Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.1
Uno stesso problema può presentarsi in diverse forme:
• L’area del quadrato costruito su due segmenti si trova
sommando il doppio del rettangolo sui due segmenti alla
somma dei quadrati su ognuno dei segmenti
(algoritmica)
• Se si divide a caso un segmento in due parti, il
quadrato costruito su tutto il segmento è uguale alla
somma dei quadrati delle parti e del doppio del
rettangolo che ha per lati le parti (geometrica)
• Il quadrato della somma di due numeri è uguale al
quadrato di uno più il quadrato dell’altro, più il doppio
del prodotto dei due numeri (retorica)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (simbolica)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.2
Problemi relativi alla pratica didattica collegati alla
polemica presa in considerazione:
possiamo vedere le due posizioni come non
contrapposte, bensì complementari?
quale uso del mediatore geometrico?
si arriva alla liberazione da ogni questione
ontologica attraverso situazioni fortemente
‘ontologiche’?
grado di accettazione da parte degli studenti
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.3
Gli storici hanno considerato tre aspetti
relativamente all’algebra
retorico: il problema e la
soluzione si scrivono nella prosa
corrente
sincopato:
i singoli autori
introducono
abbreviazioni
stenografiche
simbolico: sono usati veri e
propri simboli
Ci sono sovrapposizioni di questi aspetti,
anche nello stesso autore e nella stessa
opera
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.4
L’introduzione dei simboli non è avvenuta dall’oggi al
domani. Un esempio di primo uso dei simboli si ha in
Raffaello Canacci (abacista fiorentino della metà del
Quattrocento):
“adunque segnerò porgi glorechi e attendi cholla
memoria acoché imprenda meglio quelo ch’io dicho”
Le ragioni per l’introduzione dei simboli furono
intellettuali, ma anche pratiche. Il decollo avvenne nei
secoli XVI e XVII, essenzialmente per due motivi:
i problemi complicati necessitano
di semplificazioni
la stampa dei libri richiedeva la standardizzazione
delle lettere di stampa
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.5
Algebra in Mesopotamia
C’è un gran numero di problemi del tipo:
trovare le dimensioni di un rettangolo con area 96 e in
cui la somma della base con l’altezza è 20.
In forma moderna:
x + y = 20
xy = 96
Neugebauer (1957) la chiama “forma normale”.
Si opera sui numeri dati, seguendo le istruzioni di uno
scriba
1. Dividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = 10
2. Elevare al quadrato: 102 = 100
3. Togliere l’area data, 96, a 100: 100 96 = 4
4. Estrarre la radice quadrata: 2
5. La base è 10 + 2 =12, l’altezza è 10 2 = 8
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d’insegnamento/apprendimento 3.6
Algebra in Mesopotamia
Come si vede, la forma retorica rende difficile
vedere le sostituzioni per noi facili
I problemi quadratici più complessi sono ricondotti
alla “forma normale” (trovare due numeri nota la
loro somma o differenza ed il loro prodotto)
Manca il simbolismo algebrico
Termini come lunghezza, larghezza, area, volumi
sono usati in modo astratto (si sommano tra loro
senza scrupoli)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.7
Algebra in Mesopotamia
I processi mentali sono di tipo “algebrico”,
la geometria ha un ruolo ausiliario.
Sono trattate:
- equazioni di primo grado (anche nei papiri
egizi)
- equazioni di secondo grado
- particolari equazioni di terzo grado
- equazioni di grado superiore riconducibili
a equazioni secondo e terzo grado
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d’insegnamento/apprendimento 3.8
Algebra in Mesopotamia
Gli Assiro-babilonesi erano abili nei procedimenti
algoritmici (si veda il calcolo di 2 riportato nella
seguente tavoletta)
Tavoletta YBC 7289 collezione di Yale
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.9
Algebra in Mesopotamia
In riferimento alla tavoletta precedente:
(nel sistema sessagesimale) sul lato è segnato il numero 30 e
sulla diagonale i numeri 1;24,51,10 e 42;25,35
42;25,35 è la misura della diagonale ottenuta assumendo
come valore approssimato di 2 1;24,51,10
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,414213
secondo Neugebauer
2 3/2 = 1;30 (per eccesso: (3/2)2 = 9/4)
2:2/3 = 4/3 =1;20
valore medio di queste due approssimazioni è 1;25
ripetendo
1;25 e 1;24,42,21 che ha come media aritmetica 1;24,51,10
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d’insegnamento/apprendimento 3.10
Potenzialità didattiche
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d’insegnamento/apprendimento 3.11
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 3.12
In Diofanto troviamo:
• quadrato, cubo, biquadrato, quadratocubo, cubo-cubo, ...
• introduce dei simboli per indicarli
• arithme, che è una “quantità
indeterminata di unità”, per cui usa
sempre lo stesso simbolo, V
• l’arithme è assoggettato agli stessi
trattamenti dei numeri (che, per
Diofanto, sono solo i razionali positivi)
• Diofanto crea un linguaggio con una
sintassi ben definita
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d’insegnamento/apprendimento 3.13
Diofanto, Problema 27 libro I (tradotto da Ver Eecke)
Trovare due numeri la cui somma e prodotto formano due
numeri dati
“Proponiamo che la somma dei numeri sia 20 unità e che il loro prodotto sia
96 unità. La differenza dei numeri sia 2 arithme. Allora poiché la somma dei
numeri è 20 unità, se noi la dividiamo in due parti uguali, ciascuna delle parti
sarà la metà della somma, ovvero 10 unità. Dunque se aggiungiamo ad una
delle parti e togliamo dall’altra, la metà della differenza dei numeri, cioè
1arithme, si stabilisce di nuovo che la somma dei numeri è 20 unità e che la
loro differenza è 2 arithme. In conseguenza, poniamo che il numero più
grande sia 1 arithme aumentato di 10 unità che sono la metà della somma dei
numeri; dunque il numero più piccolo sarà 10 unità meno 1 arithme e si
stabilisce che la somma dei numeri è 20 unità e che la loro differenza è 2
arithme.
Bisogna anche che il prodotto dei numeri sia 96 unità. Il loro prodotto è 100
unità meno un quadrato d’arithme, che uguagliamo a 96 unità e l’arithme
diventa 2 unità. In conseguenza, il numero maggiore sarà 2 unità ed il minore
sarà 8 unità e questi numeri soddisfano la proposizione.”
