ANALOGIA ELETTRICA

Il trasporto di calore
Le operazioni di scambio termico sono assai diffuse nella pratica industriale, trovando impiego tutte le volte che
si deve sottrarre o cedere calore a una corrente fluida. A tale scopo è necessario mettere a contatto la corrente
che interessa con un'altra, rispettivamente più fredda o più calda, i n grado quindi di assorbire o di cedere il
calore. In dipendenza del tipo di fluido e delle caratteristiche di scambio del calore, i casi più comuni che
possono verificarsi sono:
a) Coibentazione di una apparecchiatura o di una tubazione con un rivestimento di materiale isolante per
evitare le dispersioni di calore o, in genere, gli scambi termici con l'ambiente esterno.
b) Termostatazione di una apparecchiatura o serpentini all'interno dei quali passa un fluido di servizio, allo
scopo di mantenere costante, entro limiti prefissati, la temperatura interna.
e) Scambio di calore tra fluidi di processo: si realizza quando nel processo si ha una corrente che è
necessario riscaldare e un'altra che occorre raffreddare; se le differenze di temperatura lo permettono e se le
quantità di calore in gioco sono dello stesso ordine di grandezza, è possibile utilizzare il calore della corrente
calda per riscaldare quella fredda.
d) Riscaldamento o raffreddamento di un fluido: dal punto di vista del fluido di processo che viene
riscaldato o raffreddato tutto avviene come nel caso precedente; in questo caso, però si usa un fluido di
servizio, ad esempio acqua industriale o liquidi bollenti per raffreddare; vapori condensanti, oli termici o altri
fluidi ad alta temperatura, o prodotti di combustione per riscaldare.
e) Condensazione di un vapore: se un fluido di processo deve passare dallo stato di vapore allo stato liquido,
occorre un condensatore, nel quale il calore viene sottratto da un fluido di servizio.
f) Vaporizzazione: il fluido di processo deve cambiare di stato, cioè passare dallo stato liquido allo stato di
vapore, mentre il calore necessario può essere fornito da vapore condensante o da un altro fluido di servizio.
Così, in genere, per riscaldare un fluido si usa comunemente un vapore condensante; si possono però
verificare circostanze tali da consigliare una diversa soluzione: ad esempio, per temperature piuttosto basse
può essere conveniente ricorrere all'uso dell'acqua calda, mentre per temperature elevate può essere fate uso
di fluidi diversi o, addirittura, della fiamma diretta (forni).
g) Concentrazione di una soluzione: è un'operazione che consiste essenzialmente nella vaporizzazione di
uno solo dei componenti di una miscela, cioè di quello che compie le funzioni di solvente. L'operazione viene
effettuata in apparecchiature particolari, chiamate evaporatori o concentratori.
Meccanismi di trasmissione del calore
I meccanismi secondo i quali il calore può trasmettersi sono essenzialmente riconducibili a
tre tipi: conduzione, convezione e irraggiamento.
a) Conduzione: è il trasferimento di calore da una parte ad un'altra di uno stesso corpo, o
mezzo, oppure da un corpo a un altro a contatto fisico col primo, senza un apprezzabile
spostamento di materia.
b) Convezione: è il trasferimento di calore da un punto a un altro entro un fluido, liquido o
gas, accompagnato da un rimescolamento del fluido stesso.
Si fa distinzione poi tra convezione naturale, nella quale il movimento del fluido è
interamente dovuto a differenze di densità, risultanti a loro volta da differenze di
temperatura, e convezione forzata, quando il movimento è prodotto da agenti esterni, ad
esempio una pompa, un ventilatore, un agitatore. Se il movimento del fluido, pur se dovuto a
cause meccaniche, avviene molto lentamente, si può avere sovrapposizione fra i due tipi di
moto all'interno del fluido, quindi si può avere un meccanismo di convezione mista
naturale/forzata.
c) Irraggiamento: è il trasferimento di calore da un corpo a un altro, non in contatto fisico col
primo. Esso avviene mediante propagazione di onde elettromagnetiche, emesse dalle
molecole nel loro movimento, le quali viaggiano attraverso lo spazio, anche vuoto, alla
velocità della luce. La quantità di calore irradiata da un corpo aumenta con la sua
temperatura e, se lo spazio circostante non è vuoto, il trasferimento del calore per
irraggiamento è sempre associato ad un trasporto per convezione all'interno del mezzo.
Nelle apparecchiature di scambio termico industriali si verificano generalmente tutti i
meccanismi con i quali il calore può passare da un corpo ad un altro.
Regimi
Nella soluzione dei problemi relativi alla trasmissione del calore occorre stabilire se
il processo avviene in condizioni stazionarie o transitorie.
Si è in regime stazionario quando la quantità di calore trasmessa da punto a punto
di un certo sistema non varia nel tempo, e in particolare rimangono costanti nel
tempo la temperatura in ogni punto ed il flusso termico, cioè la quantità di calore
trasmessa perpendicolarmente per unità di superficie, attraverso qualsiasi
superficie del sistema in esame. Nella maggior parte dei casi che si incontrano
nella pratica industriale si ha a che fare con processi allo stato stazionario, ma si
possono verificare facilmente anche condizioni di non stazionarietà, quando la
temperatura, o il flusso termico, in qualche punto, variano nel tempo.
Si parla allora di condizioni di regime transitorio: per esse si incontrano notevoli
difficoltà nel dimensionare le apparecchiature e spesso sono possibili solo
soluzioni approssimate.
Legge generale di trasporto
Forza spingente
Flusso 
Resistenza
oppure
Flusso = Coeff. di trasporto • Forza spingente
dove
Flusso = Portata / Superficie
Conduzione
A

