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Potenziale Elettrico
Q V
4pe0 R
Q
4pe0 r
R
r
R
C
R
B
r
B
q
r
A
A
independenza dal cammino
Fisica II – CdL Informatica
Superfici Equipotenziali
• Forze Conservative e Conservazione Energia
– l’energia totale è costante ed è la somma di energia
cinetica e energia potenziale
• Concetto di Potenziale Elettrico
– È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una
proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica)
come è il Campo Elettrico ? (le differenze di
potenziale sono funzione solo delle posizioni)
Fisica II – CdL Informatica
Conservazione energia meccanica di una particella
•
•
•
•
•
1 2
K  mv
Energia Cinetica
2
– non-relativistica
Energia Potenziale U ( x , y , z )
– determinata dalla legge di forza
per Forze Conservative l’energia totale è
costante: energia totale = K+U è costante
esempi di forze conservative
– gravità; energia potenziale gravitazionale
– elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx2
– elettrica; energia potenziale elettrica
esempi di forze non-conservative (dissipative)
– attrito
– moto viscoso (velocità limite)
Fisica II – CdL Informatica
Le forze elettriche sono conservative
• Consideriamo una particella carica che si
sposta attraverso una regione in presenza
di un campo elettrico statico:
+
• una carica negativa è attratta
verso la carica positiva fissa
• la carica negativa possiede più
energia potenziale e meno energia
cinetica lontano dalla carica fissa
positiva, e …
• più energia cinetica e meno energia
potenziale vicino la carica positiva
fissa.
• Tuttavia, l’energia totale si
conserva
• Introduciamo ora l’energia
potenziale elettrica ed il
potenziale elettrostatico ….
Fisica II – CdL Informatica
Potenziale Elettrico e Energia Potenziale
• Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico
esterno, E(x,y,z) (Ciascuna componente Ex Ey Ez è una
funzione di x,y,z)
• Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo
campo?
– Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a
distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono
finite)
– U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Qo
dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z)
• Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z)
• U dipende da Qo , ma V è independente da Qo (che può
essere + oppure -)
• V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E(x,y,z)
–V(x,y,z) è un campo scalare
Fisica II – CdL Informatica
Potenziale Elettrico ...
• Supponiamo che la carica q0 si muova
da A a B attraverso una regione di spazio
in cui è presente il campo elettrico E.
q0
A
E
B
• Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa
quantità di lavoro WAB dovrà essere fatto per ottenere
questo risultato.
• Definiamo la differenza di potenziale elettrico come:
WAB è la differenza di
energia potenziale
per andare da A a B
•
È una buona definizione ?
• È VB - VA independente da q0?
• È VB - VA independente dal cammino?
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DV ha una intensità ed
un segno: + oppure Se - (VB più basso), il
lavoro svolto dal campo
è negativo, mentre è
positivo quello svolto
dalla forza Fe
Unità di misura:
Volt=Joule/Coulomb
Indipendente dalla carica di prova ?
• Per muovere una carica in un campo E,
dobbiamo applicare una forza eguale ed
opposta a quella cui è soggetta la carica
a causa della presenza del campo E.
• essendo: lavoro = forza  spostamento
B
B
A
A
Fapplicata = -Felet
Felet
q0
E
A
WAB    Felet  dl    q0 E dl

Indipendente dalla carica.
• una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più
basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo
esterno viene svolto.
• per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale
più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia –
svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere
energia cinetica)
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B
Esempio 1
• una carica singola ( Q = -1mC) è fissa
all’origine. Definire un punto A a
x=+5m e un punto B a x = +2m.
B
– Qual’è il segno della differenza di potenziale -1mC
tra A e B? (VAB  VB - VA )
(a) VAB < 0
(b) VAB = 0

A

x
(c) VAB > 0
•La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è
di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un
lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B.
•Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1mC; pertanto un
lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A
a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva)
•Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione:
Poichè
VAB <0 !!
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,
Independente dal Cammino ?
 
