Seconda Quantizzazione

•Risultati della equazione di Dirac
•Equazione di Dirac in presenza di campi e.m
•Elementi di teoria dei campi: prima e seconda
quantizzazione
• Quantizzazione del campo bosonico e
fermionico
• Formulazione lagrangiana: le lagrangiane dei
campi fondamentali
1
Risultati dell’ equazione di Dirac
L’equazione si rivelò di grande successo per diversi motivi:
1) Predice in modo del tutto naturale lo spin dell’ elettrone senza bisogno di
introdurlo artificialmente
2) Predice l'esistenza delle particelle a energia negativa, interpretabili come
antiparticelle a energia positiva, scoperte poi sperimentalmente
2) Predice il valore del momento magnetico dell’ elettrone poi misurato
sperimentalmente (rapporto giromagnetico)
3) Predice la struttura fine dello spettro energetico dell’ atomo di idrogeno
4) L’accoppiamento con il campo e.m. permette di predire le sezioni d’urto
relativistiche di Klein-Nishina della diffusione Compton fotone-elettrone
( e   e), di Møller della diffusione elettrone-elettrone o positrone-positrone
( e- e-  e- e- o e+ e+  e+e+ ), la diffusione coulombiana di elettroni nel campo
dei nuclei e degli elettroni e l’emissione di fotoni da parte di elettroni nel campo
e.m. coulombiano della materia.
2
Interazione con il campo e.m.
L’equazione di Dirac fin qui descritta si applica a particelle fermioniche libere.
Essa deve quindi essere modificata in presenza di campi e.m. esterni per
includere l’interazione fermione-campo e.m.
L’accoppiamento minimale tra la particella e il campo e.m. viene realizzata
sostituendo nella equazione al quadrimpulso p :
pμ  pμ  qA μ
o anche, equivalentemente ( p = (E; p )  i   = i (/ t; - ) ):
i  μ  i  μ  qA μ
Con tale sostituzione l’equazione di Dirac per particella libera:
(i γ μμ  m)ψ  0
(1)
si trasforma nell’equazione di Dirac in presenza di un campo e.m.:
( γ μ (iμ  qA μ )  m) ψ  0
(i γ μμ  q γ μ Aμ  m) ψ  0
(2)
3
La seconda quantizzazione
La prima quantizzazione (meccanica quantistica non relativistica) permette di
descrivere il comportamento di una particella libera o in interazione con un
potenziale, ma non è in grado di risolvere il problema della interazione tra essa ed
altre particelle e in particolare la diffusione nel corso della quale una particella può
scomparire dando luogo ad altre particelle.
Al contrario, sappiamo dalla relazione energia-massa di Einstein, che una particella
può decadere in altre due di massa minore oppure che due particelle possono
combinarsi a darne una di massa maggiore o infine che due particelle possono
annichilarsi producendo fotoni.
Si presenta dunque la necessità di dare una nuova descrizione, nella quale la
funzione d'onda non descrive la particella ma un campo (fermionico, bosonico) che
si realizza attraverso le particelle, che diventano quindi modi (quanti) del campo
stesso. Le equazioni fin qui studiate (di Klein-Gordon, di Dirac) verranno
reinterpretate come equazioni di un campo bosonico o di un campo fermionico.
4
MECCANICA CLASSICA
SISTEMA DI PUNTI CLASSICO
CAMPO CLASSICO
Distribuzione discreta
Distribuzione continua
Numero finito di gradi di libertà
N 
Variabili canonicamente coniugate
Numero infinito di gradi di libertà
Campi canonicamente coniugati

q i  coordinate generalizz ate
 r , t
dL
dL

d q i
dq 
d i 
 dt 
Lagrangiana:

L
π r , t  
 
pi 
impulsi generalizz ati
Densità lagrangiana:
d 

L  L   ,  ,
 L  ,  μ  
k 
dx 

Azione:
L  L ( q i , q i , t )  T - V
Azione:
S   d 4 x L  i ,  μ i 
t2
S   L(q i , q i , t) dt
t1