Q  k T
L
[] W
(1.4)
Nella equazione di Fourier (1.4) T è la differenza di temperatura fra estremità
più calda e estremità più fredda di una parete piana di spessore L e superficie A,
sufficientemente estesa rispetto al suo spessore perché si possano trascurare
le perdite di calore secondo direzioni ortogonali a quella del flusso termico.
La costante k che compare nella (1.4) è una proprietà fisica della sostanza, di cui
è costituita la parete, chiamata conducibilità termica. Il significato fisico della
conducibilità termica è quello della quantità di calore che fluisce nell'unità di
tempo attraverso una superficie unitaria del materiale sotto un gradiente di
temperatura unitario. Le sue dimensioni sono:
(quantità di calore)(lunghezza)/(tempo)(superficie)(temperatura)
Tabella 1-1.
Ordine di grandezza della conducibilità termica
Materiale
kcal/mh°C
Gas alla pressione atmosferica ......
0,006

0,15
0,007

0,17
Materiali isolanti ...........
0,03

0,18
0,034

0,21
0,075

0,60
0,087

0,7
0,03

2
0,034

2,3
7,5
 70
8,7

81
12
100
14

420
45
360
52

120
Liquidi non metallici ..........
Solidi non metallici (mattoni, pietra,
cemento).
W/m°C
Metalli liquidi ............
Leghe ................
Metalli puri .............
Figura 1-2.
500
1000
Temperatura assoluta, °K
Fig. 1-2. Variabilità con la temperatura della conducibilità
termica di solidi, liquidi e gas.
1500
Convezione
La convezione può essere valutata con la Legge di Newton
  hA T
Q
[ ] W
in cui
 = potenza termica, W
Q
A = area della superficie di scambio, m2
T = differenza tra la temperatura della superficie e la temperatura
del fluido in un punto specificato, °C
h = coefficiente di scambio termico per convezione, W/(m2 K)
oppure kcal/(h m2K)
Tabella 1-2.
Ordine di grandezza dei coefficienti di scambio termico per convezione h
kcal/h m2 °C
Condizione
W/m2 °C
Aria, convezione libera .......
5

