marginale

Per comprendere il SISTEMA GENERALE DI STIMA partiamo da una
premessa sostanziale
P  f (x1 ; x2 ;...; xn )
Una variazione nel prezzo di un immobile può essere definita come una variazione nel prezzo
delle sue caratteristiche, ovvero…
P1  P2  ( x11  x0i ) pi  ( x12  x22 ) p2 ...  ( x1n  x2n ) pi
DIFFERENZA AMMONT.CARATTER.
PREZZI MARGINALI
Da cui sostituendo il subject S a P2 si avrà:
n
Pj  S   ( x1i  xSi ) pi
i 1
n
Pj  S   ( x1i  xSi ) pi
i 1
Una differenza di prezzo è quindi spiegata in
termini di differenza di prezzi delle singole
caratteristiche ovvero del prodotto fra la
variazione delle caratteristiche per i loro prezzi
marginali
Sulla base di queste funzioni si generalizza sostanzialmente l’MCA e si procede alla definizione di un
sistema matriciale in grado di consentire la formulazione di un giudizio di valore e l’apprezzamento dei
prezzi marginali. Si noti che in questo caso non vi è termine noto. QUINDI SI RILEVANO I PREZZI DI
MERCATO CHE SONO RAPPRESENTATI DI SEGUITO CON I PREZZI P1;P2 E P3. SI IMPOSTA IL SISTEMA
DETERMINATO DA UNA PLURALITA’ DI EQUAZIONI CHE EGUAGLIANO IL PREZZO RILEVATO AL VALORE
DEL SUBJECT A CUI VA SOMMATO IL PRODOTTO FRA I PREZZI MARGINALI ED IL PRDOTTO DELLE
CARATTERISTICHE
P1 = Vs + Pm(Lungh.A-Lungh.Subject)+…+ Pm(Pres.A-Pres.Subject)
P2 = Vs + Pm(Lungh.B-Lungh.Subject) +…+ Pm(Pres.B-Pres.Subject)
P3 = Vs + Pm(Lungh.C-Lungh.Subject) +…+ Pm(Pres.C-Pres.Subject)
In termini matriciali si procederà al calcolo che segue
Vettore Colonna dei Prezzi RILEVATI
 P1
P
 2
 P3
Y




Vettore Colonna dei Termini Incogniti
=
 Vs
 PM
caratt.1

 PM caratt.2
A




Matrice delle Differenze
1 (Lungh.A-Lungh.Subject) ...(Pres.A-Pres.Subject) 
1 (Lungh.B-Lungh.Subject) ...(Pres.B-Pres.Subject) 


1 (Lungh.C-Lungh.Subject) ... (Pres.C-Pres.Subject) 






X
Ricordando che…
Y = AX
X = Y A-1
Laddove
normalmente
si risolve
A
1
1

agg ( A)
det A
In termini generali essa è calcolabile per : 1) Determinante diverso da zero
2) Matrice Quadrata o Regolare m=n
UN MATEMATICO HA SVILUPPATO UN METODO PER LA RISOLUZIONE DI MATRICI
NON REGOLARI PER m diverso da n. LA PROCEDURA NORMALMENTE ASSOCIATA
AI NOMI DI MOORE E PENROSE CONSENTE DI APPLICARE IL METODO
DELL’INVERSA ANCHE A SISTEMI SOVRA O SOTTODETERMINATI
Sistemi Sottodeterminati
Sistemi Sovradeterminati
X=YA-1
X=YA-1
X = Y AT(AAT) -1
X = Y (ATA) -1 AT
A-1
A-1
B.1 IL SISTEMA DELLE DIFFERENZE
Per comprendere il SISTEMA DELLE DIFFERENZE partiamo da una premessa
sostanziale, ovvero dalla constatazione che possa emergere la NECESSITA’ DI CONOSCERE
IL PREZZO MARGINALE DI VARIABILI AESTIMABILIS O INAESTIMABILIS senza
richiedere la conoscenza del valore di un bene immobile da stimare (subject). Infatti
“…Nel sistema delle differenze lo scopo delle analisi riguarda il la stima dei prezzi marginali e
non il valore del subject…” (Salvo,1999) Il sistema consente di quantificare la variabile
inaestimabilis attraverso la definizione delle differenze fra un ammontare medio delle
caratteristiche considerate e quello di ogni componente del campione e la quantificazione dei
prezzi medi di ogni singola caratteristica. Si parte dalla relazione:
Pj  P  ( x1,a  x)  p1  ( x2,a  x)  p2  ...  ( xn,a  x)  pn
Giova sottolineare che per prezzo medio si può intendere anche la media aritmetica dei tre prezzi rilevati e
per caratteristiche medie si può intendere la media delle caratteristiche del campione rilevato. Si potrà quindi
impostare la seguente relazione, che nel caso specifico, è finalizzato alla determinazione del prezzo
marginale di una serie di superfici:

  Sup
  Sup




P1  P  Pma1,a  Sup1,a  Sup1  Pma1,b  Sup1,b  Sup1  ...  Pma1,n  Sup1,n  Sup1
P2  P  Pma2,a
P3  P  Pma3,a
2, a
3, a


 Sup   Pma   Sup


 Sup   ...  Pma   Sup

 Sup2  Pma2,b  Sup2,b  Sup2  ...  Pma2,n  Sup2,n  Sup2
3
3,b
3,b
3
3, n
3, n
 Sup3


Vettore
Termini Noti
Vettore
Incognite
Matrice caratteristiche (superfici)



  Sup
  Sup
  Sup
 Sup  Sup
Pma


a
1
1, a
 P1  P 





Pmab  

 P2  P  
 Sup2,a  Sup2


...





P

P
  Pma   Sup  Sup
 3
3
3, a
n


Y
X
1,b
2,b
3,b




 
 Sup 

 Sup2
3




... Sup2, n  Sup2 

... Sup3,n  Sup3 

 Sup1 ... Sup1,n  Sup1
A
Si utilizzerà anche in questo caso la Moore Penrose per la risoluzione del problema e la determinazione
dei prezzi marginali delle caratteristiche prese in considerazione
Y  XA  X  YA
1
Questo sistema di applica in quei casi in cui è necessario stimare il prezzo marginale di alcune
caratteristiche. Sembra evidente come questo sistema possa identificarsi con un
PROCEDIMENTO DI REGRESSIONE CON L’INTERCETTA generando come output del sistema
uno o più prezzi marginali.
B.2 IL SISTEMA DI RIPARTIZIONE
Per comprendere il SISTEMA DI RIPARTIZIONE partiamo da una premessa
sostanziale, ovvero dalla constatazione che in termini generali il prezzo di un immobile che
presenta una pluralità di caratteristiche ( consideriamo ad esempio una pluralità di superfici)
possa essere determinato attraverso la seguente relazione:
PJ  p1Sup1  p2 Sup2  ...  pn Supn
Quindi se si volesse ripartire un prezzo totale a corpo di un insieme di superfici per ottenerne dei prezzi
medi di riferimento. Utilizzato per un numero elevato di dati con un prezzo reale di mercato. Siamo in
presenza di un numero considerevole di superfici e dati quantitativi. Si partirà dal sistema di equazioni
P1  Pme1,a  Sup1,a  Pme1,b  Sup1,b  ...  Pme1,n  Sup1,n
P2  Pme2,a  Sup2,a  Pme2,b  Sup2,b  ...  Pme2,n  Sup2,n
P3  Pme3,a  Sup3,a  Pme3,b  Sup3,b  ...  Pme3,n  Sup3,n
Laddove P1; P2;P3 rappresentano i prezzi rilevati direttamente sul mercato mentre i Pm sono i prezzi medi e
le superfici sono quelle relative alle varie tipologie di superfici considerate per ogni tipo di immobile. In
questo caso l’incognita è proprio il prezzo medio delle varie superfici
C. I SISTEMI MISTI
Supponiamo che dopo aver stimato i prezzi marginali esistano delle variabili per cui esiste una misura fisica
ma non esista la maniera di quantificarne il valore. Tuttavia sappiamo che esistono anche perché
evidenziano una disfunzione nel processo di aggiustamento dei prezzi marginali. E necessitiamo
di quantificarle unitamente al valore del subject. QUINDI POSSIAMO MODIFICARE LA RELAZIONE DEL
SISTEMA GENERALE DI STIMA PROCEDENDO A SCRIVERE
m
n
i 1
i 1
Pj   ( x1i  x0i ) pi  S   ( x1i  x0i ) pi
Il primo termine coincide con l’ultima riga della tabella del MCA, mentre il secondo termine evidenzia la somma fra il subject
ed il prezzo marginale delle variabili inaestimabilis per il relativo prezzo marginale.Quindi l’MCA si integra con le relazioni che
seguono riferite soltanto alle caratteristiche che si suppongono ancora incluse nei prezzi aggiustati:
Padj1 = Vs + PmFRONTE (Lungh.A-Lungh.Subject)+ PmZONA (Pres.A-Pres.Subject)
Padj2 = Vs + PmFRONTE (Lungh.B-Lungh.Subject) + PmZONA (Pres.B-Pres.Subject)
Padj3 = Vs + PmFRONTE (Lungh.C-Lungh.Subject) + PmZONA (Pres.C-Pres.Subject)
Vettore Colonna dei
Prezzi Aggiustati
IN TERMINI
MATRICIALI
 Padj1
 Padj2