Dal principio di minima azione si ricavano le equazioni del moto:
d L L


0
dt   q i   q i
Eq. Eulero-Lagrange
 L 
L
0
 μ 



   μ  
5
Prima quantizzazionequantizzazione di un sistema classico
SISTEMA DI PUNTI CLASSICO
SISTEMA DI PUNTI QUANTISTICO
Distribuzione discreta
Distribuzione discreta
Numero finito di gradi di libertà
Numero finito di gradi di libertà
Variabili canonicamente coniugate
Operatori canonicamente coniugati
q i  coordinate generalizz ate
pi 
dL
dL

d q i
dq 
d i 
 dt 
impulsi generalizz ati
Particella localizzata nello spazio con
impulso definito
Equazioni del moto descrivono la
posizione e l' impulso della particella
in ogni istante
q i pi
Condizioni di quantizzazione
[q i , p j ]  i  δ ij
[q i , q j ]  [p i , p j ]  0
Particella è descritta da una
funzione d’onda, il cui modulo
quadro fornisce la probabilità di
trovare la particella in un certo
punto dello spazio-tempo
Numero di particelle = fissato
6
MECCANICA QUANTISTICA
PRIMA QUANTIZZAZIONE
SECONDA QUANTIZZAZIONE
Distribuzione discreta
Distribuzione continua
Numero finito di gradi di libertà
Numero infinito di gradi di libertà
Operatori canonicamente coniugati
Campi (operatori) canonicamente coniugati


  r , t  π r , t 
q i pi
Condizioni di prima quantizzazione
[q i , p j ]  i  δ ij
[q i , q j ]  [p i , p j ]  0
Funzione d’onda che descrive la
particella, il cui modulo quadro
fornisce la probabilità di trovare la
particella in un certo punto dello
spazio-tempo
Numero di particelle = fissato
Condizioni di seconda quantizzazione


 
[  (x, t) , π(y, t) ]  i  δ 3 (x - y)
(1)




[  (x, t) ,  (y, t) ]  [ π(x, t) , π(y, t) ]  0
Campo (fermionico, bosonico, e.m.) è
un operatore che agisce tramite operatori
che creano e annichilano particelle
Particella = modo di realizzazione,
quanto del campo
Numero di particelle = variabile
7
Campo bosonico
Le equazioni che abbiamo studiato, di Klein-Gordon e Dirac, saranno interpretate
come equazioni non di una particella ma di un campo bosonico o fermionico.
Prendiamo l’equazione del campo di Klein-Gordon (valida per un campo
bosonico):
(
+ m 2 )Φ  0
Una generica soluzione dell’equazione può essere sviluppata in serie di Fourier su
una base di onde piane (N.B.  è un operatore) :
  ikx
 + ikx

3
†
(x, t)  N  d k a(k) e
+ a (k) e
Si può dimostrare che le regole di commutazione (1) dei campi viste prima si
traducono per gli operatori a e a†,che agiscono nello spazio degli impulsi, nelle
regole seguenti (non lo dimostriamo):


 
3
†
[ a(k) , a (k' ) ]  δ (k - k' )


 † 
†
[ a(k) , a(k' ) ]  [ a (k) , a (k' ) ]  0
a†(k) è l’operatore di creazione (Ricordate l’oscillatore armonico quantistico)
8
In meccanica quantistica relativistica, il campo non è più come il campo
classico, cioè uno strumento per descrivere l’interazione tra due particelle
(pensate ad es. al campo elettrico, che viene creato da una carica elettrica e permea
tutto lo spazio dando cosi origine alla forza elettrica repulsiva o attrattiva con
un’altra carica).
Il campo in meccanica quantistica relativistica è un operatore che agisce sul sistema
creando o annichilando particelle fermioniche o bosoniche (a seconda del campo
descritto). Questo formalismo permette non solo di descrivere la comparsa e
la scomparsa di particelle (come succede in una diffusione o in un
decadimento), ma anche di trattare sistemi a molte particelle, scomponendoli
in stati di particella singola con un certo numero di occupazione.
9
Lo stato di vuoto è definito come quello stato con 0 particelle in ogni livello
k e cioè:
| 0 > = | 0, 0, 0 , 0, ... >
Lo stato a una particella nel livello k-esimo è ottenuto applicando allo
stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k) che crea una particella nel
livello k-esimo:

