Diapositiva 1 - Dipartimento di Ingegneria dell`informazione e

Le Pierangiolate
n. 8
Dipartimento di Ingegneria della
Informazione e Scienze Matematiche
Luca Chiantini presenta
C’è Corrispondenza per Te
C’è Corrispondenza per Te
Test di ingresso a Medicina ---- 2014
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi
sono diversi circoli. Ogni studente deve essere iscritto
ad un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un
massimo di tre. Le tessere totali emesse dai circoli
sono 750. Sapendo che ci sono esattamente 150
studenti non iscritti ad un solo circolo, determinare
quanti
studenti
sono
iscritti
a
tre
circoli
contemporaneamente.
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi
sono diversi circoli. Ogni studente deve essere iscritto ad
un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un
massimo di tre. Le tessere totali emesse dai circoli sono
750. Sapendo che ci sono esattamente 150 studenti non
iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti
sono iscritti a tre circoli contemporaneamente.
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON
su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti)
somma = unione?
NO
PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri.
Quanti bambini formano (come minimo) la classe?
RISPOSTA: 15
non 27!
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
RISPOSTA: 15
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi sono diversi circoli. Ogni studente
deve essere iscritto ad un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un massimo di tre.
Le tessere totali emesse dai circoli sono 750. Sapendo che ci sono esattamente 150
studenti non iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti sono iscritti a tre circoli
contemporaneamente.
1
2
3
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi sono diversi circoli. Ogni studente
deve essere iscritto ad un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un massimo di tre.
Le tessere totali emesse dai circoli sono 750. Sapendo che ci sono esattamente 150
studenti non iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti sono iscritti a tre circoli
contemporaneamente.
a = numero di studenti iscritti ad un solo circolo
b = numero di studenti iscritti a due circoli
c = numero di studenti iscritti a tre circoli
{
{
a + b + c
= 500
a + 2b + 3c = 750
b + c
a = 350
(somma pesata)
= 150
2b + 3c = 400
b + c
Ia - IIIa
= 150
3 x IIIa -IIa
b = 50
dalla Ia
c = 100
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi sono diversi circoli. Ogni studente
deve essere iscritto ad un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un massimo di tre.
Le tessere totali emesse dai circoli sono 750. Sapendo che ci sono esattamente 150
studenti non iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti sono iscritti a tre circoli
contemporaneamente.
ha 750 punti
appartenenza al circolo
circoli
=?
= lo studente Caio è socio del circolo Blu
= (Caio, Blu)
studenti
= 500
CORRISPONDENZA (o Relazione) fra insiemi.
appartenenza al circolo
(Caio, Blu) = lo studente Caio è socio del circolo Blu
circoli
=?
= lo studente Caio è socio del circolo Blu
= (Caio, Blu)
studenti
= 500
cosa è una CORRISPONDENZA?
naturalmente dal punto di vista matematico...
(Caio, Blu) = lo studente Caio è socio del circolo Blu
corrispondenza
= (x,y) = x dell’insieme1 è in corrispondenza
con y dell’insieme2
insieme2
coppia ordinata
insieme1
cosa è una CORRISPONDENZA?
naturalmente dal punto di vista matematico...
La corrispondenza totale:
tutto è in corrispondenza con tutto
{ (x,y) tali che x  A e y  B }
insieme2
=B
=AxB
(prodotto cartesiano)
insieme1 = A
cosa è una CORRISPONDENZA?
naturalmente dal punto di vista matematico...
DEFINIZIONE
In generale si chiama corrispondenza fra A e B un
qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B
{ (x,y) tali che x  A e y  B }
insieme2
=B
=AxB
(prodotto cartesiano)
insieme1 = A
corrispondenza
ESEMPI di CORRISPONDENZE
A = {studenti}, B = {circoli},
C = {(x,y): lo studente x è socio del circolo y}
A = {giocatori}, B = {squadre},
C = {(x,y): il giocatore x gioca nella squadra y}
A = {uomini}, B = {donne},
C = {(x,y): x è sposato con y}
A = {numeri reali} = B
C = {(x,y): y è il quadrato di x}
B
C
A
funzione f(x) = x2
ogni funzione è una corrispondenza
DEFINIZIONE In generale si chiama corrispondenza fra A e B un
qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B
AxB
B
(a,b)
b
p1
p2
p1 = prima proiezione
a
A
p1(a,b) = a
p2 = seconda proiezione p2(a,b) = b
Nell’esercizio di partenza ogni coppia (a,b) corrisponde ad una tessera
p1(a,b) = a è il nome sulla tessera
p2(a,b) = b è il circolo che ha stampato la tessera
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi sono diversi circoli. Ogni studente deve
essere iscritto ad un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un massimo di tre. Le tessere
totali emesse dai circoli sono 750. Sapendo che ci sono esattamente 150 studenti non iscritti ad
un solo circolo, determinare quanti studenti sono iscritti a tre circoli contemporaneamente.
