o nell’altro,
sicuramente più di venti. D’altro canto posso
affermare con sicurezza che nessuno capisce
la meccanica quantistica”
Richard Feynman
Il paradosso alla fine del 1800




Data una cavità metallica, si valutano le
soluzioni dell’insieme equazioni di
Maxwell+condizioni al contorno
Si verifica che solo un numero discreto di
“modi” sono possibili, ovvero onde che
hanno in ciascuna direzione un numero
d’onda pari ad un multiplo discreto di p/L,
se L è la dimensione in tale direzione
della cavità
Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito
L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava
a prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi
venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del
sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!
L’ipotesi di Planck


Energia fornita per pacchetti interi (quanti)
L’energia minima di un’onda è proporzionale
alla frequenza dell’onda stessa
Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il
pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad
una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!
L’ipotesi di Planck: applicazione alla
radiazione di corpo nero

Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di
proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js
Legge di RayleighJeans
Legge di Planck
Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo
perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918
Effetto Fotoelettrico



Un metallo colpito da luce, può emettere
elettroni
Se si aumenta l’intensità della luce, non
aumenta l’energia cinetica degli elettroni,
ma il numero di elettroni emessi
Se si aumenta la frequenza della luce
incidente, aumenta l’energia cinetica
degli elettroni
Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare
(fotoni) che hanno energia E=h f
Quindi corpuscoli o
onde ?
Credits:Dr. Tonomura
Come reinterpretare i fenomeni
luminosi in termini corpuscolari:
Feynman
http://vega.org.uk/video/subseries/8
Tornando alle interazioni
I fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze
elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze?
Interazione
Particella
(Bosoni)
Massa
Nucleare Forte
Gluone (8
possibili stati)
0
Elettromagnetica
Fotone
0
Nucleare Debole
Bosoni W e Z
86,97
Gravitazionale
Gravitone (?)
mai osservato
0
Il nostro corso
Esistono fattori comuni?


Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of
Everything) cercando una spiegazione comune a tanta varietà
di particelle
Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a
leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica)
Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger
Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa)

Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in
gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla
convergenza delle due teorie…
Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile!
Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un
punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell)
o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

Carica elettrica



La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla
forza (interazione) elettromagnetica, così come la massa (o
carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili
alla forza gravitazionale)
La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto:
essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di
riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza
della carica elettrica)
La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e):
scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan
tra il 1909 e il 1917
e  (1.60217733  0.000 000 49) 10
19
coulomb(C)
Quantizzazione della carica

La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un
multiplo intero (positivo o negativo) di e
Q  e,2e,3e,.....,ne,.....

I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli
(principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che
consentono di non violare tale regola
Neutralità della carica
In un sistema isolato la somma algebrica delle
cariche elettriche è costante Benjamin Franklin
[1706-1790]
La materia è macroscopicamente neutra
A livello atomico le forze di attrazione tra
cariche opposte sono formidabili
Quantificazione interazione tra cariche
Charles Augustin de Coulomb [1736-1806]

Legge di Coulomb (1785)

F
q1 q2 
ur
2
4p0 r
1
q1
ur


r
ur 
r

F
1 q1q2 
r
3
4p0 r
r
Nel vuoto
q2
Legge di Coulomb

Se l’origine non coincide con una delle due particelle
q1

F
1
q1q2
4p 0 r  r '
3
 
(r  r ' )
r-r’
r
q2
O
r’
Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto
 0  8.85410
12
C N
2
1
m
2

Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia
all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte
più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed
elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran
forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando
accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure
se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne
accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un
altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di
protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto
grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No!
Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe
abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della
Terra!
Richard P. Feynman
Forze in un sistema di cariche
Sovrapposizione degli effetti

F
q q1 
1 q q2 
1 q qN 
u r1 
u r 2  ... 
u rN
2
2
2
4p0 r1
4p0 r2
4p0 rN
q

qi 
q
F
u ri
+

2
4p  0 i ri
1
1
q2
F2
F3
+
q
=
+
q
q3
+
F4
F1
q4
F
F  F1  F 2  F 3  F 4
Distribuzioni continue di carica
Il numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni
elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi
generati da distribuzioni continue
q0
r-r’
dq
r
O
r’
La forza su q0 dovuta all’elemento
infinitesimo di carica dq vale
F(r )  q0 dq
r  r'
4p 0 r  r '
3
Densità di carica in un volume
VolumeV
Carica Q
Carica totale distribuita nel volume V
dq

