PROCESSI_EMISSION_GALARDO

Processi e Fenomeni
di Radio Galassie
Astronomia Extragalattica
Anno accademica 2007-2008
Galardo Vincenzo
Si osservano tre processi principali in una
radiogalassia:
•Bremsstrahlung
•Sincrotrone
•Compton Inverso
Bremsstrahlung
La bremsstrahlung (dal tedesco ``radiazione di frenamento''), o emissione
free-free, é prodotta dalla accelerazione di una particella carica nel campo
coulombiano di uno ione.
Il bremsstrahlung dovuto alla collisione di particelle identiche è nullo, poiché il
momento di dipolo (Σeiri) è proporzionale al centro di massa (Σmiri) che è una
costante del moto.
Nel bremsstrahlung elettrone-ione, gli
elettroni sono le particelle che
irraggiano, questo perché
l’accelerazione è inversamente
proporzionale alla massa.
Consideriamo nella radiazione di
bremsstrahlung l’elettrone che si
muove nel campo elettrico generato
dallo ione che rimane fermo.
Emissione da un singolo elettrone in movimento
Si assume che l’elettrone si muova abbastanza rapidamente così che le
deviazioni del suo percorso da una retta siano trascurabili (straight-line
approximation).
Tale approssimazione non è necessaria, ma semplifica di molto i conti e porta a
dei risultati corretti.
Considerando un e che si muove contro uno ione Ze con un parametro di
impatto b. Il momento di dipolo è d=-eR e la sua derivata seconda è:
  ev
d
Trasformando con Fourier l’equazione precedente, otteniamo:
e
2
  d ( )  
2

iωt

v
e
 dt

Definiamo, inoltre, il tempo di collisione come il tempo di interazione fra ione ed
e- :
b

v
Considerando i due andamenti ad alte e basse frequenze possiamo vedere:
• <<1 l’esponeziale è unitario
• >>1 l’esponenziale oscilla rapidamente e quindi l’integrale è piccolo
Possiamo quindi scrivere:
 e

Δv,
d ( )   2 2

0,
  1
  1
2
2
Ze
Dove Dv è il cambiamento della velocità durante la collisione e risulta essere
mbv
Ricordando che lo spettro di potenza di un dipolo
 è dato da:

2
4 e
iωt
dW
8

2

d ( ) 3 d ( ) ve dt
d
3c 2  

Otteniamo che lo spettro di potenza è:
 8Z 2 e 6
dW (b)  3 2 2 2 ,
  3c m v b
d
0,

b  v

b  v

Adesso vorremmo determinare lo spettro totale per un mezzo con densità
ionica ni, densità di e- ne e una velocità fissata v degli elettroni. L’emissione
totale per unità di tempo, volume, frequenze è quindi dato da:
 dW b 
dW
 ne vni 2 
bdb
b min
ddVdt
d
I limiti asintotici definiti per dW(b)/d non sono sufficienti a valutare l’integrale.
In realtà è possibili troncareRappresenta
l’integrale adilun valore
massimo del parametro di
Rappresenta
flusso
incidente
su
impatto b usando solo l’approssimazione a basse
frequenze.
l’elemento
di area
uno ione
di un singolo ione
Otteniamo che l’integrale valutato è:
dW
16Z 2 e6 neni  bmax
 I   
ln
3 2
dtdVd
3c me v
 bmin



