Alcuni trucchi e segreti per non
usare la calcolatrice nei calcoli
matematici
Quadrato di alcuni numeri
Moltiplicazione di numeri con differenza piccola
Moltiplicazione di numeri che finiscono con una
certa cifra
Altre scorciatoie nelle moltiplicazione
Criteri di divisibilità (con dimostrazioni)
Curiosità della matematica
Moltiplicazione di numeri con
differenza piccola
Moltiplicazione di due numeri con differenza 1
Moltiplicazione di due numeri con differenza 2
Moltiplicazione di due numeri con differenza 3
Moltiplicazione di due numeri con differenza 4
Moltiplicazione di due numeri con differenza 6
Moltiplicazione di due numeri con
differenza 1
4 • 5 = 5² - 5 = 25 – 5 = 20
4 • 5 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20
36 • 35 = 35² + 35 = 1225 + 35 = 1260
40 • 41 = 40² + 40 = 1600 + 40 = 1640
Giustificazione
Giustificazione:
n • (n + 1) = n² + n
dove n è il più piccolo
n • (n – 1) = n² - n
dove n è il più grande
Spiegazione:
• Si somma al numero più piccolo il suo quadrato.
• Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il numero
stesso.
Moltiplicazione di due numeri con
differenza 2
19 • 21 = 20² - 1 = 399
59 • 61 = 60² - 1 = 3.599
69 • 71 = 70² - 1 = 4.899
29 • 31 = 30² - 1 = 899
101 • 99 = 100² - 1 = 9.999
39 • 41 = 40² - 1 = 1.599
81 • 79 = 80² - 1 = 6.399
91 • 89 = 90² - 1 = 8.099
Giustificazione
Giustificazione:
(n – 1) • (n + 1) = n² - 1
dove n è la media
Spiegazione:
Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e
si toglie 1.
Esempi:
121 • 119 = 120² - 1 = 14.399
201 • 199 = 200² - 1 = 39.999
49 • 51 = 50² - 1 = 2.499
11 • 13 = 12² - 1 = 143
Moltiplicazione di due numeri con
differenza 3
24 • 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 648
59 • 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 3658
34 • 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 1258
49 • 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 2548
99 • 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 10.098
Giustificazione
Giustificazione:
(n + 1)² + n – 1 = n² + 2n + 1 + n – 1 = n² + 3n = n (n+ 3)
dove n è il più piccolo dei numeri
Spiegazione:
Si prende il più piccolo dei due numeri e si aggiunge 1, si eleva
tutto al quadrato e poi si aggiunge lo stesso numero diminuito di 1.
Esempi:
154 • 157 = (154 + 1)²+ (154 – 1) = 24.025 + 153 = 24.178
12 • 15 = (12 + 1)² + (12 – 1) = 169 + 11 = 180
22 • 25 = (22 + 1)² + (22 – 1) = 529 + 21 = 550
71 • 74 = (71 + 1 )² + (71 – 1) = 5184 + 70 = 5254
17 • 14 = (14 + 1)² + (14 – 1) = 225 + 13 = 238
31 • 28 = (28 + 1)² + (28 – 1) = 841 + 27 = 868
Moltiplicazione di due numeri con
differenza 4
67 • 63 = 65² - 4 = 4.221
14 • 18 = 16² - 4 = 252
22 • 26 = 24² - 4 = 572
38 • 42 = 40² - 4 = 1.596
58 • 62 = 60² - 4 = 3596
8 • 12 = 10² - 4 = 96
Giustificazione
Giustificazione:
n² - 4 = (n + 2)(n – 2)
dove n è la media
Spiegazione:
Si prende il quadrato della media dei due numeri e si sottrae 4.
