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cenni di relatività generale
corso di fisica
per la quinta g
Sommario

La relatività generale
Lo spazio-tempo
Il buco nero

Bibliografia


La relatività generale

Un dubbio di Newton
• XVII secolo:




Natura ignota della interazione a distanza che avviene nello spazio vuoto
(“Hypotheses non fingo”)
Massa gravitazionale e massa inerziale uguali
Traiettorie dei pianeti intorno al sole
Rifrazione della luce con piegamento del raggio nell’entrare in un secondo mezzo
• Newton vecchio comincia a riflettere sulla natura delle orbite planetarie in
termini geometrici, non più in termini di forza a distanza.
E’ in parte una concessione ai cartesiani d’Oltremanica.
Relatività generale

Red shift gravitazionale
• Fotone con E=h, dunque m=h/c2
viaggia da A a B (ad altezza H nel
campo gravitazionale)
• Lavoro necessario: W = (h/c2) gH
fatto a spese dell’energia del fotone,
che ad altezza H si trova con energia:
E  h  h 
h
gH
gH

h

(
1

)
2
2
c
c
• Verifiche


1965, Pound e Rebka, da torre di
20 m con radiazione 
gH/c2 = 2.2 10-15, errore dell’1%
Per la radiazione del Sole:
    (1 
GM
)  0.999998 
2
c R
Relatività generale

Dilatazione dei tempi
• Un’onda e.m. sale da A a B:
 B   A (1 
gH
)
2
c
TA  TB (1 
gH
)
2
c
• La frequenza non può effettivamente diminuire:
nessuna cresta si perde
• La durata del periodo dell’onda in A (letta
dall’orologio A) è minore della durata del periodo
della stessa onda quando arriva in B (orologio B)
• La durata del periodo è il “battito” dell’orologio
• Dunque il battito di A è più lento: il tempo per A
scorre più lentamente
• La relazione tra TA e TB è anche la relazione tra i
tempi segnati dai 2 orologi per uno stesso evento
• Per una massa M di raggio R:
GM
TA  TB (1  2 )
c R
Relatività generale

Dilatazione dei tempi, verifica
• 1976, USA, Maryland University
• Orologio atomico a terra OA scambia segnali
con orologio atomico OB su un aereo per 14 h
a 10,000 m di quota

Per relatività ristretta: OB più lento di 5.7 ns

Per relatività generale: OB più veloce di 52.8 ns
• Risultò un ritardo di OA a terra di 47.1 ns
(errore < 1%)
Relatività generale

Contrazione delle lunghezze
• La velocità c è un invariante
• Asta A vicino a M è più corta di asta
B posta a distanza R:
LA  LB (1 
GM
)
2
c R
• Il valore di 

Senza masse:

   3.1415926536
2R

Con massa M i regoli vicino a M
sono più corti e 2R risulta più lungo;
per l’orbita terrestre:

   3.1415924853
2R
Relatività generale

Contrazione lunghezze
• Altra interpretazione: i regoli sono tutti uguali,
ma lo spazio è curvo
• La geometria euclidea è falsa vicino alle masse
• 1965, USA, esperimento di Shapiro



Terra e Venere in opposizione; segnale radar
misura:
2 TV = orbita T + orbita V
Se vale relatività i diametri (/) sono maggiori
di quelli euclidei
Infatti sono maggiori di 36 km (errore < 1%)
– 50% per curvatura spazio, 50% per
dilatazione tempi vicino a S
Relatività generale

Altre verifiche
• Deviazione dei raggi luminosi vicino a M, misurata già dal 1919 da Eddington et al.:
=1.75”
• Rotazione del perielio calcolata da Einstein per Mercurio, per il quale era già nota e non
spiegata, in 43” per secolo
• Immagini multiple delle quasar
Relatività generale

Altre verifiche
Relatività generale

Il principio di relatività galileiano:


Il principio di relatività ristretta:


Tutte le leggi della meccanica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori inerziali
Tutte le leggi della fisica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori inerziali
Il principio di relatività generale:

Tutte le leggi della fisica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori.
Lo spazio-tempo

Dalla nave di Galileo all’ascensore di Einstein
• La relatività ristretta aveva descritto la cinematica in termini di geometria dello
spazio-tempo (s-t)