 Padj3
Y




=
Vettore Colonna dei
Termini Incogniti
 Vs
 PM
FRONTE

 PM ZONA
A




Matrice delle Differenze
1 (Lungh.A-Lungh.Subject) (Pres.A-Pres.Subject) 
1 (Lungh.B-Lungh.Subject) (Pres.B-Pres.Subject) 


1 (Lungh.C-Lungh.Subject) (Pres.C-Pres.Subject) 






X
Ricordando che…
Y = AX
X = Y A-1
Laddove
normalmente
si risolve
A
1
1

agg ( A)
det A
In termini generali essa è calcolabile per : 1) Determinante diverso da zero
2) Matrice Quadrata o Regolare m=n
UN MATEMATICO HA SVILUPPATO UN METODO PER LA RISOLUZIONE DI MATRICI
NON REGOLARI PER m diverso da n. LA PROCEDURA NORMALMENTE ASSOCIATA
AI NOMI DI MOORE E PENROSE CONSENTE DI APPLICARE IL METODO
DELL’INVERSA ANCHE A SISTEMI SOVRA O SOTTODETERMINATI
Sistemi Sottodeterminati
Sistemi Sovradeterminati
X=YA-1
X=YA-1
X = Y AT(AAT) -1
X = Y (ATA) -1 AT
A-1
A-1
D. ANALISI DI REGRESSIONE
DEDUZIONE
Come si comporterà un campione?
Sarà Rappresentativo?
particolare
generale
INDUZIONE
particolare
PROBABILITA’
Con quale precisione
INFERENZA
generale
L’Analisi di Regressione ha come campo applicativo la mass appraisal ovvero la stima di una
funzione matematica che sia rappresentativa della relazione fra il valore di un bene immobile e
le sue caratteristiche . La funzione viene verificata e testata sul campione di osservazioni
disponibili o insieme di transazioni che rappresentano nel caso specifico le osservazioni del
modello. Una analisi di regressione consente di sviluppare una funzione che abbia generale
validità in un determinato momento storico per un determinato contesto.
La raccolta dei dati può avvenire secondo differenti modalità e si basa su
una serie di premesse.
Con l’Analisi Statistica si cerca un
modello interpretativo e descrittivo
della realtà del mercato immobiliare
MODALITA’ DI RILEVAZIONE
DEI DATI
IPOTESI SUL MODELLO
1)
Le xj non sono combinazione lineare di variabili
2)
La matrice non deve essere singolare
3)
Il n. di osservazioni N > numero di parametri n o p
4)
Relazione Lineare fra xj e yj
IPOTESI SULL’ERRORE
1)
Valore atteso di e = 0
2) Varianza dell’errore costante (OMOSCHEDASTICITA’)
3) Distribuzione dell’errore normale
4) Indipendenza degli errori medi
Le osservazioni nel caso immobiliare possono essere
rilevate o con riferimento a cross section (DATI
RIFERITI AD AMBITI GEOGRAFICI OMOGENEI) o con
riferimento a time series ( DATI RIFERITI AD UNA
SERIE TEMPORALE) o entrambe
IPOTESI
Specificazione del Modello
1.
Nessuna Variabile Significativa è stata trascurata
2.
Nessuna Variabile non Significativa è stata inclusa
3.
Relazione fra Y ed X lineare (nei mod.lin.)
APPROFONDENDO LE
IPOTESI ALLA BASE
DEI
MODELLI
DI
REGRESSIONE
Omoschedasticità
Misurazione
1.
Le variabili sono state accuratamente misurate
Errore
1. Il valore atteso dell’errore è pari a zero
2. La varianza del termine di errore è costante ipotesi di
OMOSCHEDASTICITA’
3.Assenza di Autocorrelazione fra gli errori
4.Normalità
5. La variabile indipendente è non correlata con il termine
di errore
Eteroschedasticità