| 0, 0, 1 , 0, ... > = a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... >
k-esimo livello
Lo stato a due o più particelle nel livello k-esimo è ottenuto applicando
più volte allo stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k):
| 0, 0, 3 , 0, ... >  a†(k) a† (k) a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... > =
= (a†(k))3 | 0, 0, 0 , 0, ... >
10
In generale lo stato | n1, n2, ... , nk, ... > contiene n1 particelle nel livello 1, n2 nel
livello 2 etc. per un totale di N =  ni particelle ed è ottenuto nel modo seguente:
| n1, n2, ... , nk, ... > = (a†(1)) n1 (a†(2)) n2 ... (a†(nk)) nk | 0, 0, 0 , 0, ... >
Analogamente l’operatore a(k) distrugge una particella nel livello k-esimo:
| n1, n2-1, ... , nk, ... > = a(2) | n1, n2, ... , nk, ... >
11
Campo fermionico
Considerazioni analoghe a quelle fatte per il campo bosonico scalare
dell’equazione di Klein-Gordon possono essere fatte per il campo fermionico
dell’equazione di Dirac. Nel caso fermionico, nel quale abbiamo due stati di
particella a energia positiva e due di particella a energia negativa (o di
antiparticella a energia positiva), i campi dovranno contenere due tipi di operatori
differenti:







† 
ψ (x)   d 3 p b( p) u( p) e  ipx + d (p) v(p) e ipx  ψ + (x) + ψ  (x)




† 
ψ (x)   d 3 p d (p) v(p) e ipx + b (p) u(p) e ipx  ψ + (x) + ψ  (x)

dove:

b( p)

d†(p)

d (p)
† 
b (p)
distrugge un elettrone di energia positiva
distrugge un elettrone di energia negativa  crea un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia negativa  distrugge un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia positiva
12
Riassumendo:



ψ + (x)   d 3 p b( p) u( p) e  ipx




 †
 +ipx
ψ (x)   d p d (p) v(p) e

3




ψ + (x)   d 3 p d (p) v(p) e ipx

 †

ψ  (x)   d 3 p b (p) u(p) e +ipx

distrugge un elettrone con E  0
crea un positrone con E  0

distrugge un positrone con E  0
crea un elettrone con E  0
13
Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono
le seguenti:

 
†
3
b( k) , b (k' )  δ (k - k' )

 
†
3
d( k) , d (k' )  δ (k - k' )






 
 
 
 
 
 





† 
†
†
† 
b( k) , b( k' )  b (k) , b (k' )  d( k) , d( k' )  d (k) , d (k' )  0




†
†
† 
† 
b( k) , d( k ' )  b (k) , d( k ' )  b( k) , d (k ' )  b (k) , d (k ' )  0

Due fermioni NON possono trovarsi esattamente nello stesso stato. Il numero di
occupazione del livello dello stato k-esimo potrà essere o 0 o 1: nk = 0, 1,
mentre il numero di occupazione per il campo bosonico poteva essere
qualunque: nk = 0, 1, 2, ...
14
Campo elettromagnetico
Infine per il campo e.m. la scomposizione del campo A ci fornisce:
2



 
3
 ikx
+
A(x)   d k  ε(k, λ) a (k, λ) e
+ a (k, λ) e +ikx


λ 1
Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono
le seguenti:


 
+
3
[a(k) , a (k' )]  δ (k - k' )