dV
dV
Q

V
dq = (r’) dV’
F(r)  q0   (r' )dV '
V
dq
 dV
r  r'
4p 0 r  r'
Integrale di difficoltà enorme!
3
Densità Superficiale di carica
Densità superficiale di carica
Superficie S
dq

dS
Carica Q
Carica totale sulla superficie
Q

S
F(r )  q0   (r ' )dS '
S
dS
dq
 dS
r  r'
4p 0 r  r '
3
Densità Lineare di carica
Densità lineare di carica
dq

dl
Carica totale sul filo
Q
F(r )  q0   (r ' )dl '
l

l
 dl
r  r'
4p 0 r  r '
3
Intensità del campo elettrico
F   qE

 F
E
q

E
+q
q
Q
ur
2
4p0 r
1
Nel vuoto
E
+
E
Linee di Campo
F   qE
In presenza di materiale dielettrico
E
-
+-
E pol
Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la
sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto
dalle cariche di polarizzazione:
il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del
campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la
costante dielettrica relativa r
E
+
In presenza di materiale

Definiamo una quantità che non
1 q1 q2 
F
u r dipende dal mezzo: il vettore
2
4p r
Spostamento Elettrico o Densità

di Flusso Elettrico [C/m2]
 F0


r   1
D E
F
Nota: questa espressione è vera se il materiale è
   r 0
“lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il
campo di polarizzazione è proporzionale al campo
che induce la polarizzazione. Se non lineare, 
dipende da E

q 
D
u
r
2
4pr
Per una carica puntiforme:
Legge di Gauss in forma integrale
 
q
 E   E  dA 
0





La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere
che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume
racchiuso dalla superficie di Gauss
Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo
quelle interne da quelle esterne alla superficie)
Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad
eventuali cariche esterne
però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne
entra quanto ne esce)
La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di
Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche
per cariche in moto
Legge di Gauss per D
 
 D   D  dA  qlibera


Legge di Gauss in forma
Integrale
Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le
cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella
definizione di D
Distribuzione di carica coassiale
Si supponga di avere un cavo coassiale infinitamente lungo, in cui il
cilindro interno è uniformemente carico, con densità lineare di carica . Lo
spazio tra i due cilindri è riempito da un mezzo con costante dielettrica . Si
calcoli il campo tra i due conduttori.

Si applica Gauss ad superficie cilindrica intermedia r di
lunghezza l; il campo elettrico è solo radiale
 

 
 D   ds D  n  Q
D
S
2prlDr  l

Er 


2pr
Dr

Stesso risultato in assenza di conduttore esterno
a
r
b
Teorema di Gauss in forma differenziale
 
d x1  E  nds  E x dy dz
d x 2   E x ' dy dz
z
E
n’=-x
d x1  d x 2  ( E x  E x ' )dy dz
E x
E x
 dEx dy dz 
dxdydz 
dv
x
x
n=x
dv
E’
y
 Ex E y Ez 
dQ dv
dv 
 dtot  



x
y
z 
0
0

d tot E x E y E z 





dv
x
y
z  0

 
 Div(E)    E 
0
dx
dy
x


per D invece Div(D)    D  
Teorema della Divergenza

Integriamo a destra e a sinistra il teorema di Gauss in
forma differenziale

   Ddv   dv  Q
V

V
Confrontiamo con il teorema di Gauss in
forma integrale e otteniamo
 

D

n
ds



D
dv


S
V
Nota


Con gli operatori differenziali descriviamo ciò che succede in un
punto: se in un certo punto la densità di carica è zero, in quel
punto la divergenza è nulla
L’operatore divergenza è l’espressione del flusso attraverso
una superficie chiusa infinitesima: quanto più il campo
“diverge” da quel punto, tanto maggiore è la densità di carica,
sorgente del campo, in tale punto


Potenziale

Per un campo conservativo è sempre possibile definire un
POTENZIALE, ovvero una grandezza che dipende solo dalla
posizione nello spazio
 
   F  d l  U A  U B  U
B
WAB
A

V  U / q1 Potenziale Elettrosta tico
W AB B  
 U
  E  d l  V A  VB  V 
q
q1
A
Se esiste una ddp tra due punti, siamo in presenza di un campo
si misura in Volt [V]=[J/C]; nota che E è misurato in N/C cioè V/m
Superfici Equipotenziali


Sono definiti come luogo dei punti a potenziale
costante
sono sempre ortogonali alle linee di forza
Campo uniforme
Carica puntiforme
dipolo
Il concetto di Gradiente