E’ possibile descrivere anche la dinamica in modo analogo?
• Nell’ascensore di Einstein si osserva che, localmente,
peso  inerzia
• Localmente significa che su uno spazio sufficientemente ampio è possibile
distinguere peso e inerzia
• Ma questo se si ammette uno s-t piatto. Se si suppone che intorno alle sorgenti
gravitazionali lo s-t sia opportunamente curvo, allora l’identità è totale.
• Einstein postula che:


massa inerziale  massa gravitazionale
lo spazio-tempo in presenza di masse si incurva
• Non esiste più peso, solo inerzia (cioè resistenza alla tendenza imposta dallo s-t)

A sinistra non vi sono masse, lo s-t è piatto
(sopra in 3 dimensioni, sotto in 2).
•
Lo spazio-tempo

L’osservatore P (piatto) vede le traiettorie libere
come moti rettilinei uniformi.
A destra una massa incurva lo s-t.
•
L’osservatore vede le traiettorie libere incurvarsi
Lo spazio-tempo


Dunque la gravitazione può essere sostituita dall’inerzia se si considera
che una massa è un oggetto capace di curvare lo s-t
A essere incurvato è però lo s-t, non solo lo spazio
• La curvatura dello spazio produce la deviazione dalla vecchia rettilinearità,
cioè la curvatura delle traiettorie intorno alle masse
• La curvatura del tempo produce la deviazione dalla vecchia uniformità, cioè
la variazione nel tempo del movimento: l’accelerazione (quando si scende in
un avvallamento si accelera, quando si risale si decelera).
Lo spazio-tempo

Nella nuova legge di inerzia:

Ogni corpo tende a mantenere
la sua traiettoria naturale se
non intervengono forze esterne
• Le forze cui si fa riferimento
non contengono più le forze
gravitazionali, che scompaiono
dalla scena
• In presenza di masse la
traiettoria naturale è una curva
e l’uniformità del moto viene
“trascinata” a seconda di come
è “curvo” il tempo

Lo spazio-tempo

Non c’è più bisogno dell’azione a
distanza gravitazionale.
La forza di gravità è un comodo modo
di descrivere le cose, ma può essere
cancellata dalle forze fondamentali.
Lo spazio-tempo

“La Relatività Ristretta presuppone già l’esistenza di uno s-t: non va a toccarlo, a
modificarlo. Tutti gli eventi hanno luogo all’interno dello s-t così com’è, e cambia solo il
modo di vederli da parte di osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro. Un osservatore
misura distanze spaziali e temporali che hanno un certo valore, l’altro osservatore misura
valori diversi sia di spazio che di tempo, ma entrambi hanno ragione in senso stretto, poiché
la velocità relativa, unita alla finitezza e costanza della velocità della luce, rende diversi e
relativi i loro punti di vista. Non esistendo però alcunché di assoluto, i punti di vista relativi
sono tutto quello che si può avere e dunque ciascuno ha pieno diritto al suo proprio. Tanto
più che i due osservatori, se lo desiderano, hanno la possibilità di mettersi d’accordo
ricorrendo al famoso teorema di Pitagora in quattro dimensioni, con il segno negativo per
quanto riguarda il quadrato del cateto temporale.
La Relatività Generale, invece fa qualcosa in più. Si potrebbe dire che agisce
attivamente sulla struttura stessa dello s-t nel momento in cui le impone una
curvatura. Se lo s-t rappresenta una sorta di ragnatela, di traliccio (anche temporale) che
scandisce punto per punto l’intero universo, la Relatività Generale non si contenta di
prenderne atto e di farci passare attraverso gli oggetti secondo le direttrici già esistenti, ma si
impadronisce del traliccio e lo deforma.”
ds2 = c2dt2 – dx2 – dy2 – dz2
– Mazzitelli, pagg. 91-92
Lo spazio-tempo

Se esiste una causa che lo modifica, lo s-t apparirà muoversi (gonfiarsi,
sgonfiarsi, traslare, ruotare). Questo movimento sarà percepito come un
movimento a tutti gli effetti tra gli oggetti (palloncino con due punti segnati sulla
superficie)

“Dunque, per la Relatività Generale, esistono due tipi sostanzialmente diversi di
movimento in senso lato e, per conseguenza, di velocità (sempre in senso lato).
Esiste il moto degli oggetti rispetto allo s-t, ed esiste il moto generale dello s-t
che trascina gli oggetti.”
– Mazzitelli, pag. 92
• Il primo movimento ha in c il limite di ogni velocità;
il secondo movimento non ha limiti imposti.
• La regola di composizione delle velocità dei due tipi è quella classica galileiana.
– Superare c potrebbe permettere, in linea di principio, di viaggiare nel tempo. Questo non è
possibile all’interno di un blocco di s-t, ma è possibile sfruttando il moto dello s-t (oltre
l’Universo Causale o dentro un buco nero): tuttavia in entrambi i casi l’oggetto non può più
interagire con il nostro mondo.
Lo spazio-tempo