+
+
[ a(k) , a(k' ) ]  [ a (k) , a (k' ) ]  0
15
Formulazione lagrangiana
Abbiamo detto che imponendo alla densità lagrangiana di un campo:
L  L  i ,  μ  i 
il principio di minima azione:
δS0
dove S   d 4 x L  i ,  μ i 
si perviene alle equazioni di Eulero-Lagrange, che altro non sono che le
equazioni del campo stesso:
 L 
L
0
 μ 




 i



μ
i


16
LAGRANGIANA DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON
Possiamo dimostrare che la lagrangiana del campo bosonico di K-G può essere
cosi espressa:
LK.G 
1 σ
1

   σ   m 2 2
2
2
(1)
Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di K.-G. diamo una dimostrazione
a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange sono proprio
l'equazione di K.-G. per particella libera:
 L 
L
0
 μ 
Applichiamo ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:
   

 μ 

LK.G
1 2
2
  m 2  m 

2
LK.G 1 μσ
1
1
1
   σ  +  σ  σμ   μ +  μ   μ
μ 2
2
2
2
L’equazione di Eulero-Lagrange del campo di K.-G. diventa allora:
 
   

 m2  μ (μ )  0  μ (μ ) + m2  0
(
+ m 2 )  0
EQ. DI KLEIN-GORDON
17
LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. NEL VUOTO
La lagrangiana del campo e.m. nel vuoto può essere cosi espressa:


1
1
LE.M.   F ρσ Fρσ    ρ A σ   σ A ρ  ρ A σ   σ A ρ 
4
4
Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:
L
 L 
0
 μ 



  μ 
L E.M.
0

ν
A
LE.M.
1 μρ νσ
1 ρ σ
μσ νρ
σ ρ
μ ν
μ ν










A


A


A


A




ρ σ
σ ρ
ρ σ
σ ρ 
ν
4
4
 μ A




 



1 μ ν
1
 A   ν Aμ   ν Aμ + μ A ν   μ A ν   ν Aμ   ν Aμ + μ A ν 
4
4
1
  4  μ A ν  4  ν A μ  F μν
4
L’equazione di Eulero-Lagrange del campo e.m. libero diventa allora:


μ Fμν  0

EQ. DI MAXWELL NEL VUOTO
18
LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. IN PRESENZA DI SORGENTI
La lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti, descritte dalla
quadricorrente j può essere cosi espressa:
L E.M.
L E.M.
ν


j
A ν
1 ρσ
  F Fρσ  jρ A ρ
4
LE.M.
μν


F
ν
 μ A
e le equazioni di Eulero-Lagrange diventano:
μ Fμν  jν
EQ. DI MAXWELL IN
PRESENZA DI SORGENTI
19
LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC LIBERO
La lagrangiana del campo di Dirac può essere cosi espressa:
LDIRAC  i ψ γ μ μ ψ  m ψ ψ
(1)
Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di Dirac si può dare una
dimostrazione a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange che si
ottengono a partire dalla lagrangiana (1) sono proprio l'equazione di Dirac per il
campo y di particella libera (noi non lo dimostriamo) e per il campo y:
(i γ μ μ  m) ψ  0
EQ. DI DIRAC PER
PARTICELLA LIBERA
20
LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC IN INTERAZIONE COL
CAMPO E.M.
La lagrangiana del campo di Dirac in interazione con il campo e.m. può essere
cosi espressa:
ν
LDIR E.M.  i ψ γ μμ ψ  m ψ ψ  J DIR
Aν
ν
J DIR
 q ψ γν ψ
LDIR E.M.  i ψ γ μμ ψ  m ψ ψ  q ψ γ ν ψA ν
Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange si può dimostrare (non lo
facciamo) che si ottiene l' equazione:
(i γ μ  q γ Aμ  m) ψ  0
μ
μ
EQ. DI DIRAC IN
INTERAZIONE CON UN
CAMPO E.M.
21
LAGRANGIANA DI Q.E.D.
Per ottenere la lagrangiana completa della quanto-elettrodinamica (QED)
dobbiamo aggiungervi la lagrangiana del campo e.m.:
LQED
1 μν
 i ψ γ  μ ψ  m ψ ψ  q ψ γ ψ A μ  F Fμν
4
μ
μ
Nel termine q ψ γ μ ψ A μ è contenuta l’interazione tra la quadricorrente del
campo fermionico:
q ψ γμ ψ
e il campo e.m. A. Il vertice dell'interazione tra fermioni e fotoni sarà quindi
dato dall'interazione di due campi fermionici e un campo e.m. cioè da due
fermioni (o un fermione e un anti-fermione) e un fotone.
ee+