B
A
A ha 500 elementi
Tutte le fibre (p1-1(a)) hanno 1, 2 o 3 elementi
La corrispondenza ha 750 elementi
Ci sono 150 elementi di A su cui la fibra non ha un solo elemento
Trovare quante sono le fibre con tre elementi
100
Proprietà delle Proiezioni
B
p1
p2
A
A = {studenti}, B = {circoli},
C = {(x,y): lo studente x è socio del circolo y}
La proiezioni p1 NON è iniettiva
p1 è invece suriettiva
perché ci sono studenti che hanno più di una tessera
perché ogni studente ha almeno una tessera
Non sappiamo se p2 è suriettiva
perché non sappiamo se esistono circoli senza soci
PROBLEMA
p2 può essere iniettiva?
Proprietà delle Proiezioni
B
p1
p2
A
A = {giocatori}, B = {squadre},
C = {(x,y): il giocatore x gioca nella squadra y}
p1 è NON suriettiva
ma E’ iniettiva
p2 è NON iniettiva
ma E’ suriettiva
(!!!)
Proprietà delle Proiezioni
B
p1
A
A = {uomini}, B = {donne},
C = {(x,y): x è sposato con y}
A = {uomini}, B = {donne},
C = {(x,y): x SI è sposato con y}
ogni funzione è una corrispondenza
A = {numeri reali} = B
B
y=x2
A
C
x
funzione f(x) = x2
C = {(x,y): y è il quadrato di x}
p1 è iniettiva
DEFINIZIONE: Una funzione f: X
Y è una
corrispondenza C in X x Y tale che la proiezione
p1 sia iniettiva e suriettiva.
p2 NON è iniettiva!
p1(p2-1(4)) = { -2, 2 }
In Informatica le corrispondenze sono
DATABASE
Un Database semplice è una tabella
campi
STUDENTI
CIRCOLI
Giovanni Giovannoni
Blu
Piera Pieroni
Blu
Giuseppe Giusepponi
Giallo
Caio Caioni
Blu
Elisa Elisoni
Rosa
Piera Pieroni
Verde
Piera Pieroni
Arancione
Giovanni Giovannoni
Arancione
...
...
record
E’ evidente che, da un punto di vista
logico, il database a fianco contiene
esattamente
le
informazioni
della
corrispondenza dell’esercizio di partenza.
STUDENTI
CIRCOLI
Giovanni Giovannoni
Blu
Piera Pieroni
Blu
Giuseppe Giusepponi
Giallo
Caio Caioni
Blu
Elisa Elisoni
Rosa
Piera Pieroni
Verde
Piera Pieroni
Arancione
Giovanni Giovannoni
Arancione
...
...
TABELLA studcirc
p2
p1
Lavorare sulle fibre in Informatica corrisponde a fare delle QUERY
p1-1(Giuseppe Giusepponi)
p2(p1-1(Giuseppe Giusepponi))
SELECT DISTINCTROW FROM
studcirc WHERE
studcirc.studenti =
‘’Giuseppe Giusepponi’’
SELECT studcirc.circoli FROM
studcirc WHERE
studcirc.studenti =
‘’Giuseppe Giusepponi’’
linguaggio SQL
DATABASE
molte TABELLE collegate
SQL
linguaggio di costruzione delle
fibre e loro strutturazione
PHP
linguaggio per la manipolazione
dei dati estratti dalle fibre
HTML
linguaggio
per
umana dei risultati
l’interfaccia
STUDENTI
CIRCOLI
Giovanni Giovannoni
Blu
Piera Pieroni
Blu
Giuseppe Giusepponi
Giallo
Caio Caioni
Blu
Elisa Elisoni
Rosa
Piera Pieroni
Verde
Piera Pieroni
Arancione
Giovanni Giovannoni
Arancione
...
...
TABELLA studcirc
p2
p1
IDENTIFICATIVO dello studente
- codice fiscale
- matricola
- ORCID
perché dobbiamo sapere con
esattezza a chi si riferisce ogni
tessera
....
in altri termini:
p1 DEVE ESSERE UNA FUNZIONE
NB anche p2 deve essere una funzione, ma qui il nome del circolo può essere
adeguato come identificativo
ma torniamo al
problema iniziale
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi
sono diversi circoli. Ogni studente deve essere iscritto ad
un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un
massimo di tre. Le tessere totali emesse dai circoli sono
750. Sapendo che ci sono esattamente 150 studenti non
iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti
sono iscritti a tre circoli contemporaneamente.
il Matematico DEVE essere curioso ...
QUALI ALTRE INFORMAZIONI
SI RICAVANO DAL
PROBLEMA INIZIALE?
ma torniamo al
problema iniziale
PROBLEMA : In una scuola che conta 500 studenti vi
sono diversi circoli. Ogni studente deve essere iscritto ad
un circolo e si può iscrivere a più circoli, fino ad un
massimo di tre. Le tessere totali emesse dai circoli sono
750. Sapendo che ci sono esattamente 150 studenti non
iscritti ad un solo circolo, determinare quanti studenti
sono iscritti a tre circoli contemporaneamente.
possiamo conoscere quanti studenti fanno parte di 3 circoli
e quanti fanno parte di esattamente 2 circoli
(100)
(50)
possiamo sapere quanti circoli ci sono?
minimo 3
e senza circoli vuoti?
e senza COMBINAZIONI vuote?
e con circoli EQUIDISTRIBUITI?
massimo
∞
massimo
750?