Esempio di uno s-t che si gonfi
indefinitamente
• la velocità percepita da due
osservatori è legata solo alla
modifica dello s-t (e può superare
c)
• Se la dilatazione dello s-t è
lineare, chiamata d la distanza tra
due osservatori, v la velocità di
allontanamento reciproco e t il
tempo con origine nel momento in
cui i due osservatori erano
infinitamente vicini (d0=0):
d (t )  vt  d 0  vt
Lo spazio-tempo
• Se si osserva ancora il grafico si
scopre che la velocità di
allontanamento di due
osservatori è maggiore quando
questi si trovano lontani (in
mezzo c’è più s-t che si dilata)
• se k è il rapporto di omotetia
nell’unità di tempo , chi si
trova a distanza di 1 unità u
viene visto con velocità 5 volte
minore di chi è alla distanza 5u:
v1 
v5 
ku  u

 (k  1)
5ku  5u

u

 k 1
 5(k  1)
u

 5(k  1)
Lo spazio-tempo
• Dunque, se i due osservatori misurano velocità e distanze reciproche,
troveranno che le velocità sono direttamente proporzionali alle distanze e
la costante di proporzionalità è il reciproco del tempo trascorso da
quando sono stati vicini:
d  vt  d 0  vt
1
v d
t
• Hubble nel 1929 ha trovato sperimentalmente
1
v  Hd , H 
t
Il laboratorio del buco nero

Un’idea di Laplace sulla velocità di fuga.
1 2
Mm
mv  G
2
r
v
2GM
r
2GM
 c  Niente si allontana dalla massa
r
• Oggetti simili non si possono vedere nel cielo


Karl Schwarzschild, prussiano, 1916, soluzione delle eqq. di Einstein per una
massa concentrata in un punto.
Raggio di Schwarzschild:
r
2GM
c2
• Per la Terra r= 9 mm; per il Sole r=3 km
• Formula rapida: r=3M se r in km e M in masse solari
Il laboratorio del buco nero

Come si vede un buco nero:
• Nel modello dell’evoluzione stellare si
prevede la formazione di un buco nero
per stelle di M > 10 M
• Alone di luce dalla superficie di
Schwarzschild
• Osservazioni di sistemi binari in cui
una nana bianca assorbe materia
dall’altra stella e diviene, con una
forte esplosione, un buco nero
• Centri di galassie che assorbono
materia che ruota a spirale e
riscaldandosi emettono grandi
quantità di luce.
Il laboratorio del buco nero

Visto da fuori: verso l’orizzonte degli eventi
• Vediamo il campo come un risucchio dello s-t. Fuori dall’orizzonte,
avvicinandoci ad esso, lo s-t accelera, ma con vs-t<c.
Avvicinandoci all’orizzonte vs-t  c
• Allo stesso modo qui sulla Terra siamo in uno s-t risucchiato a velocità
piccola verso il centro (maggiore è il campo, maggiore è la curvatura
dello s-t, maggiore è la velocità con cui lo s-t è risucchiato)
• Sulla superficie terrestre vfuga=11 km/s, che è la velocità di caduta dello
s-t.
La caduta dello s-t, spazialmente, è raffigurabile come la caduta di un
corpo che, partendo da fermo all’infinito, cade verso il centro
attrattore.
Il laboratorio del buco nero

Visto da fuori: verso l’orizzonte degli eventi
• Una torcia, lasciata cadere dall’alto, rimanda luce verso di noi con red-shift
(gravitazionale) finché la torcia raggiunge l’orizzonte degli eventi. Da qui
la luce rimane ferma, come congelata, e non ci può più raggiungere.
• In realtà, poiché il periodo dell’onda luminosa è misura del tempo locale,
osserviamo che per la torcia che cade nei punti appena sopra l’orizzonte il
tempo scorre sempre più lentamente. L’oggetto ci appare raggiungere
l’orizzonte in un tempo infinito, adagiarvisi sopra sempre più lentamente;
per la luce che si trova all’orizzonte il tempo è fermo.
• L’orizzonte è dunque il limite tra due spazi, da oltre il quale non abbiamo
informazioni, ma è anche il limite a cui tende il moto di ogni oggetto in
caduta.
Il laboratorio del buco nero

