Diapositiva 1

Laboratorio di El&Tel
Modulazioni Numeriche
Mauro Biagi
Outline
• Modulazione numerica in banda base
• Criterio di Nyquist
• Modulazione numerica in banda traslata
• Simulatore
Modulazioni Numeriche
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Modulazione e demodulazione numerica:schema
segnale
numerico
...0010111001...
segnale
analogico
modulatore
numerico
mezzo trasmissivo
segnale
numerico
...0010011001...
affetto da
errori
Modulazioni Numeriche
demodulatore
numerico
affetto da
distorsioni e
rumore
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segnale
analogico
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Modulazione Numerica: banda base vs. b. traslata
banda base
banda traslata
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier contenuta
in un intervallo di frequenza
contiguo all’origine
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier contenuta
in un intervallo di frequenza
non contiguo all’origine
X(f)
X(f)
f
f
Mezzi trasmissivi
in banda base
(es.: linea bifilare)
Mezzi trasmissivi
in banda traslata
(es.: trasmissioni radio)
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Modulazioni Numeriche
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Modulazione numerica: schema di b.traslata
segnale numerico
modulatore
numerico in
banda traslata
segnale analogico
in banda traslata
mezzo trasmissivo
segnale numerico
Modulazioni Numeriche
demodulatore
numerico
(banda traslata)
segnale analogico
in banda traslata
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Rappresentazione dei segnali numerici (1/7)
Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico:
Tensione elettrica sul filo,
dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una
fibra ottica
+5V
0 1
0
0
0
1
0
1 …
P0
t
0
-5V
0 1
0
0
0
1
0
1 …
t
Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego
inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo
Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
Modulazioni Numeriche
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Rappresentazione dei segnali numerici (2/7)
0
asse dei tempi
segnale numerico b(n)
(sequenza di simboli)
sequenza di ampiezze a(n)
... 0 1
x t  
0
0
5T
0
1
0
1 …
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)
a(2)g(t-2T)
a(3)g(t-3T)
+5


2T
...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
(valori associati ai simboli secondo una
corrispondenza biunivoca:
Es. +5 -> 0 ; -5 -> 1 )
impulsi

1
t
di forma g(t)
di ampiezza a(n)
trasmessi negli istanti nT
T
a (n ) g( t  nT)
-5
n  
Modulazioni Numeriche
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t
Rappresentazione dei segnali numerici (3/7)
Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente:
alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli
arbitrari rappresentabili,
senza perdita di generalità, con i numeri naturali
{0, 1, 2, ..., α–1}
intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T
velocità di emissione dei simboli: fs=1/T
Modulazioni Numeriche
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Rappresentazione dei segnali numerici (4/7)
Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico
x t  

 a (n) g(t  nT)
n  
dove
 g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato
all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore
 i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di
impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati
agli α simboli dell’alfabeto
[ a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 ]
Modulazioni Numeriche
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Rappresentazione dei segnali numerici (5/7)
Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di
valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.
b(n)
a(n)
simboli
0
1
...
α -1
ampiezze di impulso
a0
a1
...
aα-1
Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto
allo 0.
Esempi:
 =2
 =3
=4
+1
a
+1
a
0
+1
a
+1/3
-1/3
-1
-1
Modulazioni Numeriche
-1
ai  1 
2i
 1
i  0, 1, 2, ... ,  - 1
Senza perdita di generalità,nel caso di =2
assumeremo a0 =1, a1=-1.
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Rappresentazione dei segnali numerici (6/7)
x t  

 a (n) g(t  nT)
n  
onda PAM
PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza
di Impulso)
simboli diversi -> differenti valori della ampiezza degli impulsi
larghezza di banda
larghezza di banda
-> del segnale g(t)
dell’onda PAM
Modulazioni Numeriche
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Rappresentazione dei segnali numerici (7/7)
Esempi di segnali PAM
Ordine
dell’alfabeto

