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GEOMETRIA
DOMANDE STIMOLO:
•Perché, per andare da Milano a Los Angeles, i voli aerei
intercontinentali sorvolano la Groenlandia (cioè, perché per
andare poco più a sud di Milano conviene andare così a nord?)
•Un cacciatore di orsi trova le tracce di un orso e le segue per
un lungo tragitto. Si trova a percorrere un tragitto di un
chilometro in direzione sud, poi l’orso devia di 90° e percorre un
chilometro in direzione est, poi svolta un’altra volta di 90° e
percorre un chilometro in direzione nord. Alla fine di questo
tragitto il cacciatore si ritrova al punto di partenza. La domanda
è: di che colore è l’orso?
(risposta: l’orso è bianco, perché l’unico punto sulla terra in cui
può esistere un triangolo con due angoli retti è il polo Nord)
Perché nel reticolo autostradale delle cartine degli stati uniti le
strade in direzione nord-sud presentano degli angoli e non sono
diritte per tutto il loro percorso?
•
OGGETTI E REGOLE
•
sono gli elementi di cui si occupa la geometria
•
ASSIOMI
non si definiscono:
OGGETTI PRIMITIVI
non si definiscono:
•
•
•
PUNTO (indicato con P,R,S…)
RETTA (indicata con r,s,v,t…)
PIANO (indicato con lettere greche)
sono proposizioni su cui si fonda la geometria (e
che permettono di generare nuove proposizioni)
•
Sono proposizioni “degne” di fiducia che vengono
assunte vere e riguardano gli enti primitivi
TEOREMI
si dimostrano e sono costituiti da:
OGGETTI DERIVATI
si definiscono:
•
IPOTESI: è la premessa, cioè una proposizione
sempre vera
•
SPAZIO è l’insieme di tutti i punti
•
•
TESI: è la conseguenza, cioè la proposizione di cui
si deve accertare la verità
FIGURA GEOMETRICA: è un sottoinsieme dello
spazio
•
DIMOSTRAZIONE: è l’insieme dei ragionamenti
che si devono fare per giungere dalla verità
dell’ipotesi alla verità della tesi
ASSIOMI DELLA RETTA
•
due punti distinti dello spazio appartengono ad una ed una sola retta
•
Se due punti di una retta appartengono ad un piano, anche tutti gli altri
punti appartengono a quel piano
•
Alla retta appartengono infiniti punti: essa è illimitata e densa.
La retta si può orientare, cioè su di essa si può fissare un verso di
percorrenza.
POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE
RETTE NEL PIANO
•
Rette prive di punti di intersezione: r  s   
si dicono parallele distinte
•
Rette aventi un unico punto di intersezione: r  s  P
si dicono incidenti o secanti
•
Rette con infiniti punti di intersezione: r  s  r
si dicono parallele coincidenti o sovrapposte
SEGMENTI
•
una retta orientata contiene
certamente un punto A
•
due segmenti sono consecutivi se
hanno in comune solo un estremo
si definisce semiretta l’insieme di
punti:
A (ORIGINE) e tutti i punti che
precedono (o seguono) A
•
•
una retta orientata contiene
certamente due punti: nell’ordine
A, B
si definisce segmento l’insieme
di punti:
A, B (ESTREMI) e tutti i punti che
precedono B e seguono A.
SEGMENTI CONSECUTIVI
SEGMENTI ADIACENTI
due segmenti sono adiacenti se sono
consecutivi e, in più, appartengono alla
stessa retta
La dimostrazione “per assurdo”
•
•
•
•
•
•
•
In una dimostrazione “per assurdo”, anziché passare direttamente
dall’ipotesi del teorema alla tesi attraverso dei ragionamenti i  t
si procede così:
si nega la tesi, cioè si dice che è falsa,
si conducono delle deduzioni (ragionamenti conseguenti alla falsità della
tesi),
si giunge ad una contraddizione, per es. ad affermare una frase che è in
contrasto con un assioma o un teorema già dimostrato,
poiché gli assiomi sono stati accettati come veri e i teoremi sono stati
dimostrati veri, essi non possono essere falsi,
in questo modo di procedere, l’unica cosa errata è aver detto che la tesi era
falsa,
dunque la tesi deve essere vera.