Calcoliamo il prodotto scalare di E ed elemento infinitesimo di
spostamento, per esempio lungo x
E


E  dx  E dx cos   E x dx  dV
dV
Ex  
dx
V
V
Ex  
;Ey  
...
x
y

dx
Ex



 
E  E x u x  E y u y  E z u z  V

Il campo elettrico diviene funzione di uno scalare!!
Promemoria
Fin qui abbiamo definito due “operatori differenziali”:

La Divergenza (indicata con Div oppure   )

essa associa ad un campo vettoriale una funzione scalare
 


F 
Fx  Fy  Fz
x
y
z

Il gradiente (indicato con Grad oppure 

“nabla”)
essa associa ad una funzione scalare un campo vettoriale
V 
V 
V 
V 
ux 
uy 
uz
x
y
z
Promemoria
Notate come il simbolo della divergenza sia molto informativo:
Nel calcolare   F facciamo effettivamente un prodotto
scalare tra l’operatore gradiente ed il campo: infatti il gradiente
è una sorta di vettore speciale (un operatore appunto…) che ha
bisogno di avere qualcosa alla sua destra su cui “operare”: ha
tre componenti che sono in realtà derivate
     
  ux  u y
 uz
x
y
z

F  Fxu x  Fy u y  Fz u z
 


F 
Fx  Fy  Fz
x
y
z
Alcune note




Gli operatori differenziali che abbiamo introdotto,
sono stati scritti in coordinate rettangolari (x,y,z)
Essi assumono forme diverse nei diversi sistemi di
riferimento (cilindrico, sferico ecc.)
In generale li trovate tabellati, da usare
all’occorrenza, o ve li fate spiegare da un professore
di analisi
Gli operatori sono potenti strumenti matematici, con
un’algebra simile a quella delle matrici
Potenziale per una carica puntiforme
  B
V A  V B   E  dr  
B
A
q
2
4
p
r
A
dr
B
q
q



4p r A 4p rB 4p rA
q



Hanno senso solo differenze di potenziale
Uno dei due potenziali è preso come “riferimento”
In questo caso un riferimento comodo è B all’infinito
V (r ) 
q
4p r
Calcolo del campo di un dipolo usando
i potenziali
V  V(  )  V (  )

1  q
 q  
q r(  )  r(  )





4p0  r(  )
r(  )  4p0 r(  ) r(  )
r( )  r(  )  d cos
V

qd cos
4p 0 r
2

p
4p 0
r( ) r(  )  r 2
cos
r
2

1
4p 0
 
p  ur
r2
Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche
(come determinato in una precedente lezione)
occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche
Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale
Il gradiente in coordinate sferiche è (come da
appendice Ramo-Whinnery)
V 
1 V 
1 V  Poiché V non
V 
ur 
u 
u dipende da 
r
r 
rsin  
E(r ,  )  V 
p
4p 0 r
3
2 cosu r  sinu 
Quanto avevamo ottenuto in precedenza…...
Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce
con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica
ha campo che decresce come r-3
Potenziale di una distribuzione continua
di cariche

V (r ) 
P
q
 carica puntiforme
4p0 r
r-r’
 dV
r’
Distribuzione di cariche

V (r )  
V
 dV '
 
4p0 r  r '
V
r
L’approssimazione di dipolo per distribuzione
arbitraria di cariche

Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P
in prima approssimazione, a grande distanza:

V (r ) 
qi

4p 0 i ri
1

1
4p 0 r
 qi 
i
ri
Q
4p 0 r
r
di

Ma se ci sono cariche positive e negative
in ugual quantità? L’approssimazione è
chiaramente insufficiente
P
r’
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Approssimiamo meglio ri
 
ri  r  d i cos  r  di  u r
 
1
1  d i  u r 
1
  ri  1 
ri
r
r 

P
ri
r
di
Per cui il potenziale diventa

V (r ) 
Q
   qi
4p 0  r
i
1
 
di  u r
r2

 ... 


r’
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche


p   qi d i

i
Vediamo che il secondo termine dell’espansione è
1
4p 0


 
p  ur
r2
Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa
lezione
Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque
distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa
distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal
momento di dipolo
Esempio: approssimazioni a grande distanza

Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto
complicata:
Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P (3,0,4) m?
P
Esempio: approssimazioni a grande distanza


Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona
approssimazione
V

1
4p 0 R
 qi 
i
Q
4p 0 R
4p  8.854 10
12
5
 43 .14V
Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto
1
qi
V 
 
4p 0
4p 0 i ri
1


24 10 9
 
i
qi
  43 .37V
Ri  R
….la distanza in questo caso non è poi così grande...
Esempio2: approssimazioni a grande distanza

Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema
precedente:
Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P(3,0,4) m?
P
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza


Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista
circa 5m
Però se calcoliamo come prima
V


1
4p 0 R
 qi 
i
Q
4p 0 R
0
Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di
dipolo (che sappiamo decrescere come r2)
Calcoliamo il termine di dipolo:




p   qi d i  1011,7 1011,0 Cm
i
 
 
1 pR
1 p  ur
1


Vdip 
12
3
2
4
p

8
.
854

10
4
p
4p 0 r
0 r
3 10 11  0  0
 2.157 10 3V
(5) 3
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza

Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto
qi
V 
  2.298 10 3V
4p 0 i ri
1
Metodo delle Immagini


Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie
conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto
potenziale, il campo rimane identico!
IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di
conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica
appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema
Metodo delle Immagini



Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un
problema equivalente più semplice, è molto generale. Più
avanti affronteremo il problema da un punto di vista
matematico ( “unicità” di una soluzione di un sistema di
equazioni integro-differenziali con condizioni al contorno)
Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di
fuori del conduttore equivalente
Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero
(massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un
dipolo.
Carica in prossimità di un piano conduttore

Il campo dovuto alla carica sola è
E

4p 0 r 2 r
Sul piano, il campo è tutto ortogonale,
con direzione -x, e la componente di r
lungo x di r è -a, ovvero
E

q

r
q
4p 0 r 3

au x  
q
4p 0


3
a2   2 2

au x
-P
 - r
-a
-
Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il
campo
2q
ETOT  
4p 0


3
a2   2 2

au x
Carica in prossimità di un piano conduttore
La densità di carica indotta (Gauss) è

2q
 (  )   0 E(  ) 

4p a 2 

3
2 2
a
Notate che, se integriamo su tutto il
piano (nota: (,) individuano un
punto in coordinate polari)


2p 
   (  ) d  d 
0 0



qa
 
 d
2
2
0 
 2p a    0
2p
-P
 - r
a
2p
 - q 
 
d  q
2p 
0
Come deve essere. La forza che subisce la carica è
ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…)

  Lo stesso risultato poteva essere ottenuto
q2
F
u
integrando i contributi di forza dovuti a 
2 x
4p 0 2a 
(molto più laborioso!!)
ATTENZIONE
L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del
conduttore equivalente: es. appello luglio 2007

Flusso attraverso la sfera? NON E’
ZERO come potreste immaginare
mettendo la carica immagine

Usiamo il teorema della immagini per
calcolare la carica sul piano

a


Integrata nel cerchio di 1 m
4p a 2  

1nC
10cm
2q
 ( )  
2p R
Q2 
3
2 2
   (  ) dd  q
0 0

R=1m
Quindi per Gauss:
a2  R2  a
a R
2
2
 0.9nC
( E )  Qtot /  0  11.238 Vm
Equazione di Poisson
Teorema di Gauss


  D    E  
+Conservatività campo
elettrostatico

E  V
  V   
Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica
indipendente dalla posizione)
 2
2
2   
  V   2 V  2 V  2 V  
y
z 

 x
V 
2


In assenza di cariche
(eq. Di Laplace)
 V 0
2
Esercizio
Data una carica q posta nell’origine,
verificare che tutti i punti a distanza r
verificano l’equazione di Laplace
2

r
r
2
2
2
2
r x  y z 
 2r  2 x
x
x
V
q  1
q

  
x 4p0 x  r 
4p0
r
y
q
x
 1 r    q x
 2

3
4
p
r
 r x 
0
z
Esercizio (Continuo)
 2V
q   x
q

 3 
2
x
4p0 x  r 
4p 0
 2V
q

2
y
4p 0
 1 3x 2 
 3  5 
r 
r
 1 3y 2 
 3  5 
r 
r
2
2
2

q
3
3
(
x

y

z
)
q
2
V
  3 
 
5
4p 0  r
r
 4p 0
 3 3r 2 
  3  5   0
r 
 r
Come risolvere le equazioni di Laplace e
Poisson? Digressione sui numeri complessi


Gerolamo Cardano
[1501-1576]


