II LEZIONE
Castelmaggiore
11 marzo 2014
La logica dei predicati
Principi fondamentali
della logica classica
• Principio di identità : da ogni affermazione segue se stessa
• Principio di non contraddizione: una affermazione
e la sua negazione non possono essere vere contemporaneamente
• Principio del terzo escluso : o una affermazione è vera
o lo è la sua negazione
• Ex falso quodlibet : dal falso segue tutto
Leggi delle inverse
• Diretta : A→B
• Es. se Tizio ha assassinato Caio allora è passato per vicolo Oscuro
• Inversa : B→A ottenuta scambiando tra loro
antecedente e conseguente
• Es.se Tizio è passato per vicolo oscuro allora ha assassinato Caio
• Contraria: ¬A→¬B ottenuta negando antecedente e
conseguente
•
Es. se Tizio non ha assassinato Caio allora non è passato per vicolo Oscuro
• Contro nominale: ¬B→¬A ottenuta invertendo la
inversa
•
Es. Se Tizio non è passato per vicolo Oscuro allora Tizio non ha
assassinato Caio
Legge delle inverse
•
•
•
•
•
1° legge delle inverse :
se è vera la diretta è vera la contro nominale
se è vera l’inversa è vera la contraria
2° legge delle inverse
Se sopra ad un determinato soggetto ipotesi Hº……H
che esauriscono tutti i casi possibili e queste ipotesi
trattate separatamente implicano rispettivamente tesi
Tº……T che si escludono a vicenda cioè :
• Hº → Tº ….H→Tallora sono valide le inverse delle
implicazioni stabilite cioè : T º→ Hº…..T → H.
Logica dei predicati
• La logica che abbiamo visto la scorsa
lezione si occupa delle proposizioni ( o
enunciati) intese come blocchi unici , cioè
senza analizzare la loro “struttura interna”
• Es. Parigi è in Francia proposizione riferita ad un unico
soggetto ( Parigi )al quale viene attribuita una certa proprietà (quella di
trovarsi in Francia )
•
Tutti i quadrati hanno quattro lati
Es.
proposizione
con più soggetti ( tutti i quadrati ) e a ciascuno di essi viene attribuita una
certa proprietà( hanno quattro lati )
Logica dei predicati
• L’insieme dei concetti e dei procedimenti
che ci consentono di esaminare la
struttura interna di un enunciato formano
la logica dei predicati o calcolo dei
predicati.
• La logica dei predicati contiene come
parte propria la logica degli enunciati
Quantificatori
• I quantificatori come tutti» «alcuni» che, a
differenza dei connettivi della logica
proposizionale, esprimono relazioni tra insiemi
e non tra proposizioni.
• Si tratta dunque di una forma di
ragionamento non proposizionale.
Quantificatori
• Sono quattro gli enunciati di base in cui vengono usati i
quantificatori «tutti» e «alcuni» e le loro rispettive
negazioni «nessuno» «alcuni… non», e sono quattro
gli enunciati che si possono costruire applicando tali
quantificatori a due insiemi A e B, come schematizzato
nel seguente «quadrato delle opposizioni»:
•
•
• Universale affermativa (A) = Tutti gli A sono B.
• Universale negativa (E) = Nessun A è B.
• Particolare affermativa (I) = Alcuni A sono B.
• Particolare negativa (O) = Alcuni A non sono B.
•
I esempio
• Se è vero che “ tutti gli intellettuali sono
interlocutori noiosi” sarà
necessariamente VERA anche UNA
delle affermazioni seguenti :
a)Tutti gli interlocutori sono intellettuali noiosi
b)Nessun interlocutore noioso è intellettuale
c)È falso che alcuni intellettuali non siano noiosi
d)Tutti i noiosi sono intellettuali
e)Tutti gli interlocutori sono noiosi
II esempio
Se è vero che “ non tutti i mali vengono per nuocere
“ sarà necessariamente VERA anche UNA delle
seguenti affermazioni:
a)Nessun male nuoce
b)Se non vengono per nuocere non sono mali
c)Quelli che nuocciono non sono mali
d)Se sono mali non vengono per nuocere
e)Qualche male non viene per nuocere.