Per calcolare l’integrale è stato considerato b<<n/ che rappresenta una
ottima approssimazione per un regime classico.
• ne ni sono le densità degli elettroni e degli ioni presenti nel volume dV
• bmax e bmin sono i valori del parametro d’urto tra cui abbiamo integrato e
vanno discussi.
bmax è un certo valore del parametro d’urto sopra il quale l’approssimazione
fatta è inapplicabile e l’integrale è trascurabile. Il valore di bmax non è conosciuto
esattamente ma è dell’ordine di v/. Poiché il valore di bmax compare in un
logaritmo, il suo valore esatto non è molto importante, quindi si è scelto di usare
semplicemente il valore v/.
Il valore di bmin può essere ricavato in due modi differenti:
Per prima cosa possiamo ricavare il valore a cui l’approssimazione di
“straight-line” non è più applicabile. Quando questo accade abbiamo che
Dv~v, possiamo quindi scrivere:
2
4
Ze
(1)
Quando bmin(1)>>bmin(2) è possibile
una descrizione classica del sistema e si
b

min
2
utilizza bmin=bmin(1). Questo si ha quando
quando
l’energia cinetica è minore

m
v
dell’energia dello ione:
4 possibilità di
Il secondo metodo
quantistica; si concentrame
sulla
1 è di origine
2
2
me v e  inZ termini
Ry di orbite
doveclassiche,
Ry  come
trattare i processi collisionali
abbiamo fatto
2
2
2
fino a ora. Quindi:
Dx  bil principio di esclusine
Quando abbiamo il caso inverso,
( 2 ) gioca un importante
ruolo, poiché non è possibile usare le orbite classiche.
In questo caso l’ordine
min
(2)
corretto è dato impostandoDbp
=bmin
mv.
min
DxDp  
b
h

2 mv
Per comodità si è introdotta un fattore di correzione che tiene presente di volta
in volta il regime di lavoro. Tale fattore è chiamato fattore di Gaunt gff(n,):
 bmax 

g ff ( v,   
ln
  bmin 
3
Questo è una certa funzione dell’energia degli elettroni e della frequenza di
emissione.
Si ottiene in questo modo un’espressione per l’emissione totale in unità di
tempo, frequenza e volume:
dW
16e
2

n
n
Z
g
(
v
,

)
e
i
ff
3 2
dtdVdv 3 3c me v
6
Bremsstrahlung per una distribuzione Maxwelliana
Il più interessante impiego di queste relazione riguarda la loro applicazione al
bremsstrahlung termico. In questo caso partendo dalla relazione
dW
16Z 2 e6 neni  bmax
 I   
ln
3 2
dtdVd
3 3c me v  bmin



Valida per una singola velocità, utilizziamo una distribuzione di velocità termica
e calcoliamo la media dell’emissività di bremsstrahlung con tale distribuzione:
Questo integrale molto
dW (T ,  )
complicato viene
 vff 

semplificato ad alte edVdtd
basse

frequenze.


v min
 mv 2 
dW ( v,  ) 2
v exp 
dv
dVdtd
 2kbT 


0
2


m
v
v 2 exp 
dv
 2kbT 
La vmin è la velocità minima sotto la quale non è possibile la creazione di un
fotone di energia hn ( hn  12 mv ). Quindi rappresenta un limite inferiore delle
velocità su cui integrare per avere l’emissività di bremsstrahlung termico.
ff
Analizzando l’espressione di  v otteniamo:
2

ff
v
dW (T ,  )

 6.8 1038 Z 2 ne niT e
dVdtd

1  hv
kbT
2
g ff
Studio dell’assorbimento e riemissione
Il principio di bilancio dettagliato tra emissione e assorbimento si ricava
dall’equazione del trasporto radiativo:
dIn
 n In  Sn
dx
Dove n è il coefficiente di assorbimento, Knn/ è l’opacità e Snn/4 è
l’emissività. Un sistema in equilibrio termodinamico, richiede che tale derivata
sia nulla. Impostando che In segua una distribuzione di Planck (per la legge di
Kirchoff) e n sia l’emissione per bremsstrahlung, quindi che:
con i limiti ad alte frequenze hn38 KT
2
1  hv

k bT
2
n  6.8 10 2 2Z Znecn 1iT
e g ff
hn

NNe
2



 Z c   T  NNeg n , T 
Quindi  n   2hn 3 4 (21h)  n3 T g ff n , T 1 Sen KT 
( 2h)  n 
 E nbasse
n 