Esempi:
28 • 32 = 30² - 4 = 896
15 • 19 = 17² - 4 = 285
21 • 25 = 22² - 4 = 525
37 • 41 = 39² - 4 = 1.517
48 • 52 = 50² - 4 = 2.496
17 • 21 = 19² - 4 = 357
Moltiplicazione di due numeri con
differenza 6
33 • 27 = 30² - 9 = 891
83 • 77 = 80² - 9 = 6.391
15 • 21 = 18² - 9 = 315
25 • 19 = 22² - 9 = 475
36 • 42 = 39² - 9 = 1.512
13 • 19 = 16² - 9 = 247
17 • 23 = 20² - 9 = 391
Giustificazione
Giustificazione:
(n + 3)(n – 3) = n² - 9
dove n è la media dei due numeri
Spiegazione:
Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si
toglie 9.
Esempi:
43 • 37 = 40² - 9 = 1.591
57 • 63 = 60²- 9 = 3591
33 • 27 = 30² - 9 = 891
36 • 42 = 39² - 9 = 1512
22 • 28 = 25² - 9 = 616
Quadrato di certi numeri
Quadrato di numeri che terminano con 1
Quadrato di numeri che terminano con 4
Quadrato di numeri che terminano con 5
Quadrato di numeri che terminano con 6
Quadrato di numeri che terminano con 9
Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50
Quadrato di numeri vicini a 100
Quadrato di numeri che terminano
con 1
41 • 41 = 40² + 40 + 41 = 1.681
11 • 11 = 10² + 10 + 11 = 121
31 • 31 = 30² + 30 + 31 = 961
Giustificazione:
n² = (n – 1)² + n + n – 1
con n = numero dato
Spiegazione:
Si prende il numero diminuito di 1, si esegue il quadrato, si
aggiunge il numero di partenza e il numero di partenza diminuito
di 1
Quadrato di numeri che terminano
con 4
Oppure
Oppure
34 • 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 1156
34 • 34 = 35² - (2 • 35) + 1 = 1225 – 70 + 1 = 1156
14 • 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 196
14 • 14 = 15² - (2 • 15) + 1 = 225 – 30 + 1 = 196
Giustificazione:
• n²= (n + 1)² - (n + n + 1)
• n²= (n + 1)² - 2 • (n + 1) + 1
n = numero dato
n = numero dato
Spiegazione:
Si prende il quadrato del numero dato + 1 e si sottrae la somma
tra il numero dato e il suo successivo; oppure si prende il
quadrato del numero dato + 1, vi si aggiunge 1 e si toglie il doppio
prodotto del numero dato + 1
Quadrato di numeri che terminano
con 5
Giustificazione:
• (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = 100n • (n + 1) + 25
Con n cifra delle decine
45 • 45 = (10 • 4 + 5)²= 100(4)² + 100(4) + 25 = 1.600 + 400 + 25 = 2.025
Spiegazione:
• Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto
della cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivo
2.025
20 = 4 (cifra decine) • (4 + 1) = cifra centinaia
20 • 100 = 2.000
2.000 + 25 = 2.025
Quadrato di numeri che terminano
con 6
Giustificazione:
n² = (n – 1)² + ( n + n – 1)
con n numero dato
36 • 36 = (36 – 1)² + (36 + 36 – 1) = 35² + 36 + 35 = 1.225 + 71 = 1.296
56 • 56 = 55² + 56 + 55 = 3.136
Spiegazione:
• Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il
numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di 1
Quadrato di numeri che terminano
con 9
39 • 39 = 40² - (40 + 39) = 1.521
19 • 19 = 20² - (20 + 19) = 361
69 • 69 = 70² - (70 + 69) = 4.761
Giustificazione:
n² = (n + 1)² - (n + n + 1)
dato
con n numero
Spiegazione:
• Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si toglie il
numero di partenza e il numero di partenza aumentato di 1
Quadrato di numeri compresi tra
25 e 50
26 • 26 = 100
47 • 47 = 100
32 • 32 = 100
28 • 28 = 100
• (26
• (47
• (32
• (28
–
–
–
–
25) +
25) +
25) +
25) +
Giustificazione:
n² = 100 • (n – 25) + (50 – n)²
(50 –
(50 –
(50 –
(50 –
26)² = 100
47)² = 100
32)² = 100
28)² = 100
• 1 + 576 = 676
• 22 + 9 = 2209
• 7 + 324 = 1024
• 3 + 484 = 784
con n numero dato
Spiegazione:
• Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100;
dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della
differenza tra 50 e il numero di partenza
Quadrato di numeri vicini a 100
98 • 98 = 100 • (2 • 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.604
104 • 104 = 100 • (2 • 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816
110 • 110 = 100 • (2 • 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100