non t  non i
Teorema:
IPOTESI: due rette distinte nel piano, TESI: hanno al massimo un punto in comune
•
•
•
•
•
•
•
•
la dimostrazione procede “per assurdo”:
si nega la tesi, le rette non hanno al massimo un punto in comune (0,1)
deduzione 1: devono averne almeno due distinti
poiché esiste un assioma che afferma: “per due punti distinti del piano
passa una e una sola retta”
e poiché tale assioma è stato accettato come vero, esso non può essere
falso,
contraddizione con l’ipotesi: se la retta è una e una sola, allora non sono
due rette distinte, cosa affermata nell’ipotesi
l’affermazione errata consiste nell’aver detto che le rette avevano più di un
punto in comune
dunque la tesi deve essere vera
ASSIOMI DEL PIANO
•
Tre punti dello spazio non appartenenti alla stessa retta (non allineati),
appartengono ad uno ed un solo piano
•
Al piano appartengono infiniti punti e infinite rette
un piano contiene certamente una retta, essa lo suddivide in due regioni di
punti dette SEMIPIANI di cui la retta è BORDO o FRONTIERA
ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO
• Se due punti A B del piano appartengono allo stesso semipiano 
il segmento che li congiunge non ha punti in comune con la frontiera
• Se due punti A B del piano appartengono a semipiani diversi 
il segmento che li congiunge ha un punto in comune con la frontiera
ANGOLI
•
•
due semirette aventi l’origine in
comune suddividono il piano in due
parti:
si definisce angolo ciascuna di queste
due parti, si definiscono lati
dell’angolo le semirette e vertice la
loro comune origine.
Un angolo convesso non contiene i
prolungamenti dei suoi lati
•
due angoli sono consecutivi se hanno
in comune il vertice ed un lato,
avendo gli altri due lati in semipiani
opposti rispetto al lato comune
•
•
Un angolo concavo li contiene
ANGOLI CONSECUTIVI
ANGOLI ADIACENTI
due angoli sono adiacenti se sono
consecutivi e, in più, i lati non comuni
appartengono alla stessa retta
LA CONGRUENZA
•
NEL PIANO ESISTE LA POSSIBILITA’ DI EFFETTUARE UN MOVIMENTO RIGIDO CHE NON
DEFORMI LE FIGURE
•
tale movimento permette di definire
FIGURE CONGRUENTI,
cioè sovrapponibili punto a punto
PROPRIETà DELLA CONGRUENZA:
(simbolo:
)
p. riflessiva: ogni figura è congruente a sè stessa
p. simmetrica: se la figura f1 è congruente alla figura f2, allora la fig. f2 è congruente alla
figura f1
p. transitiva: se la figura f1 è congruente alla figura f2 e la figura f2 è congruente alla figura f3,
allora la fig. f1 è congruente alla figura f3
Figure congruenti
•
Le rette sono congruenti fra loro
•
Le semirette sono congruenti fra loro
•
I piani sono congruenti fra loro
•
I semipiani sono congruenti fra loro
POLIGONI E TRIANGOLI
•
•
•
SPEZZATA: linea costituita da più segmenti
consecutivi fra loro
può essere:
chiusa,
•
aperta
•
semplice,
•
intrecciata
•
Poligono è la figura formata da una una poligonale
(spezzata chiusa non intrecciata) e da tutti i punti
della parte FINITA di piano delimitata dalla
poligonale
•
P. convesso se il segmento avente per estremi due
punti del poligono è interamente contenuto nel
poligono
•
Angolo interno: ha per vertice un vertice del p. e
per lati le semirette dei lati uscenti da quel vertice
•
Angolo esterno: ciascun angolo adiacente ad un
angolo interno (ce ne sono due congruenti per ogni
angolo interno)
•
Corda: segmento che unisce due punti qualsiasi del
contorno (perimetro) non appartenenti allo stesso
lato
•
Diagonale: ogni corda che unisce due vertici non
consecutivi
TRIANGOLI
(poligoni di tre lati)
E CRITERI DI CONGRUENZA
•
CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI:
•
SCALENO: tutti i lati diversi
•
ISOSCELE: due lati congruenti (lati obliqui, una
base)
•
EQUILATERO: tre lati congruenti
•
•
•
•
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA:
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo
fra essi compreso, allora i triangoli sono congruenti
•
•
SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA:
Se due triangoli hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti
ordinatamente congruenti, , allora i triangoli sono congruenti
•
•
TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA:
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora i
triangoli sono congruenti
•
•
QUARTO CRITERIO DI CONGRUENZA:
Se due triangoli hanno due angoli e il lato opposto ad uno di essi
ordinatamente congruenti, allora i triangoli sono congruenti
Bisettrice di un angolo: è la semiretta uscente dal
vertice dell’angolo, ma anche il segmento di
bisettrice che ha un estremo appartenente al lato
opposto.
Mediana di un lato: è il segmento che congiunge un
vertice con il punto medio del lato opposto.