Algebra di Boole e sue
applicazioni
Cristian Fabbris
3^EA
I.T.I.S. Maserati - Voghera
Indice
•La Vita
•L’Algebra di Boole
•Le operazioni
fondamentali
•Il Sistema
Numerico Binario
•Principi
dell’Algebra di
Boole applicata ai
circuiti digitali
5-12-2006
•La tabella della
verità
•Termini massimi e
minimi
•Le porte logiche
•Esercizi
•L’Algebra di Boole
e la relazione
ufficiale sull’11/9
Cristian Fabbris
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George Boole
George Boole (Lincoln, 2 novembre 1815 Ballintemple, 8 dicembre 1864) è stato un
matematico e logico britannico considerato il
fondatore della logica matematica. Studiò la
matematica fin da giovane sui testi di Laplace e
Lagrange. Morì per una grave forma febbrile causata
da un banale raffreddore all'età di soli 49 anni. Boole
si dedicò allo studio di metodi algebrici per la
risoluzione di equazioni differenziali che gli fecero
ottenere una medaglia della Royal society e nel 1849
la nomina alla cattedra di matematica al Queen's
College di Cork. Nel 1854 pubblicò la sua opera più
importante indirizzata alle leggi del pensiero, con la
quale propose una nuova impostazione della logica:
dopo aver rilevato le analogie fra oggetti dell'algebra
e oggetti della logica, ricondusse le composizioni
degli enunciati a semplici operazioni algebriche. Con
questo lavoro fondò la teoria di quelle che
attualmente vengono dette algebre
di Boole (o semplicemente algebra
booleana).
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L’algebra di Boole
L'algebra di Boole segue le regole della
logica con variabili "binarie" che
possono cioè assumere solo due valori.
I due possibili stati che possono
assumere le variabili binarie sono tali
che si escludano a vicenda: una
variabile può assumere o il valore falso
o il valore vero, o lo zero o l'uno.
Questi valori, all'interno
dell'architettura dei calcolatori, sono
abbinati, entro opportune tolleranze, a
due tensioni differenti denominate
livello logico alto e livello logico basso.
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Le operazioni fondamentali
Le operazioni
fondamentali dell'algebra
di Boole sono tre: la
negazione, la somma
logica e il prodotto logico.
Attraverso queste è
possibile realizzare tutte
le altre operazioni più
complesse che un
calcolatore è in grado di
compiere.
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Il Sistema Numerico
Binario
Anche i moderni
calcolatori utilizzano il
sistema numerico
binario (1 e 0), messo a
punto dallo stesso
Boole, per poter
rappresentare
un’informazione che
può essere un numero
o una lettera.
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Principi dell’algebra di Boole
applicata ai circuiti digitali
George Boole
dimostrava che la
maggior parte del
pensiero logico,
privata di particolari
irrilevanti e verbosità,
potesse essere
concepita come una
serie di scelte. Questa
idea è divenuta la base
dei computer.
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La tabella della verità
Le tabelle di verità sono
tabelle matematiche usate
nella logica per determinare
se una certa espressione è
vera, oppure valida. La tabella
di verità elenca tutte le
possibili combinazioni di valori
che possono assumere le
variabili booleane ed il
risultato della funzione. Le
tabelle di verità applicate alla
logica classica sono limitate
alla logica booleana dove sono
ammessi soltanto 2 valori,
vero e falso.
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Termini massimi e
termini minimi
Si intende come termine
minimo di n variabili un
prodotto logico in cui tutte
le n variabili compaiono nella
loro forma vera o
complementata. Si intende
come termine massimo di n
variabili una somma logica in
cui tutte le n variabili
compaiono nella loro forma
vera o complementata.
I termini minimi sono anche
chiamati MINTERMS,
mentre i termini massimi
sono anche chiamati
MAXTERMS.
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Porta logica AND
La funzione logica
AND fornisce
un'uscita "vera" solo
quando tutti gli
ingressi sono "veri".
Analogamente, una
porta logica AND
fornisce un livello
logico "1" solo quando
tutti gli ingressi
presentano un livello
logico "1".
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Porta logica NAND
La funzione logica
NAND fornisce
un'uscita "falsa" solo
quando tutti gli
ingressi sono "veri".
Analogamente, una
porta logica NAND
fornisce un livello
logico "0" solo quando
tutti gli ingressi
presentano un livello
logico "1".
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Porta logica OR
La funzione logica OR
fornisce un'uscita
"vera" quando almeno
un ingresso è "vero".
Analogamente, una
porta logica OR
fornisce un livello
logico "1" quando
almeno un ingresso
presenta un livello
logico "1".
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Porta logica NOR
La funzione logica
NOR fornisce
un'uscita "falsa"
quando almeno un
ingresso è"vero".
Analogamente, una
porta logica NOR
fornisce un livello
logico "0" quando
almeno un ingresso
presenta un livello
logico "1".
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Porta logica NOT
La funzione logica NOT
fornisce un'uscita
"vera" quando il suo
ingresso presenta una
condizione "falsa" e
viceversa.
Analogamente, una
porta logica NOT
fornisce un livello
logico "1" quando il suo
ingresso presenta un
livello logico "0" e
viceversa.
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Esercizi
a.
b.
Si semplifichino, si disegnino i relativi circuiti e si
costruiscano le tavole della verità complete in riferimento
alle seguenti espressioni booleane:
ABC° + AB + AC + C
A°B°C + AB° + A°B° + AB
A + AB + B + BC
Applicando i teoremi dell'algebra di Boole, verificare se le
espressioni seguenti sono equivalenti.
A°B°C° + BC° + A (B + (BC)° )
A + C°
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L’algebra di Boole e la relazione
ufficiale sull’11/9
L’Algebra di Boole è stata
utilizzata dai matematici per
poter “confutare” la relazione
ufficiale sui drammatici fatti
accaduti l’11 settembre 2001 a
New York, dato che considera
i valori di verità e non i
numeri. Secondo i matematici
questa relazione ufficiale non
può essere sostenuta su
almeno 22 punti.
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Fine
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Fine
