I NUMERI NATURALI
Antonio Pio Urzino 1 A A.S. 2009/10
Antonio Pio Urzino
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QUALI SONO I NUMERI NATURALI?
(1) I numeri naturali sono:0, 1,2,3,4,5,6,...…….
(2) Esiste un primo numero naturale: lo zero
(3) I numeri naturali sono ordinati nel senso che:
(a) per ogni numero naturale ne esiste uno scritto alla sua destra, chiamato
successivo: da ciò deriva che i numeri naturali sono infiniti;
(b) Per ogni numero naturale (escluso lo zero) ne esiste uno scritto alla sua sinistra,
chiamato precedente.
(4) Dati due numeri naturali qualsiasi è sempre possibile stabilire quale dei due è
maggiore (minore): 9 è maggiore di 7 perché è scritto alla destra di 7; 2 è minore di 5
perché è scritto alla sinistra di 5.
(5) I numeri naturali costituiscono un insieme che viene indicato con la lettera N.
Per indicare che un numero n è un numero naturale si scrive n ε N, cioè “n appartiene
all’insieme dei numeri naturali”.
(6) I numeri naturali possono essere rappresentati su una retta. Su questa retta si fissa un
punto P al quale corrisponde lo zero. Partendo da P, si individuano alla sua destra tanti
segmenti consecutivi uguali i cui estremi individuano dei punti: al primo punto viene
associato il numero 1, al secondo il numero 2 e così via.
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A CHE COSA SERVONO I NUMERI NATURALI?
I numeri naturali servono a contare degli oggetti. Contare degli oggetti significa assegnare ad
uno di essi il numero naturale 1, ad un altro il successivo numero naturale 2, ad un altro il
successivo numero naturale 3 così via fino ad esaurimento degli oggetti.
Molti sono gli oggetti che si possono contare. Ma, se dovessimo contare i punti di un
segmento, come potremmo cavarcela?
● Gli oggetti contabili costituiscono un insieme discreto;
● I punti di un segmento costituiscono un insieme continuo.
Sono di più i numeri naturali (pari e dispari) o i numeri naturali pari.
Proviamo a contare i numeri naturali pari usando la definizione di contare: al primo numero
pari, cioè al numero 2, assegniamo il numero 1; al secondo numero pari, cioè al numero 4,
assegniamo il numero 2; al terzo numero pari, cioè al numero 6, assegniamo il numero 3 e
così via.
Così facendo, accertiamo che i numeri naturali pari sono in egual numero di tutti i numeri
naturali.
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LE OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI
SOMMA: quando sommiamo due numeri naturali a e b non facciamo altro che contare le
unità di b di seguito alle unità di a . I numeri da sommare prendono il nome di addendi.
L’operazione di somma è provvista delle seguenti proprietà:
PROPRIETA’ COMMUTATIVA: Se a e b sono due numeri naturali qualsiasi si ha:
a+b=b+a
cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia
ESEMPIO
15 + 2 = 2 + 15
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA: Se a, b e c sono tre numeri naturali qualsiasi si ha:
(a + b) + c = a + (b + c)
nell’addizione di tre (o più) numeri la somma non cambia se a due (o più di due) addendi
consecutivi si sostituisce la loro somma.
ESEMPIO
4 + 5 + 7 = (4 + 5) + 7 = 9 + 7
4 + 5 + 7 = 4 + (5 + 7) = 4 + 12
Lo zero costituisce l’elemento neutro rispetto alla somma
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DIFFERENZA: Eseguire la differenza fra due numeri naturali vuol dire trovare quel terzo numero
naturale, se esiste, che, sommato al secondo, riproduce il primo.
Se b è non maggiore di a
a–b=c
se
c+b=a
Il primo numero, cioè a, si chiama minuendo (numero da diminuire), il secondo, cioè b, si chiama
sottraendo (numero da sottrarre)
La differenza
● non gode della proprietà commutativa: per esempio 7 – 3 = 4 mentre l’operazione 3 – 7 non è
possibile nell’ambito dei numeri naturali;
● non gode neppure della proprietà associativa. Infatti, se, per esempio, dobbiamo eseguire
l’operazione 15 – 8 – 5 dobbiamo procedere ordinatamente come segue:
prima
15 – 8 = 7
e poi
7–5=2
Se eseguissimo prima la seconda operazione otterremmo un risultato errato:
15 – (8 - 5) = 15 – 3 = 12
Infine:
Non esiste alcun numero che agisca in modo neutro sulla differenza
a – 0 = a, ma 0 – a non è possibile
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PRODOTTO: Eseguire il prodotto di due numeri naturali vuol dire sommare con se stesso il primo
numero tante volte quante indicate dal secondo. I due numeri da moltiplicare prendono il nome di
fattori.