INPUT
MODELLO
OUTPUT
Nella definizione di un modello esistono delle variabili di input e che in funzione del modello elaborato vengono trasformate
in output. Produciamo modelli continuamente. Ad esempio distribuiamo il tempo in funzione degli impegni della nostra
giornata e, conseguentemente, verifichiamo se a fine giornata siamo stati in condizione di fare tutto o meno.
EQUAZIONI STRUTTURALI
Relazioni di Identità
-
In questo tipo di relazioni il rapporto è simmetrico. Il rapporto fra le variabili è sia da sinistra verso destra che da
destra. verso sinistra. L’eguaglianza fra il costo totale e la somma dei costi fissi e quelli variabili nel breve periodo è una relazione di identità. Si potrà
dire che il costo totale è la somma delle due tipologie di costo ma anche il contrario. È necessario prestare attenzione a non confondere le equazioni
definitorie con altre condizioni; ad esempio la relazione del modello (2.3.1) indica un’identità "ex post" e non è un’equazione definitoria “ex ante”.
Funzioni di Reazione -
Un’equazione che rappresenta il modo di reagire di un’autorità di governo a specifiche variazioni di aggregati
economici è detta funzione di reazione. Tale modo di reagire può riguardare, ad esempio, il cambio, la moneta offerta, il tasso di sconto, l’imposizione
fiscale.
Equazione di Comportamento – In questo tipo la relazione è asimmetrica e c’e’ una relazione che opera da destra verso sinistra . Si
immagini che si vuole stimare il costo variabile secondo una funzione lineare non passante per il centro. In tal caso è la forma dell’equazione che
determina il valore del costo variabile
Equazioni Istituzionali -
Un’equazione istituzionale è una relazione nella quale sono incorporati gli effetti di vincoli istituzionali (leggi,
norme d’attuazione, decreti, ecc.) in vigore.
Equazioni Tecniche -
Una tale equazione non è di comportamento: si riferisce invece alla tecnologia in uso nella produzione,in quanto
collega due risorse (lavoro e capitale) ad un prodotto, e rappresenta, pertanto, una equazione tecnica. Un caso particolare della (2.4.4) è offerto dalla
b a × × g = k l x a + b = 1 (2.4.5) che rappresenta il ben noto tipo di funzione di Cobb e Douglas.
Equazioni Definitorie -
Si chiamano, infine, equazioni definitorie quelle che servono semplicemente a definire una variabile per mezzo di
altre; è tale ad esempio la (2.1.3) che indica il reddito disponibile come differenza tra il reddito e le imposte. In realtà, queste relazioni definitorie sono
identità "ex ante" che semplicemente esprimono concetti veri per definizione.
La dimensione temporale può essere definita come periodo di osservazione e la struttura economica è costituita
dall’insieme di relazioni che rimane costante nel predetto periodo di osservazione
Nella stima dell’approssimazione della curva potremmo prendere in considerazione la
differenza fra i punti teorici ed le osservazioni ma
n
 (x
i 1
i
_
 x)
Nel valore assoluto non si considerano i punti intermedi
n
_
2
(
x

