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Potenziale Elettrico Q V 4pe0 R Q 4pe0 r R r R C R B r B q r A A independenza dal cammino Fisica II – CdL Informatica Superfici Equipotenziali • Forze Conservative e Conservazione Energia – l’energia totale è costante ed è la somma di energia cinetica e energia potenziale • Concetto di Potenziale Elettrico – È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica) come è il Campo Elettrico ? (le differenze di potenziale sono funzione solo delle posizioni) Fisica II – CdL Informatica Conservazione energia meccanica di una particella • • • • • 1 2 K mv Energia Cinetica 2 – non-relativistica Energia Potenziale U ( x , y , z ) – determinata dalla legge di forza per Forze Conservative l’energia totale è costante: energia totale = K+U è costante esempi di forze conservative – gravità; energia potenziale gravitazionale – elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx2 – elettrica; energia potenziale elettrica esempi di forze non-conservative (dissipative) – attrito – moto viscoso (velocità limite) Fisica II – CdL Informatica Le forze elettriche sono conservative • Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: + • una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissa • la carica negativa possiede più energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e … • più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa. • Tuttavia, l’energia totale si conserva • Introduciamo ora l’energia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico …. Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico e Energia Potenziale • Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico esterno, E(x,y,z) (Ciascuna componente Ex Ey Ez è una funzione di x,y,z) • Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo campo? – Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite) – U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Qo dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) • Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z) • U dipende da Qo , ma V è independente da Qo (che può essere + oppure -) • V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E(x,y,z) –V(x,y,z) è un campo scalare Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico ... • Supponiamo che la carica q0 si muova da A a B attraverso una regione di spazio in cui è presente il campo elettrico E. q0 A E B • Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa quantità di lavoro WAB dovrà essere fatto per ottenere questo risultato. • Definiamo la differenza di potenziale elettrico come: WAB è la differenza di energia potenziale per andare da A a B • È una buona definizione ? • È VB - VA independente da q0? • È VB - VA independente dal cammino? Fisica II – CdL Informatica DV ha una intensità ed un segno: + oppure Se - (VB più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza Fe Unità di misura: Volt=Joule/Coulomb Indipendente dalla carica di prova ? • Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E. • essendo: lavoro = forza spostamento B B A A Fapplicata = -Felet Felet q0 E A WAB Felet dl q0 E dl Indipendente dalla carica. • una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto. • per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia – svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica) Fisica II – CdL Informatica B Esempio 1 • una carica singola ( Q = -1mC) è fissa all’origine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m. B – Qual’è il segno della differenza di potenziale -1mC tra A e B? (VAB VB - VA ) (a) VAB < 0 (b) VAB = 0 A x (c) VAB > 0 •La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B. •Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1mC; pertanto un lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva) •Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione: Poichè VAB <0 !! Fisica II – CdL Informatica , Independente dal Cammino ? W AB VB V A E d q0 A B Felet -Felet q0 A • Definizione della differenza di potenziale : DVAB=VB - VA. • L’integrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B. • La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B ? Fisica II – CdL Informatica E B dl Vediamo se è veramente indipendente • Consideriamo il caso di un campo costante : – via diretta: A - B Notare che dl punta in verso opposto a E. B h dl A q C r dl • via più lunga: A - C – B • Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini. Fisica II – CdL Informatica E Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale W = F d cos(q) Gravità • mattone spostato yi yf • FG = mg (giù) • WG = -mgh • DUG= +mgh yf Fg=mg Fg=mg h Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg yi Fg=mg Fg=mg Fisica II – CdL Informatica Elettrico • carica spostata rf • FE = kq1q2/r2 (sinistra) • WE = -kq1q2/rf • DUE= +kq1q2/rf rf 1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche (da +1, +2 e +3 μC rispettivamente) • W1 = 0 • W2 = k q1 q2 /r =(9109)(110-6)(210-6)/5 =3.6 mJ • W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r (9109)(110-6)(310-6)/5 + (9109)(210-6)(310-6)/5 =16.2 • • • Wtotale = +19.8 mJ WE = -19.8 mJ DEen.pot.elettrica = +19.8 mJ (occhio ai segni!) Fisica II – CdL Informatica 5m 1 3 5m 5m 2 mJ 2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative (da -1, -2 e -3 μC rispettivamente) Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ? cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo ! a) W = +19.8 mJ b) W = 0 mJ c) W = -19.8 mJ Fisica II – CdL Informatica 5m 1 3 5m 5m 2 1 5m 3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto) 2 + + 5m 5m - 3 Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è: a) positivo portare (1): lavoro nullo b) nullo portare (2): lavoro positivo negativo portare (3): lavoro negativo x 2 c) Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico • Unità Joules/Coulomb Volts – Batterie – Prese elettriche • In realtà sono differenze di Potenziale • Linee Equipotenziali (equilivello) • Le linee del campo puntano verso il basso • V = k q/r (a distanza r dalla carica q) in particolare V() = 0 Fisica II – CdL Informatica Esempio • Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme C E uniforme A B Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ? 1) maggiore 2) eguale 3) minore Fisica II – CdL Informatica Il campo elettrico va da A a B Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A. Esempio • Dati tre punti, A e B all’interno di un conduttore e C all’esterno, immersi in un campo E uniforme C E uniforme A conduttore B Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B 1) maggiore 2) eguale 3) minore Fisica II – CdL Informatica “perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto all’interno di un materiale conduttore” Riassumendo C E uniforme A Cammino B Vfinale - Viniziale Carica A B A C CB Fisica II – CdL Informatica D E.P.E. = q DV Wcampo E Negativa + - Negativa Positiva Zero Zero Nulla + - Zero Zero + - Negativa Positivo Positiva Negativo Negativa Positivo Negativo Esempio: Potenziale Elettrico + E C A B Il potenziale elettrico (generato dall’unica carica positiva) nel punto A è __???__ che nel punto B 1) maggiore • Le linee del campo elettrico puntano “verso il basso” 2) eguale • La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E) 3) minore • La linea CB è “verso il basso”, così B è ad un Fisica II – CdL Informatica potenziale più basso di A Potenziale Elettrico generato da un Protone Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza r=0.5310-10m da un protone ? (Sia V()=0) V =U/q= k q/ r =(9109C2N-1m-2)(1.610-19C) /0.5310-10m= 27.2 volts rf = 0.510-10 m + Fisica II – CdL Informatica Energia Potenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico • Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia di una carica in un punto. • Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio – ci dice quale EPE avrebbe una carica se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti): U = Vq • Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante ! Fisica II – CdL Informatica Due Cariche •Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti –Calcolare V dalla carica +7mC –Calcolare V dalla carica –3.5mC –Sommarli •V = kq/r V7=(9109C2N-1m-2)(710-6C)/5m = 12.6103V V3=(9109C2N-1m-2)(-3.510-6C)/5m = -6.3103V 4m A Vtot = V7+V3 = +6.3103V Q=+7.0mC Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 mC dall’infinito al punto A? Fisica II – CdL Informatica 6m Q=-3.5 mC W=DU=DVq =(+6.3103V)(2mC) =+12.6 mJ Due Cariche • Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è : 1) sempre positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in altri. 3) sempre negativo I II Q=+7.0mC III Q=-3.5 mC Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico Curve Equipotenziali ed Energia Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico: dove è nullo? • Abbiamo considerato finora differenze di potenziale. • Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la A differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento. B VAB VB VA E dl • un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V=0 • quindi il potenziale elettrico è definito come: V r ) Vr V per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un certo asse, p.es. l’asse x • “r” è la distanzar dall’origine V r ) V ) E dl VAB 1 r V Edr ' essendo E r r q q 1 q V dr dr 4pe 0 r '2 4pe 0 r '2 4pe 0 integrale di linea dl Fisica II – CdL Informatica 1 q 4pe 0 r '2 r 1 q 1 r ' 4pe 0 r Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la somma algebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente. DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE. Fisica II – CdL Informatica r1 x q1 q2 r2 r3 q3 Esempio • Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per tutti i punti sull’asse delle x ? (si definisca V(x) 0 per x=) +2mC +1mC +2mC +1mC x -1mC -2mC (a) +2mC -2mC x -1mC -2mC (b) x -1mC (c) +1mC La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei contributi individuali Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x deve essere equidistante da +2mC e -2mC ed anche da +1mC e -1mC. Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)! Fisica II – CdL Informatica Superfici Equipotenziali Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. • Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica. • PROPRIETA’ GENERALE : – Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie equipotenziale. • Perchè ? Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!) Pertanto, E dl DV 0 B A Si può concludere allora, che E dl è nullo. Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale. Fisica II – CdL Informatica Superfici Equipotenziali di una sfera carica Er Superfici Equipotenziali • • • • Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica. Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come ci si aspetta dalla simmetria sferica. Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”. Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti. Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica Esercizio Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q. Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b) all’interno della sfera. Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica Per il teorema di Gauss, al di fuori di Q E k per r R ) una sfera uniformemente carica r e 2 r diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B dr Q VB Er dr keQ 2 ke r r r r per r R carica puntiforme ) •Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica qin V 4 p r 3 3 Er qin 4pe 0 r 2 Fisica II – CdL Informatica ) 2 EdA E 4 p r ) e 43 p r3 4pe 0 r 2 ) qin e0 4 p R3 Q Q 3 r r ke 3 r 3e 0 3e 0 R per r R ) Potenziale di una sfera uniformemente carica D Dalla relazione DV E ds C ke Q r keQ 2 2 VD VC Er dr 3 r dr R r ) 3 R R R 2R Q per continuità deve essere, VC ke per r R ) R ke Q r2 sostituendo VC si ha VD 3 3 2 per r R ) 2R R r Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica Fisica II – CdL Informatica Potenziale di un guscio sferico conduttore carico • campo-E (Legge di Gauss) • r < a: Er = 0 • r >a: Q 4pe0 a 1 Q Er = 4 pe 0 r 2 • Potenziale V Q 4pe0 r a a a • r > a: • r < a: E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a) Fisica II – CdL Informatica r Cosa significa questo risultato ? • Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico: Er Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come 1/r2. a R Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di Er. Questo integrale è semplicemente l’area sotto la curva Er . r V Q 4pe0 a Q 4pe0 r a a R a Fisica II – CdL Informatica r In definitiva ... • Se conosciamo il campo elettrico E, questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V ovunque (noto per definizione VA , p.es. VA = 0 ) • Potenziale dovuto ad n cariche: • Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante. Fisica II – CdL Informatica Conduttori VB VA E d s B A + + + + + + + + + + + + + + • Tesi La superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, l’intero conduttore è equipotenziale) • Perchè ? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza !! Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia. Fisica II – CdL Informatica Carica sui Conduttori • Come è distribuita la carica sulla superficie di un conduttore ? – Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie. esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro): + + + + - -- + - + + -+q - + + - + + - + + + + + E=0 dentro il guscio conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme. la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme E esterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore. Fisica II – CdL Informatica Carica sui Conduttori • Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ? • Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura. piccola σ grande σ • 2 sfere, connesse da un filo e “distanti” • Entrambe allo stesso potenziale r rS Ma: Fisica II – CdL Informatica L La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore ! Superficie Equipotenziale (Esempio) • Le linee del del campo sono più “fitte” in prossimità delle zone con grande curvatura. piccola σ • Le linee del campo sono ^ alla superficie in prossimità piccolo E della stessa (poichè la superficie è equipotenziale). • Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa). • Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r. Fisica II – CdL Informatica grande σ grande E E e0 Sfera conduttrice Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se Emax 3 10 V / m 6 1 q essendo E 4p e0 r 2 R=1 cm R=1m Vmax Vmax Fisica II – CdL Informatica 1 q V 4p e0 r V=ER V 2 4 3 10 10 m 3 10 V m 6 V 3 10 1m 3 10 6V m 6 Calcolo di E da V • Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V invertendo la precedente relazione tra E e V: VB VA E d s B A r V r + xˆ dx V+dV dV E xˆ dx E x dx • Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V Fisica II – CdL Informatica Calcolo di E da V • Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ? • coordinate cartesiane : • coordinate sferiche : • a parole: – la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. • Analogia con la gravità: – Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza. – Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità. Fisica II – CdL Informatica Calcolo di E da V: Esempio • Consideriamo il seguente potenziale elettrico: • Quale campo elettrico descrive ? ... esprimendolo come un vettore: si ha: Fisica II – CdL Informatica In definitiva ... Se conosciamo il campo E ovunque, possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si rammenti, che spesso definiamo VA = 0 in qualche punto ()) Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque • Unità di misura del Potenziale V = J/C • Unità di misura del Campo Elettrico V/m Fisica II – CdL Informatica