Ampiezze di
impulso ai
(i=0,1,...,-1)
2
[+1 , -1]
Forma di
impulso g(t)
[+1, 0, -1]
[+1, +1/3, -1/3, -1]
+T/2
0
0
0
+T/2
+T/2
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0
T
0
1
-T/2
Modulazioni Numeriche
0
1
-T/2
4
0
1
-T/2
3
segnale PAM x(t)
1
2T
0
1
0
T
2T
0
1
0
0
T
0
2
3
2T
12
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Efficienza spettrale
Obiettivi:
•
trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente
banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;
•
ottenere elevata efficienza di banda, definita come:
f
velocità di simbolo
 s
larghezza di banda del segnale modulato f m
[(simboli/sec)/Hz]
Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo
estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide
transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di
salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t).
Modulazioni Numeriche
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Schema di un modulatore PAM
Segnale
dalla sorgente
(rappres. PAM ideale)
Filtro
formatore di impulso
con risposta impulsiva
g(t)
Segnale PAM ideale
u t  

 a (n) (t  nT)
n  
0
0
0
1
0
t
Modulazioni Numeriche
x ( t )  u t   g t 
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x t  
0
0
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
 a (n) g(t  nT)
n  
0
T
1
2T
0
t
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Canale (lin e perm) con rumore additivo gaussiano
Canale
lineare e permanente
C(f) = FT [c(t)]
passa-basso
C(f) = 0 per |f | > fm
y(t) = x(t) * c(t)
+
n(t)
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x t  
0
0
z(t) = y(t) + n(t)
segnale in uscita
dal canale

 a (n) g(t  nT)
n  
0
T
1
0
rumore additivo gaussiano n(t)
con spettro di densità di potenza
uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)
“rumore Gaussiano bianco”
2T
Modulazioni Numeriche
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Demodulatore PAM
Campionamento
negli istanti
t = kT
Filtro di ingresso
al demodulatore
GR(f)
z(t)
segnale in
uscita
dal canale
w(t) = y(t) * gR(t) + h(t)
= r(t) + h(t)
rumore
filtrato
componente
utile
Esempio:
w(kT)
^a(k)
^b(k)
+1,21
+0,66
+1
+1
0
0
1
-1,35
-1
0
Modulazioni Numeriche
+1,17
+1
Decisione
criterio di decisione
w(kT)
n(t ) * g R (t )
â(k)
sequenza
stimata delle
ampiezze
trasmesse
Il criterio qui applicato è il seguente:
^ = +1 ;
w(kT) > 0 -> a(k)
^ = -1
w(kT) < 0 -> a(k)
Nel segnale numerico ricevuto possono
comparire errori dovuti a decisione errata.
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Schema riassuntivo
MODULATORE
DEMODULATORE
sequenza â(k)
Segnale
dalla sorgente
u t  
Decisione

w(kT)
 a (n) (t  nT)
Campionamento
negli istanti t = kT
n  
Filtro formatore di
impulso G(f)
w(t) = y(t) * gR(t) + h(t)
x ( t )  u t   g t 
CANALE
n(t)
Canale
lineare e permanente
C(f)
y(t)
Modulazioni Numeriche
+
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Filtro di ingresso al
demodulatore GR(f)
z(t) = y(t) + n(t) =
= x(t)*c(t) + n(t)
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Ricezione del segnale
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + h(t)
r t   y (t )  g R t 
 x t   ct   g R t 
segnale utile
r t  
 u t   g t   ct   g R t 

rumore
(filtrato)
 a(n) h(t  nT)
n  

 h t    a ( n )  (t  nT )
n  
con
h  t   g  t   c t   g R  t 
risposta impulsiva della cascata di tre filtri:
formatore di impulso,
canale,
filtro di ingresso al demodulatore
Per le funzioni di trasferimento:
H(f) = G(f) C(f) GR(f)
Modulazioni Numeriche
Il segnale utile r(t) è
ancora un segnale
PAM
con forma di impulso
h(t)
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Ricezione del segnale
Obiettivo: ricavare una “stima” {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0-> η(t)=0

wt   r t   h t   r t    a ( n ) h(t  nT )

n  
wkT    a ( n ) h( kT  nT )
n  

 a ( k ) h(0)   a ( n ) h( kT  nT )
n   , n≠k
coincide con a(k) a
meno della costante
(guadagno) h(0)
Modulazioni Numeriche
Interferenza
intersimbolica (ISI)
componente dipendente dalle ampiezze
trasmesse prima e dopo l’ampiezza
kesima e dalla funzione h(t) (ISI)
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Interferenza Intersimbolica: criterio di Nyquist