IIn frequenze
BSn4 0
2 2
n
n
n
3
hn
h2n  KT
c
1
2
ff
2 1
eZ c
 NNe

n  
g ff n , T 
3
 4 (2k )  n 2T 2
KT 2
In
Integrando l’equazione del trasporto, nell’ipotesi che non esista contributo nella
radiazione di fondo, In(0)=0, si ricava:
n
n
 kn x



In ( x) 
1 e

1  e n x 
4kn
4kn
n  n x  1
n  n x  1
che per
hn  kT
L’intensità trasmessa da una regione
compatta di idrogeno ionizzato (HII)
alle basse frequenze, cui corrisponde
una profondità ottica:
   n dx   N T
2
e
3
n dx
2
2
n
 In 
x
4
3
2nh2n
kT

 Inn 

cc 22
1
e
hn
kT
1
Sincrotrone
Particelle accelerate da un campo magnetico B irraggiano. Partiamo con il
ricavarci la dinamica di una particella di massa m e carica q che si muove in un
campo magnetico.
Scomponendo la velocità lungo il
campo e perpendicolarmente ad
esso,dotteniamo q
(mv) 
vB
dt
c
dv||d
2
(

m
c
)  qv  E

0
dt dt
dv 
q
Dall’ultima relazione,
poiché
ilB
campo

v


elettrico E è nullo, ricaviamo che  è
dt Quindimc
costante.
per la prima possiamo dire
che:
Dall’ultima relazione segue che v|| rimane costante, e poiché anche il modulo di
v si mantiene costante,
dv q deve valere anche che v sia costante. La soluzione a
tale equazione
uniforme lungo il piano perpendicolare alla
mè il moto
 vcircolare
B
dt B.c La combinazione di questo moto con il moto uniforme è
direzione del campo
un moto ad elica della particella.
Nel sistema solidale con la particella, abbiamo che la potenza
emessa è:
2q 2 2
P'  3 a'
3c
Poiché la potenza totale emessa è un’invariante
di Lorentz per qualsiasi sorgente che emette con
una simmetria centrale in un sistema a riposo,
riportiamo la potenza al nostro sistema di
riferimento
2
2

2q
2q
2
2
P'  3 a'a'  3 a'||  a'
3c
3c
a '||   3a||
a '   a
2
2


2q 4 2 2
2
P  3   a ||  a 
3c

L’accelerazione è perpendicolare alla velocità, con magnitudine
quindi la potenza totale emessa è:
2
2
2
2
a   B v 
2
2
2q 4 q B
2q 4 q B 2
2
P  3  2 2 2 v  3  2 2 
3c
 mc
3c
 m
Considerando le seguenti uguaglianze:
2
q
r0 
2
mc


2
2

sin  d 

4
3
2
2

B2
UB 
8
8
 T  r02
3
2
Possiamo scrivere la potenza totale come:
4
2 2
P   T c  U B
3
Spettro di potenza della radiazione di sincrotrone
Lo spettro di potenza in frequenza è proporzionale alla trasformata di Fourier
del campo elettrico, secondo la relazione:
dW
2
 c E ( )
dAd

La trasformata di Fourier sarà
it
E    G( c t )e dt


E    c  G( )e
i


c

d
Integrando questa quantità, su tutto l’angolo solido e dividendo per il periodo
orbitale, entrambi indipendenti dalla frequenza, otteniamo uno spettro per unità
di area e frequenza.
 
dW
1 dW
T
 P( )  C1F  
dtd
d
 c 
I coefficienti di proporzionalità non sono ancora stabiliti. Questo verrà ricavato
per confronto con la relazione della potenza ricavata in precedenza.