vertice
22
•Lagrangiane dei campi fondamentali
•Matrice S (cenni)
•Diagrammi di Feynman (cenni)
23
Matrice S (cenni)
Prendiamo l’interazione seguente:
1+23+4
in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S
descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale
di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4:
< F | S | I > = < (t=) | S |  (t=-) >= < 1 2 | S | 3 4 >
Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato
processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi:
1) la visualizzazione grafica dell’interazione;
2) l’associazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica
che consente di calcolare direttamente l’ampiezza di probabilità (gambe esterne =
particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne =
propagatori = particelle scambiate nell’interazione)
24
Regole per costruire un grafico di Feynman
ELEMENTI FONDAMENTALI
Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un “evento”, cioè un puntodello
spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata)
spazio
xP

P=(xP, tP)
tempo
tP
Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o
virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne
Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene l’interazione; in essi deve
esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico
N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal
termine visto prima q ψ γ μ ψ A μ , ciò significa che in un vertice potranno interagire
due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione)
e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.
25
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella
reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere
fino a un punto in cui avviene l’interazione (vertice); se sono uscenti, si
propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte.
ee+

vertice

e-
e+
Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione
di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.
26
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che
mediano l’interazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le
particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali.
e-

e+
ee+
Alla linea interna è associato un’espressione matematica detta
propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata
(propagatore fermionico o bosonico).
27
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il
verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del
tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone.
Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice:
sarebbe come se scomparisse un’ unità di numero fermionico
(ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in
qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della
linea fermionica.
ee+
28
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una
particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice
delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al
tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spaziotempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2).

29
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Bosoni W± e Z0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anch’essi, come il
fotone sono rappresentati da linee ondulate.
Attenzione: mentre lo Z0 si comporta esattamente come un fotone pesante,
cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al
contrario il W+ o il W- si portano via un’unità di carica elettrica (positiva o
negativa).
e-
eZ0
 (e)
 (e)
Z0
e
e-
W+
30
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire
con un’altra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello
spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra.
e
e’

t
Prendiamo invece un’ annichilazione e+ e- dalla quale viene prodotto un
fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e-) e
una diretta verso i tempi decrescenti (e+), in modo che nel vertice di
emissione del fotone vi sarà continuità
della freccia fermionica.
e

e+
31
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Prendiamo invece un’interazione tra un fotone e un elettrone, come
avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone
incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo
continuità della linea fermionica nel vertice di interazione.
ee
32
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha
luogo l’interazione. In esso convergono tre linee, di cui due
rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale
che serve a mediare l’interazione. Al vertice è associata una costante di
accoppiamento che quantifica l’intensità dell’interazione. Ad esempio,
nel caso dell’interazione e.m. questa costante è  = 1/137, la costante
di struttura fine.
e

e’