108 • 108 = 100 • (2 • 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664
Giustificazione:
n² = 100 • (2n – 100) + (100 – n)²
dato
con n numero
Spiegazione:
• Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero dato
e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra 100 e il
numero di partenza
Moltiplicazione di numeri che
finiscono con una certa cifra
Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1
Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5
Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e
con la somma delle decine pari
Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e
con la somma delle decine dispari
Moltiplicazione di numeri di cui
almeno uno termina con 1
Moltiplicazione per 11
Moltiplicazione per 21,31,41…
Moltiplicazione per 11
Metodo A
Metodo B
Metodo C
• A)
67 . 11=67 . 10 + 67=737
Spiegazione:
Si applica la proprietà distributiva ;si moltiplica per 10 e si aggiunge
il numero di partenza.
B)
369 . 11
369+
369 =
4059
Spiegazione:
Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al numero
stesso con questo incolonnamento.
C)
27 . 11
Sommare 2+7=9
Inserire il numero tra 2 e 7
43 . 11=473
72 . 11=792
85 . 11=935 156
297
Moltiplicazione per 21,31,41…
67 . 21 = 2 . 67 . 10 + 67 = 1340 + 67 = 1407
54 . 31 = 3 . 54 . 10 + 54 = 1620 + 54 = 1674
32 . 41 = 4 . 32 . 10 + 32 = 1280 + 32 = 1312
Spiegazione:
Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il numero
per la cifra delle decine del numero terminante con 1, si
moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.
Moltiplicazione di numeri di cui
almeno uno termina con 5 (oppure
metodo del doppio e della metà)
• Moltiplicare per 15,25,35… :
64 . 35 =32 . 70 = 32 . 7 . 10 = 2240
175 . 24 = 350 . 12 = 700 . 6 = 4200
Spiegazione:
Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per
due l’altro.
Metodo alternativo per moltiplicare per 15:
64 . 15 = (64+32) . 10 = 960
Spiegazione:
Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio:
Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la
metà di quel numero addizionato al numero stesso.
Moltiplicazione di numeri
entrambi terminanti con 5 e con
la somma delle decine pari
35 . 55=1925
3 . 5=15
(3+5) . ½=4
15+4=19
Dimostrazione:
(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=
=100ab+100/2(a+b)+25
=100(ab+a+b)+25
2
1925
Moltiplicazione di numeri
entrambi terminanti con 5 e con
la somma delle decine dispari
65 . 35=2275
6 . 3=18
6+3=4,5
18+4,5=22
2
Dimostrazione:
(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=
=100ab+100/2(a+b)+25
=100(ab+a+b)+25
2
2275
0,5 . 100=50
50+25=75
Altre scorciatoie nelle
moltiplicazione
Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a 1
Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la
somma delle unità pari a 10 e le decine uguali
Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la
somma delle decine pari a 10 e le unità uguali
Moltiplicazione di due numeri fra
10 e 19
16 . 13 = 208
Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra delle
unità del secondo:16 + 3 = 19
19 . 10 = 190
Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle unità:
190 + 6 . 3 = 208
Dimostrazione:
(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab
=10(10+a+b)+ab
prodotto delle cifre delle unità
primo numero cifra delle unità del secondo numero
Moltiplicazione di due numeri(a
due cifre) aventi la somma delle
unità uguali a 10 e le decine uguali
72 . 78 = 5616
Procedimento:
Si moltiplica la cifra delle decine per la sua successiva:7 . 8 = 56
Si moltiplica le unità:8 . 2 = 16
Dimostrazione:
(10a+b)(10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc
=100a2+10a(b+c)+bc
=100a2+10a(b+10-b)+bc
=100a2+100a+bc
=100a(a+1)+bc
Moltiplicazione di due numeri(a
due cifre)aventi la somma delle
decine uguali a 10 e le stesse unità
36 . 76 = 2736
Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle
unità per 10: (3 . 7 + 6) . 100 = 2700.
Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle unità:
2700 + 62 = 2736.
Dimostrazione:
(10a+c)(10b+c)=100ab+10bc+10ac+c2
=100ab+10c(b+a)+c2
=100ab+100c+c2
Criteri di divisibilità (con
dimostrazioni)
Per 2
Per 3 o 9
Per 4
Per 5
Per 7
Per 11
Per 13
Per 2
100a+10b+c
2 . (50a+5b)+c
La divisibilità è legata all’ultima cifra.
Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2.
Per 3 o 9
100a+10b+c=99a+9b+(c+a+b)
divisibili per 3 o 9
Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre è
divisibile per 3 o 9.
Per 4
100a+10b+c
Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è
quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue ultime
due cifre.
Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che se la
sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la sua
penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8.
N.B=considero 0 pari.
Per 5
100a+10b+c
Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5;
è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dall’ultima cifra.
Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.
Per 7
100a+10b+c+20c-20c=21c+10 . (10a+b-2c)
Un numero è divisibile per 7 se (10a+b-2c) è divisibile per 7.
Procedimento:
Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero
rimanente il doppio della cifra tolta.
Esempio:
147 è divisibile per 7 ?
Si,perché 1414=
0
0 è divisibile per 7.
Per 11
100a+10b+c=100a+10b+c+100b-100b+100c-100c
=100(a-b+c)+110b+99c
divisibili per 11
Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue cifre di
posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto pari.
Per 13
100a + 10b + c = 100a + 10b + c + 40c - 40c
=10(10a + b + 4c)- 39c
divisibile per 13
Un numero è divisibile per 13 se (10a + b + 4c)è divisibile per 13.
Procedimento:
Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero
rimanente quadruplo della cifra tolta.
Esempio:
143=divisibile per 13 ?
Si,perché: 14+12=26
divisibile per 13
Curiosità della matematica
Moltiplicazioni con numeri bizzarri
Radice quadrata con metodo di Erone
Dal numero decimale periodico alla frazione generatrice
Giochi matematici
Moltiplicazioni con numeri bizzarri
Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per
9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto
contenente tutte le cifre.
Il numero 12’345’679
Numeri (contenenti tutte le cifre) che
moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno
un prodotto contenente tutte le cifre.
57’624’831 • 9 = 518’623’479
72’645’831 • 9 = 653’812’479
81’274’365 • 9 = 731’469’285
518’623’479 • 2 = 1’037’246’958
653’812’479 • 2 = 1’307’624’958
731’469’285 • 2 = 1’462’938’570
35’577
46’836
63’727
78’426
• 35’579
• 46’838
• 63’729
• 78’428
= 1’265’794’083
= 2’193’704’568
= 4’061’257’983
= 6’150’794’328
Il numero 12’345’679
Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81:
12’345’679
12’345’679
12’345’679
12’345’679
12’345’679
12’345’679
12’345’679
12’345’679
• 18 = 222’222’222
• 27 = 333’333’333
• 36 = 444’444’444
• 45 = 555’555’555
• 54 = 666’666’666
• 63 = 777’777’777
• 72 = 888’888’888
• 81 = 999’999’999
Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate fra di
loro, diano 9
12’345’679 • 108 = 1’333’333’332
12’345’679 • 117 = 1’444’444’443
12’345’679 • 126 = 1’555’555’554
Radice quadrata con metodo di Erone
Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono di
calcolare la radice quadrata di un numero. L’algoritmo di Erone utilizza
solo le quattro operazioni dell’aritmetica, per la sua efficacia é usato in
tutte le calcolatrici e nei linguaggi di programmazione.