ESEMPIO
6 X 3 = 6 + 6 + 6 = 18
PROPRIETA’ COMMUTATIVA: Se a e b sono due numeri naturali qualsiasi si ha:
axb=bxa
cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia
ESEMPIO
12 x 5 = 5 x 12
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA: Se a, b e c sono tre numeri naturali qualsiasi si ha:
(a x b) x c = a x (b x c)
nella moltiplicazione di tre (o più) numeri il prodotto non cambia se a due (o più di due) fattori
consecutivi si sostituisce il loro prodotto
ESEMPIO
3 x 5 x 4 = 3 x (5 x 4) = (3 x 5) x 4
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PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALLA SOMMA: Se a, b e c sono tre
numeri naturali qualsiasi si ha:
(a + b) x c = (a x c) + (b x c)
Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti di ciascun addendo per
quel numero
ESEMPIO
(4 + 5) x 6 = (4 x 6) + (5 x 6)
Il numero 1 costituisce l’elemento neutro rispetto al prodotto
1xa=ax1=a
LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: il prodotto di un qualsiasi numero naturale per zero
è uguale a zero.
ax0=0xa=0
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DIVISIONE: Eseguire la divisione fra due numeri naturali vuol dire trovare quel terzo numero
naturale, se esiste, che, moltiplicato per il secondo riproduce il primo.
● Le divisioni 5 : 8 e 4 : 3 non sono possibili;
● La divisione per zero di un numero naturale diverso da zero non è possibile, in quanto
qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero;
● La divisione 0 :0 non ha senso perché origina infiniti risultati.
a:b=c
se
cxb=a
Il primo numero, cioè a, si chiama dividendo (numero da dividere), il secondo, cioè b, si chiama
divisore (numero che divide), il risultato c si chiama quoziente.
La divisione
● non gode della proprietà commutativa (12 : 3 = 4 ma 3 : 12 non è possibile);
● non gode neppure della proprietà associativa
(12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1 è diverso da
12 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4
Inoltre:
Non esiste alcun numero che agisca in modo neutro sulla divisione
a : 1 = a ma 1 : a # a se a # 0 o è impossibile se a = 0
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POTENZE
L’operazione di potenza, indicata col simbolo an (a elevato n), è quell’operazione che ai due numeri
naturali a e n associa un terzo numero naturale definito come segue:
● se n = 0 allora an è uguale a 1 purché sia a # 0
● se n = 1 allora an è uguale ad a
● se n è diverso da zero e da 1 allora an è uguale al prodotto di n fattori tutti uguali ad a.
Quindi:
a0 = 1 (purché a # 0)
a1 = a
an = a x a x a x ............ x a
n volte, se n è diverso da 0 e da 1
Il numero a si dice base; il numero n si dice esponente
ESEMPI
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
33 = 3 x 3 x 3 = 27
04 = 0
10 = 1
150 = 1
18 = 1
121 = 12
● L’operazione di potenza non gode della proprietà commutativa, non gode della proprietà associativa
e non ha elemento neutro.
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OPERAZIONI FRA POTENZE DELLA STESSA BASE
Fra potenze della stessa base si definiscono alcune operazioni che vengono indicate come proprietà
delle potenze.
PRIMA OPERAZIONE (proprietà): Consideriamo un prodotto fra due potenze aventi la stessa
base, per esempio 43 x 42. In questo caso si ha:
43 X 42 = (4 X 4 X 4) X (4 X 4) =
4 X 4 X 4 X 4 X 4 = 45
In generale, si può affermare che:
am x an = am+n
Il prodotto di due potenze di uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti.
SECONDA OPERAZIONE (proprietà): Consideriamo una divisione fra potenze aventi la stessa base,
per esempio 65 : 63. Eseguire questa operazione significa trovare una terza potenza, della stessa base,
che, moltiplicata per la seconda, riproduca la prima.
65: 63 = 62
dato che 62 x 63 = 65
In generale si può affermare che:
am : an = am-n
Il quoziente di due potenze di uguale base, con esponente della potenza “dividendo” maggiore
dell’esponente della potenza “divisore”, oppure uguale, è una potenza che ha per base la stessa base e
per esponente la differenza degli esponenti.
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TERZA OPERAZIONE (proprietà): Consideriamo l’operazione:
(42)3
potenza di una potenza
Si ha:
(42)3 = 42 x 42 x 42 = 46
cioè 42x3
In generale si può affermare che:
(am) n = am n
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti.
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ALTRE OPERAZIONI SULLE POTENZE
Altre operazioni sulle potenze sono quelle che riguardano:
● (a x b)m
potenza di un prodotto
● (a : b)m
(purché b # 0)
potenza di un quoziente
PRIMA OPERAZIONE: Consideriamo la potenza di un prodotto, per esempio (2 x 3)3
In questo caso si ha:
(2 x3)3 = (2 x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33
In generale si può affermare che:
(a x b)m = am x bm
La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.
SECONDA OPERAZIONE: Consideriamo la potenza di un quoziente, per esempio (16 : 4)2
Possiamo procedere scrivendo:
(16 : 4)2 = 42 = 16
oppure
(16 : 4)2 = 162 : 42 = 256 : 16 = 16
Quindi in generale:
(a : b)m = am : bm
purché b # 0
La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore
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