0
0
P   P( )d  C1 


F  d  cC1  F ( x)dx
0
 c 
Lo spettro di potenza della radiazione di sincrotrone è fortemente piccato intorno
alla direzione di movimento, ovvero all’interno di un cono con un angolo molto
piccolo dell’ordine di 1/1. Inoltre a parità di accelerazione, la potenza risulta
maggiore di un fattore 2, se l’accelerazione è trasversa.
L’osservatore vedrà la pulsazione fra il punto 1 e 2
lungo il percorso della particella, dove il cono di
emissione, che ha angolo ~1/, include la linea di
vista. La distanza 1  2 può essere ricavata da:
a
D1  2
D
D 
2
 D1  2 

2a

Dv q
q
Dv qvB
m
 v  B  vB sin  

sin 
Dt c
c
Dt mc
Dv  vΔ ,
D1  2  vDt
Dv qvB

sin 
Dt mc

v 2 D  qB 
 v sin 
 
D1  2  mc 
v 2 D  qB 
v sin 
 
D1  2  mc 
D1  2
v
a
D
 B sin 
2a
D1  2 

Vogliamo ricavarci il tempo tra i due intervalli successivi in cui passa il cono di
luce
D1  2
Dt 
v

2
Dt 
B sin 
Per effetto relativistico dobbiamo riportare al nostro sistema, quindi:
Dt '  1   Dt

1
Dt '  3
  B sin 
1
1   2
2
  1
Ora possiamo ricavare la frequenza di taglio c. Lo spettro di potenza si
estende per qualche c prima di decadere rapidamente.
c 
1
Dt '
3
2
 c   3 B sin 
Ora possiamo derivare lo spettro in frequenza utilizzando l’informazione che
per i segnali impulsati, il campo elettrico è funzione di q, dove q è l’angolo
polare che si forma con la direzione del moto
Riscrivendo la relazione della potenza ricavata in precedenza e l’equazione
della frequenza di taglio
2q 4 B 2 2  2 sin 2 
Ptot 
3m 2c 3
3 2 qB sin 
c 
2mc

Ptot  cC1  F ( x)dx
0
Possiamo ricavare per confronto la costante C1, sotto l’ipotesi che ~1,
ottenendo in questo modo lo spettro di potenza in frequenza della radiazione di
sincrotrone
3 q 3 B sin    
P  
F  
2
2
mc
c 
La scelta del 23 è inserita per avere una corretta normalizzazione della
funzione F, che esprime il profilo della radiazione. La forma di F è espressa per
basse e alte frequenza:

F 
c

4  x  3
 
  ,
1  2

3 
3
1

 1
c

F 
c
    2  x 12
    e x ,
 2

 1
c
1
Polarizzazione della radiazione di Sincrotrone
Possiamo, inoltre, analizzare la polarizzazione della radiazione di sincrotrone. Il
primo punto da notare è che la radiazione di una singola carica è ellittica, e il
senso della polarizzazione è determinato dalla posizione della linea di vista
dell’osservatore: all’interno o all’esterno del cono della massima radiazione. La
polarizzazione dovuta ad una distribuzione di particelle è parzialmente lineare;
questo perché il cono di emissione contribuisce da entrambe le parti della linea
di vista.
Possiamo, quindi, caratterizzare la radiazione dalla sua potenza per unità di
frequenza in direzione parallela e perpendicolare alla proiezione del campo
magnetico sul piano del cielo.
Il grado di polarizzazione è definito come:
   
P    P||  
P    P||  
Radiazione di elettroni con distribuzione di potenza
La relazione P() dipende da  solo tramite c. Si può ricavare da questo
risultato che lo spettro di potenza è ben approssimabile da una legge di
potenza.
I limiti x1 e x2 corrispondo ai limiti di 1 e 2 che dipendono da . In realtà se i
limiti delle energie sono sufficientemente ampi, si può approssimare x1=0 e
x2=, in questo modo l’integrale è approssimativamente costante e possiamo
dire:
Ptot    
 p 1
2
Quindi l’indice spettrale s è collegato all’indice della distribuzione p dalla:
s
p 1
2
Effetto Compton
Per fotoni di bassa energia hn<<mc2, lo scattering della radiazione da particelle
cariche libere si riduce al caso classico dello scattering di Thomson; al contrario
quando il fotone possiede un certo momento hn/c si presentano effetti quantici
e relativistici. Studiando i tetra-momenti all’inizio e alla fine dell’interazione e
applicando le conservazioni dell’energia e del momento, si ottiene:
1 