25
6
 30
Vapore d'acqua surriscaldato o
aria. convezione forzata .........
30

250
30
 300
Olio, convezione forzata .......
50

1.500
60
 1.700
Acqua, convezione forzata ......
250

10.000
300
 12.000
Acqua, ebollizione .........
2.500
 50.000
3.000
 60.000
Vapore d'acqua, condensazione
....
5.000
 100.000
6.000
120.000
Irraggiamento
Tutte le sostanze a temperatura superiore allo zero assoluto emettono radiazioni
termiche, le quali si trasmettono attraverso lo spazio in fascio rettilineo in tutte le direzioni e
possono quindi colpire altri corpi materiali posti lungo il loro cammino. Se E è l'energia della
radiazione incidente su un corpo, generalmente una frazione aE di questa energia viene
assorbita dal corpo, una frazione tE viene trasmessa attraverso il corpo, e una frazione rE
viene riflessa, cosicché si ha
E = aE + tE + rE
da cui
(a + t + r) = 1
dove
a = coefficiente di assorbimento, o assorbanza
t = coefficiente di trasmissione, o trasmittanza
r = coefficiente di riflessione, o riflettanza.
L'energia radiante assorbita si trasforma in calore, mentre quella riflessa può essere
assorbita da altri corpi e venire su di essi trasformata in calore.
Se un corpo non è trasparente (corpo opaco), si ha t = O, quindi dalla (1.13) consegue che
a+r
=
1
Si parla infine di corpo grigio, nel caso di un corpo opaco, per il quale il coefficiente di assorbimento ed il
coefficiente di riflessione risultino indipendenti dall'angolo di incidenza e dalla lunghezza d'onda della radiazione
incidente.
Quando corpi a diversa temperatura si trovano esposti uno in vista dell'altro in un ambiente chiuso, i corpi più caldi
cedono energia per emissione più di quanta ne ricevano nello stesso tempo per assorbimento, quindi la loro
temperatura diminuisce. Viceversa, i corpi più freddi assorbono nell'unità di tempo più energia di quanta ne
emettano, sicché la loro temperatura aumenta. Si stabilisce perciò un trasferimento netto di energia sotto forma di
calore dai corpi più caldi ai corpi più freddi in seguito all'irraggiamento.
La legge fondamentale che governa lo scambio termico per irraggiamento è la legge di Stefan- Boltzmann,
secondo la quale la quantità di energia emessa sotto forma di calore radiante per unità di superficie da un corpo
nero nell'unità di tempo è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta
 / A  T 4
Q
nella quale  è una costante, chiamata costante di Stefan-BoItzmann, il cui valore dipende dalle
unità di misura scelte per le altre grandezze che compaiono nella (1.15).
Se la velocità del flusso termico viene misurata in kcal/m2 h e la temperatura in K, allora si ha:
  4.88  10 8 kcal /( m 2 hK 4 )(1.15)
Se si considera un corpo nero, a temperatura t1, racchiuso in una cavità che lo isola completamente dall'esterno,
le cui pareti, anch'esse nere, si trovino ad una temperatura T2 < T1, allora tutta l'energia radiante emessa dal
corpo nero viene assorbita dalle pareti e, viceversa, tutta l'energia radiante emessa dalle pareti viene assorbita dal
corpo nero, sicché la quantità di calore effettivamente trasferita dal corpo nero alle pareti della cavità nell'unità di
tempo risulterà data da
  A ( T 4  T 4 )
Q
1
1
1
2
dove A1 è la superficie esterna del corpo nero.
(1.16)
Nella realtà pratica si ha però a che fare pressoché esclusivamente con corpi grigi, per cui bisogna tener conto
che solo una parte dell'energia incidente viene assorbita, mentre la parte restante viene riflessa.
Si definisce allora come emissività di un corpo grigio, e la si indica con e, il rapporto tra l'energia emessa da un
corpo grigio e l'energia emessa da un corpo nero a parità di temperatura. La legge di Stefan-BoItzmann (1.15) si
può perciò estendere ad un corpo grigio, scrivendo
(Q / A) grigio 
 (Q /
A) nero
quindi, in generale
Q/ A 
T 4
(1.17)
Se il corpo grigio, a temperatura ti, si trova interamente racchiuso in una cavità dalle pareti nere, a
temperatura T2 <T1, la quantità di calore da esso trasferita nell'unità di tempo alle pareti sarà data, in base
alle (1.16) e (1.17) da
Q1  1 A1 (T1
4
 T2 )
4
(1.18)
Normalmente, tutti i corpi che scambiano fra loro calore per irraggiamento sono corpi grigi, inoltre lo scambio
termico avviene entro spazi aperti, sicché non tutta la radiazione emessa da un corpo giunge su un altro corpo,
ma soltanto una frazione di essa, la quale dipende dalla forma dei corpi e dal modo secondo cui le loro superfici si
"vedono" reciprocamente. Per tener conto di questo, bisognerà scrivere, al posto della (1.18), la relazione
Q1  A1 F1 2 (T1
4
 T24 )
(1.19)
dove con F si è indicato il cosiddetto fattore di scambio globale tra superfici, o fattore di forma, il cui valore tiene
conto sia delle diverse emissività
1e 2 dei corpi grigi che scambiano fra loro calore, sia della loro forma e
della disposizione dell'uno rispetto all'altro.
 
