Principio di conservazione della quantità di moto

Principio di conservazione della
quantità di moto
• Impulso & Quantità di moto
• Principio della conservazione della quantità di
moto
• Esperimenti con il pendolo di Newton
• Fenomeno del rinculo
• Dimostrazione del principio di conservazione
della quantità di moto
Impulso & Quantità di moto
L’impulso I di una forza costante F in un intervallo di tempo Δt = t1 – t2 durante il
quale la forza agisce su un corpo, è dato dal prodotto della forza per l’intervallo di
tempo:
I = F Δt
La quantità di moto di una particella è un vettore p definito come:
p = mv
ove m è la massa della particella e v la sua velocità. Essendo m una quantità
scalare sempre positiva, la relazione indica che i vettori p e v hanno la stessa
direzione e che la quantità di moto ha per unità di misura nel SI kg ∙ m/s.
Si può facilmente dimostrare che l’azione di un impulso su un corpo determina
una variazione della sua quantità di moto e che le due grandezze sono uguali.
Infatti dall’equazione fondamentale della dinamica si ha :
(impulso) F Δt = m a Δt = m Δv (variazione della quantità di moto)
Principio della conservazione della quantità di
moto
Supponiamo che la risultante delle forze esterne agenti su un sistema di particelle
sia zero (il sistema è isolato), e che nessuna particella entri nel sistema o ne esca
(il sistema è chiuso), ossia:
P= costante (sistema chiuso e isolato)
Questo importante risultato, detto legge di conservazione della quantità di moto, si
può anche scrivere:
Pi = Pf
Ove gli indici “i” ed “f” si riferiscono all’istante iniziale e un generico istante finale
successivo. Le equazioni significano che, se su un sistema di particelle chiuso non
agisce alcuna forza esterna netta, la quantità di moto totale del sistema rimane
costante.
Esperimenti con il pendolo di Newton
Due sfere, A e B, di ugual peso e massa, sospese da
cavetti verticali, sono inizialmente a contatto.
A
B
La sfera A viene lasciata libera, dopo essere stata tirata
verso sinistra.
Ricadendo urta la sfera B: la sfera A ritorna al punto di
partenza dopo l’urto; quella B invece si muove con la
stessa velocità, con la quale si muoveva la sfera A.
Ciò avviene per il principio della quantità di moto:
Nella figura n. 2 la sfera A ha una velocità v1 mentre la velocità v2 della sfera B
è uguale a zero. Dopo l’urto le velocità si scambiano e si avrà la seguente
equazione:
mv1 + mv2 = mv'1 + mv'2
Eliminando i prodotti uguali a zero, notiamo che la velocità della
sfera A è uguale alla velocità della sfera B dopo l’urto:
mv1 = mv'2
A
B
Abbiamo due sfere , A e B, di massa e peso uguale,
sospese ciascuna mediante due fili, in modo da
restare a contatto su di una stessa linea orizzontale.
Se si portano alla stessa altezza, rispettivamente a
destra e a sinistra, e poi le si lasciano libere, si urtano
e ritornano alla stessa altezza.
Ciò avviene per il principio della conservazione della
quantità di moto:
mv1 + mv2 = mv'1 + mv'2
Essendo le velocità v2 e v'2 della sfera B di verso opposto alle velocità della
sfera A, ma di modulo uguale, cioè v1 = - v2, abbiamo la seguente:
mv1 – mv2 = mv’1 – mv’2
Da cui:
m (v1 - v2) = m (v’1 – v’2)
Essendo le velocità uguali, la differenza è zero, e di conseguenza i prodotti
si sono nulli:
0 =0
A
B
Due sfere, A e B, di massa diversa (MA > mB),
sono sospese ciascuna mediante due fili, in modo
da restare a contatto su di una stessa linea
orizzontale. Tirata la sfera A verso sinistra, la si
lascia libera di muoversi. Dopo aver urtato la
sfera B, si ferma, mentre la sfera più piccola si
muove con velocità maggiore della sfera A.
Ciò avviene nuovamente per il principio di
conservazione della quantità di moto:
Mv1 + mv2 = Mv’1 + mv’2
ove M sta per la massa della sfera A e m per
quella B. Eliminando i prodotti uguali a zero resta
la seguente:
Mv1 = mv’2
Da questa si può dedurre che all’aumentare della massa M della sfera A
aumenta la velocità della sfera B:
v1 = m/M v’2
v’2 = M/m v1
Alcune sfere identiche sono sospese ciascuna
mediante due fili, in modo da restare tutte a contatto
su di una stessa linea orizzontale. Se si sposta la
prima sfera verso sinistra mantenendo i fili tesi e
lasciandola cadere contro la fila di sfere ferme, essa
si ferma, mentre l’ultima della fila si muove verso
destra. Quando l’ultima sfera ricade, urta contro la
fila e si ferma, mentre la prima risale. In questa
maniera il moto continua avanti e indietro per molte
oscillazioni.
Ciò avviene per il principio della conservazione
della quantità di moto:
mv1+mv2+mv3 = mv'1+mv'2+mv'3
Essendo le velocità v2 , v3 , v'1 e v'2 uguali a zero, si annullano i prodotti e si
otterrà la seguente:
mv1 = mv'3
Fenomeno del rinculo
Immaginiamo che un cannone di massa mc spari un proiettile di massa
mp a una velocità vp. La quantità di moto del sistema cannone-proietile è
nulla, poiché sia il cannone che il proiettile, inizialmente, sono immobili.
Dopo lo sparo la quantità di moto dovrà ancora essere nulla. Ma ciò può
avvenire solo se il cannone acquista una velocità vc di verso opposto a
quel del proiettile, in modo che valga la seguente relazione:
mpvp + mcvc = 0
da cui:
mpvp = - mcvc
Dimostrazione del principio della quantità di moto
Carrelli di massa uguale (Fase 1) : I due carrelli hanno massa uguale e sono
fermi, legati l’uno a l’altro da una molla tenuta compresa da una cordicella.
Costituiscono un sistema isolato, in quanto non subiscono l’azione di forze
esterne non equilibrate (la forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare del
piano d’appoggio). La quantità di moto totale del sistema, data dalla somma
delle quantità di moto relative ai due carrelli, è nulla.
Carrelli di massa uguale (Fase 2): Tagliata la cordicella, la molla si espande e
spinge i due carrelli in direzioni opposte. Poiché hanno la stessa massa, i due
carrelli si allontanano con la stessa velocità (stesso modulo, stessa
direzione, verso opposto, cosicché la quantità di moto totale risulta ancora
una volta zero, come prescritto dal principio di conservazione.
Carrelli di massa diversa (Fase 1): I due carrelli hanno massa diversa (l’uno
doppia dell’altro) e sono fermi, legati l’uno all’altro da una molla tenuta
compressa da una cordicella. Come nel primo caso, costituiscono un sistema
isolato, in quanto non subiscono l’azione di forze esterne non equilibrate. La
quantità di moto totale del sistema, data la somma delle singole quantità di moto
relative ai due carrelli, è nulla.
Carrelli di massa diversa (Fase 2): Anche in questo caso, tagliata la cordicella, la
molla si espande e spinge i due carrelli in direzione opposta. Poiché hanno massa
diversa, questa volta acquistano velocità di modulo diverso: il carrello più pesante si
muove con velocità minore di quello più leggero, in modo che la quantità di moto
totale del sistema nulla, come prima all’inizio del moto
Lavoro realizzato da:
Stefano Tozza
I lic. Sez. A