W AB
VB  V A 
  E  d
q0
A
B
Felet
-Felet
q0
A
• Definizione della differenza di potenziale :
DVAB=VB - VA.
• L’integrale è la somma delle componenti
tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo
il percorso da A a B.
• La questione è: Dipende questo integrale dallo
specifico percorso scelto per andare da A a B ?
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E
B
dl
Vediamo se è veramente indipendente
• Consideriamo il caso di un campo
costante :
– via diretta: A - B
Notare che dl
punta in
verso opposto
a E.
B
h
dl
A
q
C
r
dl
• via più lunga: A - C – B
• Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo
stesso per ENTRAMBI i cammini.
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E
Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale
W = F d cos(q)
Gravità
• mattone spostato yi yf
• FG = mg (giù)
• WG = -mgh
• DUG= +mgh
yf
Fg=mg
Fg=mg
h
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
yi
Fg=mg
Fg=mg
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Elettrico
• carica spostata   rf
• FE = kq1q2/r2 (sinistra)
• WE = -kq1q2/rf
• DUE= +kq1q2/rf
rf
1. Lavoro da eseguire per
avvicinare 3 cariche
(da +1, +2 e +3 μC
rispettivamente)
• W1 = 0
• W2 = k q1 q2 /r
=(9109)(110-6)(210-6)/5
=3.6 mJ
• W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r
(9109)(110-6)(310-6)/5 + (9109)(210-6)(310-6)/5 =16.2
•
•
•
Wtotale = +19.8 mJ
WE = -19.8 mJ
DEen.pot.elettrica = +19.8 mJ
(occhio ai segni!)
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5m
1
3
5m
5m
2
mJ
2. Lavoro da eseguire per
avvicinare 3 cariche negative
(da -1, -2 e -3 μC rispettivamente)
Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ?
cariche simili si respingono, quindi
dovremo ancora eseguire un lavoro
positivo !
a) W = +19.8 mJ
b) W = 0 mJ
c) W = -19.8 mJ
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5m
1
3
5m
5m
2
1
5m
3. Lavoro necessario per
avvicinare 3 cariche
(uguali in valore assoluto)
2
+
+
5m
5m
-
3
Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra,
cioè dello sperimentatore) per mettere
insieme queste cariche è:
a)
positivo
portare (1): lavoro nullo
b)
nullo
portare (2): lavoro positivo
negativo
portare (3): lavoro negativo x 2
c)
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Potenziale Elettrico
• Unità Joules/Coulomb Volts
– Batterie
– Prese elettriche
• In realtà sono differenze di Potenziale
• Linee Equipotenziali (equilivello)
• Le linee del campo puntano verso il
basso
• V = k q/r (a distanza r dalla carica q)
in particolare V() = 0
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Esempio
• Dati tre punti A, B, C in
un campo E uniforme
C
E uniforme 
A
B
Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ?
1) maggiore
2) eguale
3) minore
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Il campo elettrico va da A a B
Il campo è uniforme così il potenziale elettrico
è eguale in tutti i punti
Il potenziale elettrico in A è minore del
potenziale in B perchè il punto C interferisce
con il massimo del potenziale in A.
Esempio
• Dati tre punti, A e B
all’interno di un conduttore
e C all’esterno, immersi in
un campo E uniforme
C
E uniforme 
A
conduttore
B
Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B
1) maggiore
2) eguale
3) minore
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“perchè il campo elettrico è nullo in ogni
punto all’interno di un materiale
conduttore”
Riassumendo
C
E uniforme 
A
Cammino
B
Vfinale - Viniziale Carica
A B
A C
CB
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D E.P.E. = q DV
Wcampo E
Negativa
+
-
Negativa
Positiva
Zero
Zero
Nulla
+
-
Zero
Zero
+
-
Negativa
Positivo
Positiva
Negativo
Negativa
Positivo
Negativo
Esempio: Potenziale Elettrico
+
E
C
A
B
Il potenziale elettrico (generato dall’unica carica positiva)
nel punto A è __???__ che nel punto B
1) maggiore
• Le linee del campo elettrico puntano “verso il
basso”
2) eguale
• La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E)
3) minore
• La linea CB è “verso il basso”, così B è ad un
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potenziale più basso di A
Potenziale Elettrico generato da
un Protone
Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza
r=0.5310-10m da un protone ? (Sia V()=0)
V =U/q= k q/ r =(9109C2N-1m-2)(1.610-19C) /0.5310-10m=
27.2 volts
rf = 0.510-10 m
+
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Energia Potenziale Elettrica vs.
Potenziale Elettrico
• Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia
di una carica in un punto.
• Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un
punto nello spazio – ci dice quale EPE
avrebbe una carica se fosse posta in quel
punto (generalmente ci riferiamo a
differenze di potenziale tra due punti):
U = Vq
• Ciascuna delle due quantità è funzione
solo del posto (scalare). Il segno è
importante !
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Due Cariche
•Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto
alle cariche presenti
–Calcolare V dalla carica +7mC
–Calcolare V dalla carica –3.5mC
–Sommarli
•V = kq/r
V7=(9109C2N-1m-2)(710-6C)/5m = 12.6103V
V3=(9109C2N-1m-2)(-3.510-6C)/5m = -6.3103V
4m
A
Vtot = V7+V3 = +6.3103V
Q=+7.0mC
Quanto lavoro bisogna spendere per portare
una carica da 2 mC dall’infinito al punto A?
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6m
Q=-3.5 mC
W=DU=DVq
=(+6.3103V)(2mC)
=+12.6 mJ
Due Cariche
• Nella regione II (tra le due cariche) il
potenziale elettrico è :
1) sempre positivo
2) positivo in alcuni punti, negativo in altri.
3) sempre negativo
I
II
Q=+7.0mC
III
Q=-3.5 mC
Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo
Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo
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Potenziale Elettrico
Curve Equipotenziali ed Energia
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Potenziale Elettrico: dove è nullo?
•
Abbiamo considerato finora differenze di potenziale.
•
Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la A
differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento.
B
VAB  VB  VA    E dl
• un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V=0
• quindi il potenziale elettrico è definito come:
V  r )  Vr  V
per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un
certo asse, p.es. l’asse x
• “r” è la distanzar dall’origine
V  r )  V   )    E dl