1  cos  
mc 2
1    C 1  cos  
1

h
C 
 0.02426 A
mc
Possiamo vedere che per c (quindi hn<<mc2), lo scattering è elastico.
Quando questa condizione è soddisfatta, possiamo assumere che non c’è
variazione nell’energia del fotone nel sistema a riposo dell’elettrone.
Compton Inverso
L’effetto Compton inverso permette agli elettroni ultrarelativistici di cedere
energia ai fotoni portandoli a più alta frequenza.
Studiando l’interazione fotone-elettrone nel sistema di riferimento dell’elettrone
a riposo (che risulta perciò una semplice diffusione Thomson finché ħn=mec2),
e rasformando al sistema di laboratorio dove l’elettrone ha fattore di Lorentz ,
si ottiene l’energia "irraggiata per Compton inverso“.
Basandosi sempre sulle leggi di conservazione, si ottiene:
 '   1   cos 
1   '1  1   cos '1 
'


 '1   ' 1  2 1  cos 
 mc

cos   cos1 ' cos' sin ' sin 1 '
Potenza del compton inverso per scattering singolo
Adesso si ricava una relazione generica per una distribuzione isotropica di
fotoni che collide con una distribuzione isotropica di elettroni. La potenza totale
emessa è:
dE '1
 c T  n( p )d 3 p  c T   '1 v' d '
dt '
Assumiamo:
•La perdita di energia dei fotoni nel sistema a riposo è trascurabile rispetto a
quella del sistema non inerziale. In questo caso possiamo dire: ’1=’
•La potenza emessa è un’invariante del campo
dE1
dE '1

dt
dt '
•La densità di fotoni è invariante
Quindi possiamo scrivere:
vdv’d’
dE 1' dE1
2 v ' d '
2 vd

 c T   '
 c T   '
dt ' dt
'

dE1
 c T  2  (1   cos ) 2 vd
dt
Possiamo definire:
•Una distribuzione isotropica di fotoni, :
•La densità di campo dei fotoni:
Quindi la potenza totale è:
U ph    vd
1   cos 
2
1
1 
3
2
dE
1 2
4
2
 c T  1   U ph  c T  2  2U ph
dt
3
 3 
Lo spettro della radiazione emergente dall’interazione di un elettrone di energia
mc2 con un fascio di fotoni monocromatici di frequenza n0 è calcolato
operando una trasformata di Fourier, come già fatto in precedenza.
I (n )dn 
3 T c N (n 0 )
ndn
4
2
16 n 0
con un upper cut-off alla frequenza
corrispondente ad un urto in cui il fotone
viene riflesso indietro lungo la stessa
direzione di arrivo nmax ≈ 42n0
Invece la frequenza media risultante n del
fotone diffuso a partire da un fotone incidente
n0
4
n   2n 0
3
Radio Galassie
Un esempio di queste emissioni studiate fin’ora sono le radiogalassie:
Centaurus-A (NGC 5128), la radiogalassia
(ed AGN) più vicina posta a 10 milioni di a.l.
galassia è il prodotto di una fusione tra una
galassia a spirale e la gigante ellittica. Lo
shock della collisione ha compresso il gas
interstellare che ha innescato una intensa
formazione stellare a dense nubi. HST ha
rivelato un disco luminoso (la macchia al
centro dell'ultima immagine in fondo) di 130
a.l. di diametro, che circonda un possibile
buco nero supermassiccio di 109 M . Tale
disco luminoso alimenta probabilmente un
disco di accrescimento interno non risolto.
Altri esempi di radio galassie:
Spettro di emissione caratteristico
di un black hole:
• Dispense di Attilio Ferrari Università di Torino
http://www.ph.unito.it/~ferrari/
• Radiative processes in Astrophysics George B.
Rybicky Alan P. Lightman Wiley-VCH
• Dispense del corso di astronomia extragalattica Prof.
Guido Chincarini (università Milano-bicocca)
• RELATIVISTIC THERMAL BREMSSTRAHLUNG GAUNT FACTOR FOR
THE INTRACLUSTER PLASMA. II. ANALYTIC FITTING FORMULAE
NAOKI ITOH, TSUYOSHI SAKAMOTO, AND SHUGO
KUSANO,Department of Physics, Sophia University, 7-1 Kioi-cho,
Chiyoda-ku, Tokyo, 102-8554, Japan;
Il fattore di Gaunt è mediato sulle velocità.
I limiti a basse e alte frequenze sono:
 Radio
3   8kb3T 3 
g ff 
ln  2 4 2 2    
2    e v Z 