x
)
 i
i 1
La soluzione sta nel considerare i quadrati delle distanze e imporre che
essi siano minimi: CRITERIO DEI MINIMI QUADRATI
Come stimiamo i coefficienti della funzione che interpola i punti empirici?…
m
y j

j
1
 yˆj

2
Condizione di primo ordine: Si
impone quindi che la derivata
prima nelle variabili b0 e b1 : ciò
equivale a studiare il seguente
sistema:
 min
yˆj  b0  b1  x j
m
 y
j 1
j
 b0  b1  x j

2
Eq. fondam.
 min
 

y



I residui per le i osservazioni rappresentano la differenza tra i valori
osservati yi e quelli calcolati dal modello y^ per cui si ha:
N
 e 2i 
i 1
N
(y i

i
1
 b0  b1 x 1 )2  min
b0n  b1  i 1 x i 
N
Con il metodo di sostituzione si ottengono i
parametri b0 e b1 .
i
N
y
1 i
b0  i 1 x i  b1  i 1 x 2i 
N
x
Il CRITERIO dei MINIMI QUADRATI secondo
il Teorema Gauss Markov è BLUE
Differenziando rispetto ai due parametri ed imponendo l’uguaglianza a 0
N
S
 2 (y i  b0  b1 x i )  0
b0
i 1
N
S
 2 x i (y i  b0  b1 x i )  0
b1
i 1

Questi parametri, ottenuti imponendo che la
somma degli scostamenti dalla retta di
regressione sia minima, posizionano sul piano
la retta interpolante
Essi devono essere minimizzati e pertanto si procederà a imporre min(Sei2) da cui
S 

DA CUI
x
y j  yˆj  e j  min

 
N
Equazioni
Normali
i
N
1
xiyi
Dalle equazioni normali si ottiene un sistema a due incognite pari ai parametri della retta di regressione,
ovvero:
b1 rappresenta il coefficiente angolare della retta ovvero di quanto varia la variabile y al variare della variabile x
N
 x i
N
 x i y i   i 1
b1 
N

i 1

yi 
N
i 1
N
N
x

i
1
2
i

x

i
y
N

2
1
i
(x i

i
1
 x )(y i  y )
N
(x i

i
 x )2
1
N
1
x
b0 rappresenta l’intercetta della retta, ovvero il valore che assume l’espressione quando x assume un valore pari a 0
Partendo dalle equazioni normali e risolvendo la prima in funzione di b0 si avrà:
b0n  b1  i 1 x i   i 1 y i
N
i
N
N
b0  i 1 x i  b1  i 1 x 2i   i 1 x i y i
N
N
y  y  b1 (x i  x )
N
xi
1
b0  b1

n
b0  b1 x  y
Il che dimostra che se
i
N
1
n
yi
;
Ora ricavando b0 e
sostituendolo nella
eq. fondamentale si
ha
xi  x  yi  y
Y=Valore
Ovvero il punto
( x ; y ) appartiene alla retta di regressione
Questo punto si chiama anche centro medio
X=Caratteristiche
0.CONGRUITA’ DEL SEGNO
Verifica del significato economico e statistico dei segni sviluppati dall’analisi con riferimento ai prezzi
marginali
1. TEST SULL’ACCOSTAMENTO FRA I DATI TEORICI E QUELLI EMPIRICI
1.A - R2 = INDICE DI DETERMINAZIONE
Misurare la bontà dell’accostamento
della retta di regressione ai punti
osservati ( distanza fra i punti teorici e
quelli empirici)
Devianza
totale
m

y
j 1
Devianza spiegata
dalla regressione
 yj  y  
2
 yˆ j  y   
n
R2 
Dev.Spiegata