VAB
1
r
V    Edr '
essendo E 

r
r
q
q
1
q


V 
dr


dr


4pe 0  r '2
4pe 0  r '2
4pe 0
integrale
di linea
dl
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1
q
4pe 0 r '2
r
1 q
 1


 r ' 
4pe 0 r

Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi
Il potenziale da un insieme di N cariche è
proprio la somma algebrica del potenziale
dovuto a ciascuna carica separatamente.
DI NUOVO IL PRINCIPIO DI
SOVRAPPOSIZIONE.

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r1
x
q1
q2
r2
r3
q3
Esempio
• Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0
per tutti i punti sull’asse delle x ? (si definisca V(x)  0 per
x=)
+2mC
+1mC
+2mC
+1mC
x
-1mC
-2mC
(a)
+2mC
-2mC
x
-1mC
-2mC
(b)
x
-1mC
(c)
+1mC
La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale
totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei
contributi individuali
Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q
e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x
deve essere equidistante da +2mC e -2mC ed anche da +1mC e -1mC.
Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)!
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Superfici Equipotenziali
Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale.
•
Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere
centrate sulla carica.
• PROPRIETA’ GENERALE :
– Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie
equipotenziale.
• Perchè ?
Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!)
Pertanto,
 
  E  dl  DV  0
B
A
 
Si può concludere allora, che E  dl è nullo.
Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è
nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è
sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale.
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Superfici Equipotenziali di una sfera carica
Er
Superfici
Equipotenziali
•
•
•
•
Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica.
Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come
ci si aspetta dalla simmetria sferica.
Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica
puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”.
Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie
equipotenziale in tutti i punti.
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Potenziale di una sfera
uniformemente carica
Esercizio
Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica
positiva ed uniforme con una carica totale Q.
Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b)
all’interno della sfera.
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Potenziale di una sfera
uniformemente carica
Per il teorema di Gauss, al di fuori di
Q
E

k
 per r  R )
una sfera uniformemente carica
r
e 2
r
diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il
potenziale nel punto B
dr
Q
VB    Er dr  keQ  2 ke

 r
r
r
r
 per r  R  carica
puntiforme )
•Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica

qin  V    4 p r 3
3
 Er 
qin
4pe 0 r
2

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)
2
EdA

E
4
p
r

)

e

 43 p r3
4pe 0 r
2
)
qin
e0
4 p R3
Q

Q
3

r
r  ke 3 r
3e 0
3e 0
R
 per r  R )
Potenziale di una sfera
uniformemente carica
D
Dalla relazione DV    E ds
C
ke Q r
keQ 2 2
VD  VC    Er dr   3  r dr 
R r )