wkT   a ( k ) h(0)   a ( n ) h(kT  nT )
n  
Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:
1,
h(kT )  
0,
per k  0
per k  0
si ha sempre
w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata
coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).
Modulazioni Numeriche
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Pagina 20
Criterio di Nyquist: forme d’onda (1/2)
Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare,
quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo
tra i valori +/- T/2.
Esempio:
w(t)
h(t)
1
1
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da
una sequenza di impulsi separati tra loro.
Modulazioni Numeriche
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Criterio di Nyquist: forme d’onda (2/2)
PROBLEMA
 Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha
trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza
(banda infinita).
 Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in
frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve
necessariamente essere limitata in frequenza
ossia nulla per f >f m .
Modulazioni Numeriche
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Criterio di Nyquist: dominio della frequenza
Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo
1
h(kT )  
0
per k  0
per k  0
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel
dominio della frequenza

m

H
f



 T
T

m 
Esempio:
H(f+1/T)
costante
H(f)
H(f)
H(f-1/T)
H(f-2/T)
T
f
-1/2T
0
+1/2T
Modulazioni Numeriche
-2/T
-1/T
0
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+1/T
+2/T
f
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Banda minima per criterio di Nyquist
Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si
deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza
interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di:
fN 
1 f s velocità di simbolo
 
2T 2
2
Banda di Nyquist
H(f)
La somma delle repliche traslate di
una H(f) di frequenza massima
minore di fN non può mai dare
luogo a una costante.
Modulazioni Numeriche
f
-1/2T
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0
+1/2T
24
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Forma d’onda di Nyquist (passa basso)
 Una particolare forma di impulso h0(t)
limitato in banda
ii. che soddisfa le condizioni di Nyquist
è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di
un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):
i.
h0(t)
T

H0  f   
0

 t 
sin   
 T
h0 (t ) 
t

T
1
per f 
2T
1
per f 
2T
H0(f)
T
t
0
T
2T
3T
4T
5T
6T
-1/2T
Modulazioni Numeriche
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0
+1/2T
f
25
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Forma d’onda di Nyquist: a banda limitata
Esempio:
Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
H0(f)
+1
T
T
0
f
t
-1/2T
0
+1/2T
r(t)
+1
t
0
-1
Modulazioni Numeriche
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Forme d’onda a coseno rialzato (1/3)
 T, per 0  f  (1  g ) f N


 T 

T
1

sin(
(
f

f
))
H( f )  
n  , per 1  g  f N  f  1  g  f N

g

 2 


f  1  g  f N
0 per
H(f)
g fattore
g = di
1 roll-off, 0 < γ < 1
g = 0.6
T
g = 0.3
g=0
0
fN
Modulazioni Numeriche
2fN
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Forme d’onda a coseno rialzato (2/3)
 All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a
1
Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più
rapidamente.
h(t)
1
γ=1
g = 0.6
γ= 0.3
g =0
-4T
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
t
4T
Minore criticità nel campionamento in ricezione.
La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)
Modulazioni Numeriche
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Forme d’onda a coseno rialzato (3/3)
Esempio:
Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,
(γ =0eγ =1)
h(t)
h(t)
g =0
+1
+1
T
0
g =1
T
0
t
r(t)
t
r(t)
+1
+1
0
-1
Valori di Baccarelli,
g Modulazioni
di interesse
operativo: 0,2 <  < 0,624/04/12
Numeriche
Cordeschi, Patriarca, Polli
0
t
t
-1
29
Pagina 29
Ricezione in presenza di ISI
Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del
segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo
(anche in
assenza di rumori di canale).
Esempio:
Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli
di h(kT), per k ≠ 0]
T
T
Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi
dai valori di
ampiezza trasmessi ≠1]
+1
-1
Baccarelli,
Modulazioni Numeriche
Cordeschi, Patriarca, Polli
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PAM multilivello
I simboli sono associati ad  ampiezze diverse (segnale
PAM multilivello ad  livelli)
conversione
di alfabeto
2-> 
sorgente
binaria
velocità di
simbolo
binario fb
velocità di
simbolo f s =
modulatore
PAM ad 
livelli
canale in
banda base
(freq. max. fm)
fs
fs
fm  =
2 2log2α
fb
log2α
Minima banda di canale per trasmissione priva di
interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).
Modulazioni Numeriche
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Vantaggi e svantaggi del M-PAM
All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM
utilizzato abbiamo che:
Aumento dell’efficienza spettrale
Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità
di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione
della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di
frequenza di simbolo binario fb.
i.
ii.
Aumento della probabilità di errore
in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a
causa della minore differenza tra valori adiacenti di
ampiezza di impulso.
Modulazioni Numeriche
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Pagina
Demodulazione PAM in presenza di rumore
Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco

w t   r t   ht    a (n ) h ( t  nT)  ht 
n  
(Segnale all’ingresso
del campionatore di ricezione)
Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza
intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha
wkT   r kT   h kT   a ( k )  h kT 
Variabile con a valori possibili
Variabile aleatoria
Gaussiana con valore atteso
2
nullo e varianza
s
h
-
2
sh  N 0


G R f  df
2
33
Criterio di decisione (1/4)
w(kT)=a(k)+h(kT)
Problema: Misurato w(kT)  w* all’ uscita del campionatore di
ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del
simbolo trasmesso sulla base di w* ?
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
Misurato w(kT)
 w*, si decide a favore della più verosimile tra le
ampiezze {a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di

quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme
di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}.
In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita
come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}
0  i  1
34
Criterio di decisione (2/4)
w(kT)=a(k)+h(kT),
 Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla,

si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita
è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori
{a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal
valore misurato w(kT) w*. 

 Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:

2
a(k)=argmin{(w*- ai) }
0  i  1
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
35
Criterio di decisione (3/4)
w(kT)=a(k)+h(kT)
 Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)=1 (caso di
modulazione PAM binario).
 Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è


equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando

w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione






+1,
a(k)=
-1,

per w(kT)  0

per w(kT)  0
(2-PAM)

 Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo
come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:

Pe P(a(k)
Modulazioni Numeriche
a(k)).

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36
Pagina 36
Criterio di decisione (4/4)
a(k)
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]= ph [h=w(kT)-1]
+1
0
p [w(kT) | a(k) = -1]=ph [h=w(kT)+1]
-1
a(k) = -1

Pe|1 
h(kT) > +1
w(kT) = a(kT)  h(kT) > 0
,
â(kT) = +1 w(k)
a(kT)
> 0“errore”
p  w | a  k   1 dw 
0

  ph h  dh  Pe|1  Pe
Densità di probabilità gaussiana
Modulazioni Numeriche

24/04/12
1
Probabilità di errore
(area tratteggiata
in figura)
37
Pagina 37
Sistemi di Modulazione Numerica
in banda traslata
38
Modulazione QAM (analogica)
Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di
ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica
di ampiezza definito dallo schema seguente:
x(t) cos(2f0t)
x(t)
cos(2f0t) (portante in fase)
sfasatore
/2
cos(2f0t + /2)
(portante in quadratura)
oscillatore
y(t)
frequenza f0
+
s(t)
segnale modulato
QAM :
s(t) = x(t) cos(2f0t) +
+ y(t) cos(2f0t + /2)
somma di due segnali
y(t) cos(2f0t + /2) che occupano la
stessa banda: f0 ±fm
2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm]
Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2)
x
2s(t)
cos(2f0t)
2cos(2f0t)
Segnale
QAM s(t)
passabasso
ideale
[- fm,fm]
x(t)
sfasatore
π/2
ricostruzione
portante f0
2cos(2πf0t+
)
passa2s(t) cos(2f0t + /2)basso
x
ideale
y(t)
[- fm,fm]
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 40
Demodulazione del segnale QAM (2/2)
Segnale all’ingresso del demodulatore:


st   xt  cos2f 0t   y t  cos 2f 0t  
2

Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)):
2


2s  t  cos  2f 0t   2 x  t  cos  2f 0t   2 y t  cos  2f 0t   cos  2f 0t  
2

1
 1
1 1


  
 2 x  t    cos  4f 0t    2 y  t   cos  4f 0t    cos    
2 2
2 2


 2 
2
 x t 
 x  t  cos  4f 0t 
Termine proporzionale al
segnale modulante x(t)
Modulazioni Numeriche


 y  t  cos  4f 0t  
2

Termini che occupano la
banda 2f0 = fm
(eliminati dal filtraggio)
24/04/12
 
 y t  cos  
2
termine nullo
Pagina 41
Modulazione QAM numerica
Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e
y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico:

xt    a x n  g t  nT 
conversione
di alfabeto
2 ->  = 2
conversione
serie/parallelo
segnali binari
fb/2
segnale binario
(velocità di simbolo
binario fb)
Modulazioni Numeriche
n  
PAM ad
 livelli
velocità di simbolo:
1 fb