Dev.Totale
(y
(y
i
n
 yi )   ( yi  yi* ) 2
i 1
  yˆ
j
 y
x
 y
j
 y
j 1
m
j 1
2
 yi ) 2
2
m
R2 
i
i 1
n
i 1
x
 y j  yˆ j 
2

y
Devianza residua
2
2
IN TERMINI GRAFICI SI AVRA’…
y

y

 




 


 


y


x
R 0
2
 







 
R2  1

x
x
x
Tuttavia l’indice di determinazione è sensibile al numero delle osservazioni ed i suoi valori crescono al
crescere del numero delle osservazioni, formulando un giudizio di affidabilità su campioni numerosi
indipendentemente dalla loro
 validità. ( Simonotti,1997) Per questo motivo si è cercato di formulare un
altro indice di determinazione “adjusted” o aggiustato o corretto.
1.B - R2 = INDICE DI DETERMINAZIONE
CORRETTO O ADJUSTED
m-osservazioni
n-variabili-g.d.l.
R 2c  R 2 
n  1  R 2 
m   n  1
>90%
2.TEST DI FISHER SIGNIFICATIVITA’ DEL MODELLO
Ripetendo un numero n di volte l’esperimento la variabile dipendente può assumere valori differenti determinando una
popolazione di possibili rette che interpolano i valori empirici. Il che pone il problema di determinare i parametri
dell’intercetta che riesca ad interpolare i dati empirici in maniera più efficiente
IPOTESI STATISTICA
H 0 : b1  b2  ...  bn  0
H1 : b1  b2  ...  bn  0
Y
x
Sorge la necessità di definire con maggiore precisione i parametri che consentono l’ individuazione retta
3. TEST SIGNIFICATIVITA’ DEI PARAMETRI
La significatività statistica dei
coefficienti è un problema che
esula dai problemi di stima
rientrando
nella
cosiddetta
prova delle ipotesi; tuttavia alcune
misure di variabilità aiutano ad
interpretare i risultati del modello ed
a
saggiarne
la
significatività
complessiva.
m
S
2
b0
 SE 
x
2
j
j 1
m
2
m   xj  x 
2
tb0 
b0
Sb0
j 1
S
2
b1
 SE 
1
2
 x
m
j 1
j
 x
2
b1 m
tb1  2    x j  x 
SE j 1
Le misure sono applicabili anche ai parametri per vedere la loro variabilità
Essa mira a verificare l’ipotesi che non parta dall’origine la raffigurazione teorica- tb0
Essa mira a verificare quanto la variabile x ed il suo coefficiente ha significato statistica nello spiegare y. Aumentando la
variabilità della x legata al suo campo di variazione , aumenta l’ammontare di tb1
FACENDO RIFERIMENTO A VARIABILI T DI STUDENT
tb1  2
tb0  2
La prova delle ipotesi di significatività si chiede che entrambi i test siano
superiori a 2 perché per m non troppo piccolo la distribuzione teorica t al
livello di confidenza del 95% è all’incirca 2
2
4. VERIFICA DELLO SCOSTAMENTO FRA VALORI TEORICI E VALORI EMPIRICI
Errore Percentuale
È lo strumento di verifica estimativa del modello di regressione: mette in
rapporto l’errore standard con la media della variabile dipendente:
e
SE 2
y
>5%
Errore Standard SE2
  y j  yˆ j 
m
SE 2 
2
j 1
m2
E’ il rapporto fra la devianza residua ed i gradi di libertà numero delle osservazioni diminuito del numero delle
inferenze
Scostamento Medio Quadratico
  y j  yˆ j 
m
SE 
2
j 1
m2
E’ il quadrato del rapporto fra la devianza residua ed i gradi di libertà numero delle osservazioni diminuito del
numero delle inferenze