3
R
R R
2R
Q
per continuità deve essere, VC  ke
 per r  R )
R
ke Q 
r2 
sostituendo VC si ha VD  3  3  2 
 per r  R )
2R 
R 
r
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Potenziale di una sfera uniformemente carica
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Potenziale di un guscio sferico
conduttore carico
• campo-E (Legge di Gauss)
•
r < a: Er = 0
•
r >a:
Q
4pe0 a
1
Q
Er =
4 pe 0 r 2
• Potenziale
V
Q
4pe0 r
a
a
a
• r > a:
• r < a:
E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a)
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r
Cosa significa questo risultato ?
• Grafico della componente radiale del campo elettrico di un
guscio sferico carico:
Er
Notare che dentro il guscio, il campo
elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il
campo elettrico diminuisce come 1/r2.
a R
Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di
Er. Questo integrale è semplicemente
l’area sotto la curva Er .
r
V
Q
4pe0 a
Q
4pe0 r
a
a R
a
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r
In definitiva ...
• Se conosciamo il campo elettrico E,
questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V
ovunque (noto per definizione VA , p.es. VA = 0 )
• Potenziale dovuto ad n cariche:
• Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il
potenziale è costante.
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Conduttori
 
VB  VA    E  d s
B
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
• Tesi
La superficie di un conduttore è sempre una
superficie equipotenziale (infatti, l’intero
conduttore è equipotenziale)
• Perchè ?
Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una
componente del campo elettrico parallela alla superficie e
le cariche si muoverebbero di conseguenza !!
Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore.
Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale
in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche
all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la
superficie, il potenziale non cambia.
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Carica sui Conduttori
• Come è distribuita la carica sulla superficie di un
conduttore ?
– Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie.
esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro):
+ + +
+
- -- +
- +
+ -+q - +
+ - +
+ - +
+
+ + +
E=0 dentro il guscio conduttore.
la densità di carica indotta sulla
superficie interna è non-uniforme.
la densità di carica indotta sulla
superficie esterna è uniforme
E esterno ha una simmetria sferica
rispetto al centro del guscio sferico
conduttore.
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Carica sui Conduttori
• Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ?
• Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo
raggio di curvatura.
piccola σ
grande σ
• 2 sfere, connesse da un filo e “distanti”
• Entrambe allo stesso potenziale
r
rS
Ma:
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
L
La sfera più
piccola ha la
densità di carica
superficiale
maggiore !
Superficie Equipotenziale (Esempio)
• Le linee del del campo sono
più “fitte” in prossimità delle
zone con grande curvatura.
piccola σ
• Le linee del campo sono ^
alla superficie in prossimità
piccolo E
della stessa (poichè la
superficie è equipotenziale).
• Le linee equipotenziali hanno
forma simile a quella della
superficie (in prossimità della
stessa).
• Le linee equipotenziali sono
simili ad un cerchio (sfera in
3-D) per grandi r.
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grande σ
grande E

E
e0
Sfera conduttrice
 Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal
fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se
Emax  3  10 V / m
6
1 q
essendo E 
4p e0 r 2
 R=1 cm
 R=1m
Vmax
Vmax
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1 q
V
4p e0 r

V=ER
V
2
4
 3  10
 10 m  3  10 V
m
6
V
 3  10
 1m  3  10 6V
m
6
Calcolo di E da V
• Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V
invertendo la precedente relazione tra E e V:
 
VB  VA    E  d s
B
A

r
V

r + xˆ dx
V+dV

dV   E  xˆ dx   E x dx
• Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V
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Calcolo di E da V
• Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ?
• coordinate cartesiane :
• coordinate sferiche :
• a parole:
– la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima
pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità
(modulo) di E è esattamente la pendenza.
• Analogia con la gravità:
– Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera
verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla
palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi
lungo la direzione della maggiore pendenza.
– Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il
centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità.
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Calcolo di E da V: Esempio
• Consideriamo il seguente potenziale elettrico:
• Quale campo elettrico descrive ?
... esprimendolo
come un vettore:
si ha:
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In definitiva ...
Se conosciamo il campo E ovunque,

possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si
rammenti, che spesso definiamo VA = 0 in qualche punto ())
Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque,
possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque
• Unità di misura del Potenziale V = J/C
• Unità di misura del Campo Elettrico V/m
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