Esempio:
5 < 35 < 7
35/6(approssimato)
5,8 < 35 < 6
media fra 5 e 7
media fra 5, 8 e 6
5,9 < 35 < 5,93
35/5,9(approssimato)
(…)
Procedimento:
Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole
ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di
partenza (nell’esempio 35) per la media trovata. In questo modo si
trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si può
continuare con questo procedimento fino a quando non si è soddisfatti
dell’approssimazione della radice trovata.
Giustificazione
L’algoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un numero l
costruiamo un quadrato di area l, il suo lato è proprio la radice di l.
Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i cui
.
lati misurano h e l /h , scegliamo h minore di l. L’area del rettangolo è h l/h = l , cioè è
uguale all’area del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno maggiore
del lato del quadrato.
Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo
h1=h+l/h dove h1 è maggiore di h.
2
Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano h1 e l/h1
.
Anche in questo caso l’area del rettangolo è h1 l/h1 = l cioè uguale a quella del quadrato;
h1 è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, l/h1 è un valore
approssimato per difetto.
Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore h1 più vicino a l di
quanto lo fosse h.
Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di numeri
che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di l.
l
h
l/h
Dal numero decimale alla frazione
generatrice
0,93 = 84
90
Sia n = frazione generatrice
10n = 9,33333…
10n – n = 9,333 – 0,9333
9n = 8,4
90n = 84
n = 84
90
Giochi matematici
Gioco di carte
Gioco con numeri primi
Gioco algebrico
Gioco di carte
Spiegazione:
Il gioco si basa sul fatto che la somma di tutti i valori attribuiti
alle 40 carte di un mazzo completo è uguale a 180,che un multiplo
di 10.
Si porge allo spettatore un mazzo di 40 carte e gli si chiede di
togliere una carta.
Si sfoglia velocemente il mazzo,facendo la somma progressiva
dei valori delle carte (re=0,asso=1,due=2…),usando l’accortezza di
memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale
ottenuto ad esempio:7+8= 1 5 (in questo modo si scartano le
decine di 180). Al termine del calcolo si otterrà un risultato
compreso fra 0 e 9; sottraendo questo numero da 10 si ricaverà
il valore della carta tolta.
Gioco con numeri primi
Si chiede allo spettatore di pensare ad un numero da 1 a 9.
Gli si chiede poi di moltiplicare il numero (con la calcolatrice!!!) per
3, per 7, per 11, per 13, per 37, senza premere uguale alla fine del
calcolo. Gli si chiede poi di restituirci la calcolatrice, e basterà
premere uguale e guardare il display, perché il numero pensato
sarà scritto 6 volte!
Spiegazione:
I numeri 3, 7, 11, 13, 37 sono i fattori primi di 111’111.
Questo numero moltiplicato per le cifre comprese fra 1 e 9, darà
un numero le cui cifre saranno il numero pensato dallo spettatore.
Gioco algebrico
Scrivete un numero su un foglio e ponete il foglio in una busta chiusa.
Chiamate uno spettatore e fornitegli le seguenti istruzioni.
a) Scegli un numero di due cifre(per esempio 75).
b) Esegui la somma delle due cifre(7+5=12)
c) Sottrai il numero così ottenuto da quello scelto prima(nel nostro caso:
75-12=63).
d) Esegui la somma delle cifre del valore ottenuto, ripetendo
l’operazione, nel caso in cui il risultato non sia composto da una sola
cifra (nel nostro caso: 6+3=9).
e) Comunica il risultato ottenuto,nel nostro caso(anche in tutti i casi:9)
-
Aprite la busta e mostrate che sul vostro foglio avevate scritto
proprio 9, strappando un applauso di vivo stupore (si spera).
Giustificazione:
10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 10x – x = 9x
Il risultato finale è un multiplo di 9; un numero è divisibile per 9 se la
sua somma è divisibile per 9.
Alcuni trucchi e segreti per non
usare la calcolatrice nei calcoli
matematici