Trasmissione del calore per convezione forzata all'interno di tubi
Il riscaldamento ed il raffreddamento di fluidi che scorrono all'interno di condotti sono tra i più importanti processi
di scambio termico. Il progetto di qualsiasi scambiatore di calore richiede la conoscenza del coefficiente di
scambio termico tra le pareti del condotto ed il fluido che scorre al suo interno. La quantità di calore scambiata
nell'unità di tempo, sotto la differenza di temperatura esistente può essere calcolata tramite la nota equazione
(1.10), che esprime la legge di Newton della convezione
Q = h A T
(1.10)
con T pari alla differenza di temperatura, in valore assoluto, tra fluido e parete.
Il coefficiente di scambio termico potrà essere calcolato attraverso il numero di Nusselt, definito
dalla (4.1), scrivendo in un caso ancora più generale
i
Nu = h Deq / k
dove Deq è il diametro equivalente del condotto considerato, definito, dalla relazione
Deq =
4 r H= 4 (area della sezione di flusso)/(perimetro bagnato)
(5.1)
(5.2)
Nel caso di un condotto a sezione circolare, il diametro equivalente coincide con il diametro del condotto;
.
Area della sezione normale al moto
Perimetro bagnato
(a)
(b)
Fig. 5-1. Diametro equivalente.
Nella pratica il numero di Nusselt per il moto all'interno di condotti viene generalmente calcolato con equazioni
empiriche basate su risultati sperimentali, anche se in qualche caso sono staff sviluppati metodi di calcolo basati
sullo studio dei fenomeni di trasporto di materia e di trasporto di calore.
Scambio termico tra fluidi e singole superfici investite ortogonalmente
Le variabili che influenzano il coefficiente di scambio termico per un fluido che investe, in regime di convezione
forzata, la superficie esterna di un singolo tubo, sono sostanzialmente le stesse già incontrate nella applicazione
della analisi dimensionale al calcolo dei coefficienti di scambio in generale, con una differenza di notazioni, in
quanto la dimensione lineare considerata sarà normalmente il diametro esterno, oppure la lunghezza del tubo.
Si potrà perciò scrivere una correlazione, nella quale compariranno i tre gruppi adimensionali di Nusselt,
Reynoids e Prandtl già definiti
ovvero
Num   (Re, Pr)
(6.1)
(hm De / k )  (vm De /  ), ( C / k )
(6.2)
Dallo studio dei dati sperimentali si deduce che si può scrivere in generale
Num  Cr Re m Pr1/ 3
(6.3)
dove i valori di Cr e dell'esponente m risultano dipendenti dal numero di Reynoids, come viene illustrato
nella tabella seguente, e le proprietà del fluido vanno calcolate 4 in ogni caso alla cosiddetta temperatura
media del film, cioè alla media aritmetica tra temperatura della massa fluida e temperatura della
superficie Tf = Tw + Te)/2.
Scambio termico tra fluidi e singole superfici investite ortogonalmente
Valori del numero di Reynolds
1-4
4-40
40-4000
4000-40000
40000-250000
Valori del coefficiente Cr
0,989
0.911
0,683
0,193
0,0266
Valori dell'esponente m
0,330
0,385
0,466
0,618
0,805
Nel caso dell'aria, come in generale per tutti i gas, il numero di Prandtl, essendo pressoché indipendente dalla
temperatura, potrà essere conglobato in una costante, per cui si avrà semplicemente
( hm De / k )   (vm De /  )
(6.4)
La relazione tra numero di Nusseit e numero di Reynoids (6.4) può quindi essere scritta per l'aria nel seguente
modo:
( hm De / k f )  B (vm Def /  f ) n
DG/ f f
con i valori delle proprietà fisiche dell'aria determinati
alla temperatura media del film ed i valori del
coefficiente B, risultante dal prodotto Cr Pr 0 , 74,e
dell’esponente n a loro volta funzione del numero di
Reynolds, come è illustrato nella tabella a fianco.
n
(6.5)
B
1-4
0.330
0.891
4-40
0.385
0.821
40-4,000
0.466
0.615
4,000-40,000
0.618
0.174
40,000-250,000
0.805
0.0339
ANALOGIA ELETTRICA
V
I 
R

T
Q
R
Dove: I = corrente (A)
V= tensione (V)
R= resistenza (  oppure K/W)
Q= potenza termica (W)
T= diff. di temperatura (K)
RESISTENZE IN SERIE
Ti
Q=

Ri
T
N
 Ri
i 1
dove:
Ti
;I 
V
N
 Ri
i 1
= salto di temperatura nello stadio i-esimo (K)
Ri = resistenza di trasferimento di calore nello stadio iesimo (K/W)
COEFFICIENTE GLOBALE DI SCAMBIO TERMICO
Q  UjAjT KW
.
Dove: Uj = coeff. globale di scambio termico
Aj = area di scambio presa come riferimento
Eguagliando con:
.
Q 
T
N
 Ri
T

RTOT
i 1
Troviamo:
1

UjAj
N
 Ri
i 1
 RTOT
Coefficiente globale di scambio
“fouling”
Fluido esterno Te
1
hi Ai
R fi
Ai
ln( re / ri )
2kL
R fe
A2
1
he Ae
Fig. 12.4 Rappresentazione schematica dello scambio termico tra due fluidi in uno
scambiatore di calore.
Figura 10.3
Flusso di calore attraverso
cilindro
spesso coibentato