Visto da dentro: verso il centro
• Se ci lasciamo cadere, il nostro orologio funziona regolarmente, la nostra torcia ha
•
•
•
•
sempre lo stesso colore. Vediamo un cerchio nero davanti.
Giunti all’orizzonte il cerchio nero diviene un semispazio, poi le immagini della
realtà esterna ci giungono, alle spalle, da un cerchio sempre più piccolo (con
deformazioni vicino ai bordi a causa della deviazione della luce delle stelle che ci
segue oltre l’orizzonte).
Superato l’orizzonte cominciamo a vedere le parti più basse del nostro corpo
sempre più rosse fino a scomparire alla vista (si sommano le due velocità degli
strati di s-t, agli occhi e ai piedi, e la velocità della luce che risale e, per un po’,
continuiamo a vedere i nostri piedi sempre più rossi e poi scuri)
C’è una forza che ci stira, dovuta alla differenza tra la forza applicata ai piedi e
quella applicata alla testa. Questa forza ci spezzerà, poi spezzerà le cellule, gli
atomi, i nuclei e infine i nucleoni.
Da questo punto la nostra fisica non è più in grado di proseguire e non si può
rispondere alla domanda su cosa ci sia al centro: avvicinandoci la velocità di
caduta dello s-t si avvicina all’infinito.
Il laboratorio del buco nero

Divergenza tra interno ed esterno
• Le storie dei due osservatori esterno e interno divergono.
• I concetti di spazio e tempo, tra interno ed esterno, si ribaltano


Chi sta fuori è trascinato, “per forza”, nella stessa direzione temporale e con la stessa
velocità (del tempo)
Chi sta dentro è trascinato, “per forza”, nella stessa direzione spaziale e con la stessa
velocità
• All’esterno del buco nero siamo trascinati nel tempo, ma possiamo muoverci
•
•
•
•
liberamente nello spazio
All’interno del buco nero siamo trascinati nello spazio, ma possiamo muoverci
liberamente nel tempo
Spostandoci lateralmente nel moto di caduta ci spostiamo avanti e indietro nel
tempo
Cosa ci salva dal “paradosso dell’assassinio dei nostri genitori da giovani”? Non è
possibile tornare indietro ripassando dall’orizzonte (“Censura cosmica”)
In realtà c’è una possibilità legata alla rotazione
Il laboratorio del buco nero

L’anello centrale
La stella da cui nasce il buco nero ruota. Il buco nero ruota anch’esso.
Il buco nero rotante produce la rotazione dello s-t (che ingoia)
La rotazione produce una forza centrifuga
Verso il centro la rotazione è così elevata che si forma una piccola regione ad anello
in cui la forza centrifuga riesce a bilanciare l’attrazione fermando la caduta
• Si apre la possibilità che in quella regione un oggetto dotato di una forza propria
possa addirittura tornare indietro allontanandosi di un po’ dal centro.
• Spostandosi lateralmente l’osservatore viaggerebbe nel tempo. Senza accorgersene
finché rimane all’interno; solo uscendo si accorgerebbe di essersi spostato nel tempo
•
•
•
•

“C’è però una possibilità estrema, che almeno finora sembra compatibile con
tutte le teorie. All’aumentare della rotazione, si allarga la regione interna in cui
si può manovrare e viaggiare nel tempo. Oltre un certo valore di rotazione,
questa zona si espande al di fuori della superficie di Schwarzschild. Ciò vuol dire
che, da qualsiasi parte dell’universo, un viaggiatore potrebbe avvicinarsi
abbastanza al centro del buco nero, viaggiare a piacere nel tempo e poi, con la
complicità della forza centrifuga, che bilancia e supera quella di gravità,
fuggirsene via nel passato o nel futuro.”
– Mazzitelli, p. 113
• Un buco nero dunque sembra essere una macchina del tempo
Il buco nero
Bibliografia
Testi e figure rubati a:






Eddington A.S., Spazio, tempo e gravitazione, Boringhieri 1971
Mazzitelli I., Tutti gli universi possibili ed altri ancora, Liguori, 2002
Halliday Resnick Walker, Fondamenti di fisica, Fisica moderna, Zanichelli
Sexl Raab Streeruwitz, Fisica 3, Zanichelli
Wilson Buffa, Fisica 3, Principato
Regge T., La relatività di Einstein, CD-ROM, Zanichelli