Una variabile complessa è definita da una coppia
di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1)1/2
Le coppie individuano un piano complesso o
“piano di Gauss”
In coordinate polari
Z  x  jy  r cos  jsin   re j
Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:
W  f Z   u  jv  e j
Digressione sui numeri complessi

La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto
dW
f ( Z  Z )  f ( Z )
incrementale
dZ


 lim
Z
Z 0
Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è
unico
Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o
lungo jdy sia lo stesso, ovvero
dW W

u
v

 u  jv  
j
dZ
x x
x
x

dW W 1 
v
u
u  jv    j


dZ
jy
j y
y
y
Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha
u v

x y
v
u

x
y
Condizioni di Cauchy-Riemann
In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti
Funzioni analitiche e potenziali

Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad
y e sommando si ha
2
2
 u
x
2

 u
y
2
0

cioè l’equazione di Laplace in 2 dimensioni

Analogamente, invertendo l’ordine della derivazione si ottiene
 2v
x



2

 2v
y
2
0
Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono
essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D
Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost
individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve
perpendicolari proporzionali al flusso
Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una
funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il
potenziale e quindi il campo dappertutto!
Esempio



Una funzione analitica
F (Z )  Z  r
1/ 2 


 cos  jsin 
2
2

Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della
costante
1
otteniamo
 
r 2 jsin    costante
2

2
y( r(  ) ,  )
y1( r (  ) ,  )
Che sono le mappe di campo in
prossimità di una lamina di metallo
sottile. La parte reale infatti
rappresenta le superfici equipotenziali
y2( r (  ) ,  )
2
Potenziale
nullo
y3( r (  ) ,  )
y( r(  ) ,  )
y1( r (  ) ,  )
y2( r (  ) ,  )
y3( r (  ) ,  )
2
2
x( r (  ) ,  ) , x1( r(  ) ,  ) , x2( r (  ) ,  ) , x3( r(  ) ,  )
2
2
2
x( r (  ) ,  ) , x1( r(  ) ,  ) , x2( r (  ) ,  ) , x3( r(  ) ,  )
2
Esempio

Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina,
possiamo calcolare
u
Ex  
x




u
Ey  
y
Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della
lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito
Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r →→0 il
campo tende ad infinito come r -1/2
Quindi abbiamo anche un’informazione quantitativa della singolarità di
campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che l’ordine
della singolarità è -1/2
In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in
grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli
andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene
che per uno spigolo metallico con angolo  il campo tende ad infinito come
rn con n=p/(2p-)-1
Unicità soluzioni Eq. Poisson
I potenziali governati dall’eq. Di Poisson (o da Laplace) in
regioni con dati potenziali al contorno sono unici
Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano 1 e 2 soluzioni
Contorno: 1- 2=0  2 1  0  2 2  0  2 1   2   0
Applichiamo il th.della divergenza a
1  2 1  2 

    1   2 1   2 dV   1   2 1   2   ndS
V
Introduciamo
l’identità:
S

 
  fA  f   A  A   f
Unicità soluzioni Eq. Poisson
  1   2  2 1   2 dV   1   2 2 dV 
V
V

  1   2 1   2   ndS
S
Primo integrale nullo per eq Laplace
Ultimo integrale nullo per ipotesi 1- 2=0 sul contorno
  1   2  dV  0
2
V
 reale Gradiente reale  Quadrato>=0
Integrale nullo  argomento nullo
1   2   0 1  2  const
Condizione al contorno costante nulla
 1   2
ovunque cvd
Sovrapposizione degli Effetti
Dividere un problema in più problemi più semplici
Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA’
EQ. LAPLACE E POISSON
 2 1   2    21   2 2
 2 k1  k 21
Metodi analitici per risolvere le
equazioni di Laplace/Poisson:
separazione delle variabili
 2  2
 2 0
2
x
y
 X ' 'Y  XY ' '  0
X ' ' k x X  0
2

Y ' ' k y Y  0
2
Proviamo a cercare
( x, y )  X ( x)Y ( y )
X ''
2
X '' Y ''
 kx


0
 X
X
Y
Y ''
2
2
2
 ky
kx  k y  0
Y
( x, y)  ( A cosh(kx)  Bsinh(kx))( C cos(ky)  Dsin(ky))
( x, y)  ( A cos(kx)  Bsin(kx))( C cosh(ky)  Dsinh(ky))
Osservazioni

Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno

La prima è periodica in y, la seconda in x




Contorni all’infinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali
reali
Le costanti di separazione vengono fuori dall’imposizione delle
condizioni al contorno
Le soluzioni dell’equazione di Laplace si definiscono Armoniche
Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una
o più delle condizioni al contorno: in tal caso si cerca la
soluzione per serie di armoniche
Nota: per kx=jky=0 la soluzione è
( x, y)   Ax  B Cy  D
Esempio

=0
a
b
=Vo
Un caso bidimensionale con
y
potenziale 0 su 3 lati, e fissato su un
x
quarto
Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di
avere zero in y=0 ed in y=b
  ( A cosh( kx)  B sinh( kx))(C cos( ky)  D sin( ky))
Il potenziale per x=0 è nullo:A=0
Il potenziale per y=0 è nullo:C=0
np
Il potenziale per y=b è nullo:kb=np k 
 npx   npy 
  Cn sinh 
 sin 

 b   b 
b
Un solo termine non può
soddisfare la condizione in
x=a
Esempio (Cont.)
 npx   npy 
   Cn sinh 
 sin 

 b   b 
n 1

I coefficienti si determinano imponendo la condizione al
contorno restante (x=a)
 npa   npy 
V0   Cn sinh 
 sin 
 0 yb
 b   b 
n 1

E’ un’espansione in serie di Fourier
 npy 
f ( y )  V0   an sin 
 0 yb
 b 
n 1

 4V0

n dispari
an   np
 0 n pari
Esempio (Cont.)
 npa 
Cn sinh 
  an
 b 
 npx 
4V0 sinh 


b   npy 

 
sin 
 0 yb
 npa   b 
n dispari
np sinh 

 b 
Serie di Fourier: (richiamo)
Funzioni periodiche di
periodo T:
f (t )  f (t  T )
Il th. di Fourier asserisce che è
possibile sostituire ad f una serie di
seni e coseni di periodo multiplo di T
f (t )  a0  a1 cost   a2 cos2t   
 b1 sin t   b2 sin 2t   
T
2p

T
Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero
L’integrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa
frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero
Serie di Fourier: (richiamo)
2p
ortogonalità
2p
 cos(mx) cos(nx)dx  0  sin( mx) sin( nx)dx  0
2p
0
2p
0
2p
2
2
cos
(
mx
)
dx

sin
(mx)dx  p
sin(
mx
)
cos(
nx
)
dx

0



0
0
0
Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(nt) ed
integrando tra 0 e 2p, tutti i termini a destra si annullano tranne an
2p
2p
2p
1
2
f
(
t
)
cos(
n

t
)
d
(

t
)

a
cos
0
0 n (nt )d (t ) an  p 0 f (t ) cos(nt )d (t )
bn 
1
p
2p
 f (t ) sin( nt )d (t )
0
1
a0 
2p
2p

0
f (t )d (t )
a0 media di f nel
periodo
Metodi numerici: differenze finite



Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare:
sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche
Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il
potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i
quadretti distanziati h
Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un
intorno del punto (x,y)
x, y  h 2  2 x, y 
x  h, y   x, y   h

x
2
x 2
x, y  h 2  2 x, y 
x  h, y   x, y   h

x
2
x 2

Combinando le due si ottiene
 2 x, y  x  h, y   2x, y   x  h, y 

2
x
h2
Metodi numerici: differenze finite
h 2
x  h, y   x  h, y   x, y  h   x, y  h   4x, y   

Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione
differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non
compaiono più derivate ma solo (x0,y0), che divengono le incognite di un
sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato

(x0,y0)
(x0+h,y0)


Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di
Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei
punti confinanti
Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione
“base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima
strategia
Metodi numerici: differenze finite

Esempio: appello del 31 Luglio 2007
2V
P1
7V
Calcolare con le differenze finite il
potenziale nei punti P1, P2...

P2
Supponiamo P2=P3=P4=0:
calcoliamo P1 come media
(7+2+0+0)/4=2.25V

3V
P3
P4

Aggiorniamo P2 di conseguenza
(2.25+2+3+0)/4=1.813V
5V




Ora Aggiorniamo P4 (1.813+0+3+5)/4=2.453V
P3 (7+2.25+2.453+5)/4=4.176
Torniamo a P1 (7+2+P2+P3)/4=3.747: diverso dal valore precedente: iteriamo
Dopo qualche iterazione i risultati si stabilizzano
P1: (7+2+P2+P3)/4=4.36
P2: (P1+2+3+P4)/4=3.364
P4: (P3+P2+3+5)/4=4.117
P3: (7+P1+P4+5)/4=5.119