3  kbT 
ln 

  hv 
Raggi X
hv
 1 non
I valore di gff(n,T) per u 
sono importanti poiché kbT
lo spettro per quei valori è tagliato.
In questa regione gff(n,T) è dell’ordine
dell’unità, mentre per frequenze più
basse il range può arrivare a 5-6
Valori numerici del fattore di Gaunt
gff (n,T). La variabile u rappresenta
la frequenza e  rappresenta la
variabile temperatura
La radiazione totale di una carica viene calcolata utilizzando l’analisi di
Fourier, in modo tale da ottenere:

4e 2
4e 2 a   2 a   2
2
 
I    3 a   3 ||
3c
3c

Vengono indicati con K0 K1 i
comportamenti dello spettro dovuti
all’accelerazione parallela e a
quella perpendicolare
rispettivamente.
Si vede che la componente
dell’accelerazione parallela
influisce debolmente all’emissione
di bremsstrahlung. Considerando quindi solo la componente
perpendicolare della forza agente. Integriamo su tutti i valori del parametro di
impatto, così da considerare la presenza degli ioni nella zona, trasformiamo nel
sistema di riferimento solidale con l’elettrone, e otteniamo uno spettro:
16Z 2 e6 N  bmax
I   
ln
3 2
3c men  bmin



The synchrotron (peak near 1019 Hz) and
synchrotron self-Compton (peak near 1027 Hz)
spectra of Mkn 501 (Konopelko et al. 2003, ApJ, 597,
851). The ordinate F on this plot is proportional to
flux density per logarithmic frequency range, so the
relative heights of the two peaks reflect their relative
contributions to Urad.
Radiazione di elettroni con distribuzione di potenza
È utile ricavare le caratteristiche della radiazione emessa da una distribuzione
di cariche con spettro energetico differenziale che segue una legge di potenza
con indice d in presenza di un campo magnetico (medio) B uniforme e
omogeneo:
n( )  n 0 
 L    U
dove  = E/mc2 e  L  U sono i limiti inferiore e superiore della distribuzione.
L’emissività totale è in tal caso:
ToT
Psync
  d n P  c n 0 B sin    
 1

  angolo tra B e la linea di vista
 1
2
che indica uno spettro di radiazione anch’esso espresso da una legge di
potenza con indice spettrale a determinato da quello delle particelle. Questo
risultato è importante in quanto la maggior parte delle sorgenti astrofisiche
sincrotrone hanno spettri non termici, ma di potenza, con  ≈ 0 ÷ 1.
Conseguentemente possiamo dedurne che gli elettroni emettenti hanno una
distribuzione di potenza con  ≈ 1 ÷ 3; ciò si accorda con il tipico spettro
energetico dei raggi cosmici. La polarizzazione per una radiazione di potenza
è:
 1
L 
  53