33
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare l’ampiezza
di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman
attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari
elementi del diagramma la loro espressione matematica.
Vediamo qualche esempio di reazione.
34
Grafici di Feynman
 e  e
Un elettrone reale emette un fotone reale
DIFFUSIONE COMPTON

e-
in P, trasformandosi in elettrone virtuale e
Q(x2,t2)
quindi ridiventa reale assorbendo un
t
P(x1,t1)
t2 > t1
’
e
Altrimenti, un fotone reale emette un
e-
elettrone reale e un antielettrone virtuale in
Q(x2,t2)
Q, e quest’ ultimo interagisce con un
t
P(x1,t1)
e-
fotone reale in Q. Questo se:
elettrone reale in P emettendo un fotone
reale. Questo se:
’
t1 > t2
35
Grafici di Feynman (continua)
DIFFUSIONE COMPTON (continua)
 e  e
In realtà la sezione d’urto della diffusione Compton sarà ottenuta
integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di
Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il
Formalismo degli operatori di creazione e distruzione.

e’
k

k
p’
p- k’
p
e-
k’
p
e
k+p
’
k’
p’
e’

36
Grafici di Feynman (continua)
DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e- e- e- e- o e+ e+ e+ e+
e-
ep

k
e-
p’
k- k’
k’
e-
ANNICHILAZIONE
ep

k
e+
Un elettrone reale di impulso p emette un fotone
virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di
impulso p’. Il fotone virtuale viene assorbito da un
elettrone reale di impulso k che acquista l’impulso
k’.
e+ e- e+ eep’ Un elettrone e un positrone reali si annichilano
producendo un fotone virtuale, che si
k’
rimaterializza in un elettrone e in un positrone
+
e
reali.
37
Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi y e y:







† 
ψ (x)   d 3 p b( p) u( p) e  ipx + d (p) v(p) e + ipx  ψ + (x) + ψ  (x)





ψ (x)   d 3 p d†(p) v(p) e ipx + b (p) u(p) e +ipx  ψ + (x) + ψ  (x)

b (p)

d†(p)

d (p)
† 
b (p)

distrugge un elettrone di energia positiva
distrugge un elettrone di energia negativa  crea un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia negativa  distrugge un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia positiva
Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:
q ψ γ μ ψ A μ  q ψ + (x) + ψ  (x)  γ μ ψ + (x) + ψ  (x)  A μ 
 q ψ + (x) γ μ ψ + (x)  A μ + q ψ + (x) γ μ ψ  (x)  A μ +
+
q ψ  (x) γ μ ψ + (x)  A μ + q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ
38
Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa
situazione fisica:
q ψ + (x) γ μ ψ + (x)  A μ  distrugge un positrone con E  0
distrugge un elettrone con E  0
q ψ + (x) γ μ ψ  (x)  A μ  distrugge un positrone con E  0
crea un positrone con E  0
q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  crea un elettrone con E  0
crea un positrone con E  0
q ψ  (x) γ μ ψ + (x)  A μ  crea un elettrone con E  0
distrugge un elettrone con E  0
39
In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione
di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia
negativa, cioè:
e
+
=
e

e+


=
e-

i quattro grafici di prima diventeranno:
40
SCATTERING MOLLER e- e- (o e+ e+ )
I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione)
esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre
reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi
possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in
quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un
processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering"
(diffusione) Møller e-e- e-e- (si può avere anche lo scattering Møller e+e+ e+e+). Per
l'indistinguibilità dei due fermioni, se pi e pi' sono i quadri-impulsi delle particelle nello
stato iniziale e pf e pf' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla
sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:
41
Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti
da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come:
| I > = b† (pi) b† (pi') | 0 >
| F > = b† (pf) b† (pf') | 0 >
I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x1 dello spazio tempo e
l'altro nel punto x2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana:
ψ (x 1 ) γ ν ψ (x 1 ) A ν  - e ψ + (x 1 ) + ψ  (x 1 )  γ ν ψ + (x 1 ) + ψ  (x 1 )  A ν 
 - e ψ  (x 1 ) γ μ ψ + (x 1 )  A ν
ψ (x 2 ) γ μ ψ (x 2 ) A μ  - e ψ + (x 2 ) + ψ  (x 2 )  γ μ ψ + (x 2 ) + ψ  (x 2 )  A μ 
 - e ψ  (x 2 ) γ μ ψ + (x 2 )  A μ
N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono
essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il
prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato
così:
N[ψ  (x 1 ) ψ + (x 1 )]
42
Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro,
poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel
prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso):
N[ψ  (x 1 ) ψ + (x 1 ) ψ  (x 2 ) ψ + (x 2 )]  -ψ  (x 1 ) ψ  (x 2 ) ψ + (x 1 ) ψ + (x 2 )
L'elemento di matrice sarà dato da:






2

μ
+

ν
+
e 0 b (p f ) b (p' f )  ψ (x 2 ) γ A μ ψ (x 2 )   ψ (x 1 ) γ A ν ψ (x 1 )  b†+ (p i ) b†+ (p' i ) 0 





  




 
 creazione
di
un
distruzion
e
di
un
creazione
di
un
distruzion
e
di un 
 e  finalecon p '

e  iniziale con p i '   e  finalecon pf
e  iniziale con p i 
f

 e 2 0 b (p f ) b (p' f ) ψ  (x 2 )
ψ  (x 1 ) γ μ A μ A ν γ ν ψ + (x 2 )
ψ + (x 1 ) b†+ (p i ) b†+ (p' i ) 0












creazione di un
e  finalecon pf '
creazione di un
e  finalecon p f
distruzione di un distruzione di un
e  iniziale con p i ' e  iniziale con p i

+ ip 3 x1
+
3
3
3







 e 2 0 b (p f ) b (p' f )  d 3 p b†+ (p 1 ) u (p1 ) e +ip1 x 2  d 3 p b†(p ) u (p ) e
γμAμA ν γ ν
1 




 
creazione di un e  finalecon pf '
creazione di un e  finalecon p f

 ip4 x1
4
4





 ip 2 x 2
3
3
+
+
d
p
b(
p
)
u
(
p
)
e
d
p
'
b(
p
)
u
(
p
2
2
2
 )e †b (p i )†b (p' i ) 0 
distruzione di un e  iniziale con p i '
distruzione di un e  iniziale con p i
43
Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di
eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p1= pf' , p2= pi' ,
p3= pf, p4= pi perchè deve essere:



†
b( k) , b (k' )

 
 δ (k - k' )
3
N.B. Il simbolo A A sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto
matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice
all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo):
x1
 g μν 
A μ A ν  i  d 4 k e -ik(x1 -x 2 )  2 
k 
x2
Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a:

 g μν
e 2  u ( p' f ) e +ip'f x 2 γ μ u ( p' i ) e ip'i x 2  d 4 k e -ik(x 2 x1 )  2
k



 u ( p f ) e +ipf x1 γ μ u ( p i ) e ipi x1 


44
Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo:

 
e 2  d 4 x 2  d 4 x 1 u ( p' f ) e + ip'f x 2 γ μ u ( p' i ) e ip'i x 2
 d k e
4
- ik(x2 - x1 )
 g μν
 2
k

 


 u ( p f ) e ipf x1 γ ν u ( p i ) e ipi x1 

 g μν 
 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i ) u ( p f ) γ ν u ( p i )   d 4 k  2   d 4 x 2 e +ip'f x 2 e ip'i x 2 e -ikx 2  d 4 x 1 e + ipf x1 e ipi x1 e ikx1 
k 
 g μν 
 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i )  u ( p f ) γ ν u ( p i )   d 4 k  2  δ 4 ( p' f  p' i k ) δ 4 ( p f  p i + k ) 
k 
1

 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i ) 
u ( p f ) γ μ u ( p i )  δ 4 ( p' f  p' i + p f  p i )
2
(pf  pi )
Quadricorrente e.m.
Quadricorrente e.m.
Conservazione
quadrimpulso totale
Propagatore del
fotone
45
In sintesi, nel grafico
abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità:
u ( pf ) γ μ u ( pi )
al vertice inferiore la quantità:
u ( p' f ) γ μ u ( p' i )
al propagatore del fotone la quantità:
1
(pf  pi ) 2
e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.
46