PROBLEMA : Le tessere totali emesse dai circoli sono 750. Ci sono 350 studenti iscritti a
un solo circolo, 50 studenti iscritti a esattamente 2 circoli e 100 studenti iscritti a 3 circoli.
Mettiamo che non ci siano circoli vuoti o formati da un solo studente.
Quanti circoli (diversi) ci sono AL MASSIMO?
750 tessere, ogni circolo emette almeno due tessere
Ma 375 è davvero il massimo?
studenti con una tessera
175 circoli
C’è una soluzione con 375 circoli?
studenti con due tessere
50 circoli
non più di 750:2
= 375 circoli
studenti con tre tessere
divisi in gruppi di 4
150 circoli
BLOCK DESIGN
= 375 circoli
BLOCK DESIGN
Marco Guerrini
«Fusibile»
estrazione a sorte delle contrade
minimo numero di biglietti
per avere un ambo
24 ...
23 ...
22 ...
???
variazioni sul tema
PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi
in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e
25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e
10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti
fanno parte di tutti e tre i gruppi?
sempre test di ingresso a Medicina
p2
25
14
11
p1
p2 ha 3 fibre di 11,
14 e 25 elementi
p1 ha 15 fibre con
1 elemento e 10
fibre con 2 elementi
poiché  (fibre di p1) =  (fibre di p2) = (n. di elementi della corrispondenza)
inoltre  (fibre di p1) = 1·15 + 2·10 + 3·x
(x = numero cercato)
allora 15 + 20 + 3·x = 50
da cui
x=5
CORRISPONDENZA
TABELLA
MATRICE
matrice = tabella numerica
matrice associata ad una corrispondenza
circolo
blu
giallo
rosa
0
0
1
1
0
0
0
0
1
grigio beige
studente
Giuseppe Giusepponi
Piera Pieroni
Giovanni Giovannoni
...
0 = falso, 1 = vero
0
1
0
...
1
0
1
matrice di 0,1 SPARSA
Matrici Logiche
PROBLEMA :
Ad una festa in maschera, durante il Carnevale
di Venezia, partecipano i quattro famosi personaggi:
Arlecchino, Brighella, Colombina e Pantalone.
Ciascuno è travestito da uno degli altri personaggi.
E non ci sono due travestimenti uguali.
Brighella non è vestito da Arlecchino.
Pantalone non porta i pantaloni.
Come è vestita Colombina?
corrispondenza
A
A rlecchino
B
B righella
C
Colombina
P
Pantalone
è vestito da
A
B
C
P
A
0
1
0
0
B
0
0
0
1
C
1
0
0
0
0
0
1
P
0
Ciascuno è travestito
da uno degli altri
personaggi.
Brighella non è vestito
da Arlecchino.
Pantalone non porta i
pantaloni
E non ci sono due
travestimenti uguali.
1 = è vestito da
0 = non è vestito da
Colombina è vestita da Arlecchino.
f:
A
B
C
P
A
0
0
0
B
0
1
0
0
1
C
1
0
0
0
P
0
0
1
0
A
B
C
P
matrice
di verità
A
B
C
P
"è vestito da"
CALCIATORI
SQUADRE
CAMPIONATO
Luigi Buffon
Juventus
2015/16
Keisuke Honda
Milan
2015/16
Andrea Pirlo
Juventus
2014/15
Samir Handanovic
Inter
2014/15
Goncalo Higuain
Napoli
2015/16
Samir Handanovic
Udinese
2011/12
Francesco Totti
Roma
2014/15
Goncalo Higuain
Napoli
2014/15
...
...
TABELLA
calcio
DATABASE (o corrispondenza) TRIDIMENSIONALE
sq
ua
dr
e
p2
campionati
p1
p3
calciatori
relazione fra
n insiemi
database n-ario:
ogni record ha n campi
ESEMPIO:
database sul Palio
Palio
Contrada
Cavallo
Fantino
Luglio 15
Torre
Morosita
Brio
Agosto 15
Selva
Polonski
Tittia
...
dimensione 4
???
...
Come era ovvio, come era necessario il rapporto dei
lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9!
Arthur Clarke
2001: Odissea nello spazio
E quale ingenuità avere immaginato che la
sequenza terminasse a quel punto, con appena
3 dimensioni!
...
CORRISPONDENZA
corrispondenza
tridimensionale
TABELLA
matrice
tridimensionale
MATRICE
= TENSORE
Joseph
Sylvester
1814-1897
i tensori si applicano allo
studio delle corrispondenze
big data
filogenetica
reti neurali
onde gravitazionali
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione
e Scienze Matematiche
Università di Siena 1240
Grazie per l’attenzione
c
i
a
o