T 2
conversione
di alfabeto
2 ->  = 2
42
PAM ad
 livelli
modulatore
QAM
analogico
s(t)=x(t)cos(2f0t)+
y(t)cos(2f0t+/2)
segnale modulato
QAM

y t    a y n  g t  nT 
24/04/12
n  
Pagina 42
Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6)
•Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai
due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel
piano.
•Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due
coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle  ampiezze di impulso possibili.
Risulta così individuato un insieme di  2 punti, detto costellazione di segnale
(signal set) relativa al segnale QAM.
Modulazioni Numeriche
43
24/04/12
Pagina 43
Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6)
y
Esempio 1:
 = 22 = 4 livelli, con
ampiezze di impulso +1,
+1/3, -1/3, -1.
La costellazione è costituita
da un insieme di 16 punti
disposti a forma di reticolo
regolare a maglie quadrate.
+1
modulazione
16-QAM
+1/3
-1
-1/3
0
+1/3
+1
x
-1/3
-1
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 44
Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6)
Esempio 2:
 = 21 = 2 livelli.
Esempio 3:
 = 23 = 8 livelli.
Modulazione 4-QAM
Modulazione 64-QAM
( 4-PSK, QPSK )
y
y
+
1
+
1
-1
+1
0
1
Modulazioni Numeriche
x
-1
+1
24/04/12
0
1
x
Pagina 45
Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6)
Gli 2 = 22 punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca
con le 22 parole binarie distinte formate da 2 bit.
Ogni T secondi vengono trasmessi 2 bit del segnale di ingresso.
 bit
 bit
una ampiezza di impulso
PAM ( = 2 livelli)
x(kT)
una ampiezza di impulso
PAM ( = 2 livelli)
y(kT)
un punto della costellazione
(x(kT),y(kT))
Modulazioni Numeriche
Modulazioni Numeriche
24/04/12
24/04/12
Pagina 46
Pagina 46
Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6)
Esempio 4:
codifica di costellazione:
parola
binaria
00000
00001
00010
00011
00100
00101
...
11110
11111
Modulazione32-QAM
y
ax
-1,5 d
-0,5 d
+0,5 d
+1,5 d
-2,5 d
-1,5 d
...
+0,5 d
+1,5 d
Modulazioni Numeriche
ay
+2,5 d
+2,5 d
+2,5 d
+2,5 d
+1,5 d
+1,5 d
...
-2.5 d
-2,5 d
00000 00001 00010
00011
d
00100
00101
x
d
24/04/12
11110 11111
Pagina 47
Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6)
Modulazione QAM numerica con signal set a
8 punti disposti su una circonferenza di
raggio 1, equidistanziati.
Modulazione 8PSK
Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK)
deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in
coordinate polari (r,j) sono differenziate
soltanto in base alla fase j (r = 1 = cost).
011
Una possibile codifica di costellazione è:
parola di ingresso
ax
ay
000
001
011
010
110
111
101
100
1 2
0
1 2
1
Modulazioni Numeriche
1 2
1
1 2
0
0
1
1
0
001
1
000
010
100
110
111
24/04/12
101
Pagina 48
Schema per la trasmissione di segnale numerico
in banda traslata
al demodulatore
s(t)
canale lin. e perm.
passa-banda ideale
(banda f0  fm)
CANALE DI
TRASMISSIONE
filtro di ingresso al
demodulatore
passa-banda ideale
(banda f0  fm)
+
n(t)
rumore gaussiano bianco
con spettro di densità di potenza
Wn(f) = N0 costante
segnale ricevuto:
z(t) = s(t) + h(t)
segnale modulato:
s(t) = x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2)

xt    a x n  g t  nT 
n  

rumore gaussiano filtrato
banda: [f0 ± fm]U [-f0 ± fm]
banda: [-fm,fm]
y t    a y n  g t  nT 
n  
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 49
Componenti del rumore gaussiano
Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0
Wh(f)
N0
vale la seguente decomposizione:
- (f0 + fm) - f0 - (f0 - fm)
f
0
(f0 - fm)
f0
(f0 - fm)
h(t) =hx(t) cos(2f0t) + hy(t) cos(2f0t + /2)
hx(t) e hy(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti
analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi

uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm]
(banda base);

uguale potenza sh2, uguale a sua volta alla potenza di h(t).
ll rumore gaussiano h(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui hx(t) e hy(t)
sono i segnali modulanti.
Modulazioni Numeriche
50
24/04/12
Pagina 50
Demodulazione in presenza di rumore gaussiano
Il segnale ricevuto ha l’espressione:
z(t) = s(t) + h(t) = [x(t) + hx(t)] cos(2f0t) + [y(t) + hy (t)] cos(2f0t + /2)
All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali:
dx(t) = x(t) + hx(t),
dy(t) = y(t) + hy(t)
Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha
dx(kT) = ax(k) +h x(kT), dy(kT) = ay(k) + hy(kT)
Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto
R=( dx(kT) , dy(kT))
differisce in generale dal punto trasmesso
T=(ax(k) , ay(k) )
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 51
Decisione in presenza di rumore gaussiano
Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD)
Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a
cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. -1 }.
Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto
della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R.
y
T
R
O
Modulazioni Numeriche
x
T vettore rappresentativo del punto trasmesso T
R vettore rappresentativo del punto ricevuto R
TR vettore rappresentativo del rumore
24/04/12
Pagina 52
Regioni di decisione
• L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del
signal set delle regioni di decisione associate ai punti della
costellazione.
• La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita
da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal
set.
Esempio:
Modulazione QAM
y
P
Q
Punto Q
x
Punto P
(regione illimitata)
Modulazioni Numeriche
53
24/04/12
Pagina 53
Regioni di decisione e probabilità di errore
Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato)
quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione
relativa al punto trasmesso T.
y
Esempio:
Punto trasmesso: T
Vettore rumore: TR
Punto ricevuto R
Regione a cui appartiene R:
Punto ipotizzato come trasmesso: T
(decisione errata)
T

T
x
R
La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore
potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 54
Cosa vedremo in laboratorio?
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 55
Agilent Vector Signal Analyzer
• Software per PC che consente di emulare diversi sistemi
• In linea di principio consente l’interazione con dispositivi hardware (ma
solo di certi produttori)
• Richiede schede di acquisizione o software in grado di convertire i formati
“proprietari” dei dispositivi hardware in formati “leggibili”
• Presenta dei “preset” di visualizzazione in grado di analizzare diverse
“features” dei segnali.
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 56
Schema Q-PSK
Diagramma di costellazione
Spettro dell’errore
Diagramma ad occhio
Spettro del segnale
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 57
Ricezione in presenza di un basso livello di rumore
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 58
canale dispersivo in tempo
Un canale dispersivo in tempo introduce una perdita significativa della
qualità del segnale.
Quando la risposta impulsiva è molto lunga si ha il fenomeno dell’ISI e di
fatto il numero di errori introdotti è elevato
Modulazioni Numeriche
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Pagina 59
Canale dispersivo in tempo
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 60
Tono interferente sinusoidale
Sotto l’ipotesi di canale ideale (h(k)=1), si considera cosa accade se si presenta
un segnale (dovuto ad un servizio diverso di TLC) con una portante a 2.000025
GHz (spostato di 25 KHz rispetto alla frequenza centrale 2GHz).
Si suppone inoltre che la potenza del tono interferente sia notevolmente più
elevata del segnale “utile)
Modulazioni Numeriche
24/04/12
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Tono interferente sinusoidale
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 62
Segnale di Jam modulato in frequenza
Al fine di valutare cosa accade in presenza di un segnale (volontariamente
generato) di disturbo (jam) si considera un segnale modulato in frequenza
con variazione lineare (chirp) che generi quindi problemi di corretta decisione
sul simbolo ricevuto.
Modulazioni Numeriche
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Pagina 63
Segnale di Jam modulato in frequenza
Modulazioni Numeriche
24/04/12
Pagina 64
Generazione di segnali
Per la generazione di segnali ci avvaliamo di Matlab ed esportiamo i valori (fase e
quadratura) contenuti in una matrice Mx2 in un file di testo con tabulazione
Modulazioni Numeriche
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