III esempio
• A quale delle seguenti affermazioni equivale
la frase : “ non tutti i miopi portano gli
occhiali”
• a)nessun miope porta gli occhiali
• b)tutti i miopi portano gli occhiali
• c)non vi è un miope che non porti gli occhiali
• d)tutti i miopi evitano di portare gli occhiali
• e)C’è almeno un miope che non porta gli
occhiali
Negazione
• La negazione
• Negare una affermazione sembra molto
semplice ma può presentare delle difficoltà.
esempio :
• la negazione di “ Antonio è alto “ non è “ Antonio
è basso “ma“ Antonio non è alto “
• la negazione di “ Nego l’impossibilità di andare
su Giove “ è “ su Giove non si può andare “
• la negazione di “ non esco mai “ non è “ esco
sempre “ ma “ A volte esco “
Negazione
• La negazione di “ per ogni x , p(x) è
vera “ è “esiste almeno un x per cui
p(x) è falsa”
• La negazione di “ esiste almeno un y,
q(y) è vera “ è “ per ogni y , q(y) è falsa
IV Esempio
• Quale delle seguenti affermazioni è la negazione di
Tutti i numeri perfetti sono pari ( non è necessario
sapere che cosa è un numero perfetto ma per vostra
ardente curiosità vi dirò che un numero perfetto è un
numero uguale alla somma dei suoi divisori propri
compreso l’uno ed escluso se stesso : es
6= 1+2+3, sono numeri perfetti : 6.28, 496…..)
a)tutti i numeri perfetti sono dispari
b)almeno un numero perfetto è dispari
c)almeno un numero pari non è perfetto
d)nessun numero pari è perfetto
e)nessun numero dispari è perfetto
V esempio
• La seguente proposizione “ in ogni scuola c’è almeno
una classe in cui sono tutti promossi “ diventa falsa
quando:
A)in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti
bocciati
B)in ogni scuola c’è almeno un bocciato in tutte le classi
C)c’è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in
ogni classe
D)c’è almeno una scuola che ha dei promossi in ogni
classe
E)c’è almeno una scuola in cui c’è una classe che ha
almeno un bocciato
Analisi V esempio
• Risolviamo per passaggi successivi
• Non ( in ogni scuola c’è almeno una classe in
cui sono tutti promossi) =
• c’è almeno una scuola in cui non (c’è almeno
una classe in cui sono tutti promossi )=
• c’è almeno una scuola in cui ogni classe non (
sono tutti promossi ) =
• c’è almeno una scuola in cui in ogni classe c’è
almeno un bocciato
VI esempio
• Alessandro afferma : Se Rossi parte in pole position
arriva primo “
Quale delle seguenti proposizioni è la NEGAZIONE di
quella di Alessandro?
a)Se Rossi non parte in pole position non vince
b)Rossi può non vincere anche se parte in pole position
c)Rossi non vince mai ogni volta che parte in pole position
d)Rossi può non partire in pole position e non vincere
e)Rossi può arrivare primo anche se non parte in pole
position
VII esempio
• Francesca afferma che “ tutti gli studenti di ingegneria
biomedica hanno partecipato almeno una volta al test di
Medicina”. Sapendo che l’affermazione di Francesca è falsa ,
determinare quale delle seguenti situazioni è sicuramente verificata
:
a)Almeno uno studente che ha partecipato al test di medicina non si è
iscritto a ingegneria biomedica
b)nessuno studente di ingegneria biomedica ha mai partecipato al test
di medicina
c)Almeno uno studente di ing.biomedica ha partecipato al test di
medicina
d)almeno uno studente di ing biomedica non ha mai partecipato al test
di medicina.
e)almeno uno studente di ing.biomedica ha superato il test di medicina
VIII esempio
• Negare che “ ogni gatto miagola “equivale
a dire:
• A) C’è un gatto che non miagola
• B)Se non miagola non è un gatto
• C) C’è un gatto che miagola
• D)Ogni gatto non miagola
• E) nessun gatto miagola
I X esempio
•
Un grande teorico dei numeri ha scoperto i numeri troppobelli,e,
avendo osservato che tutti quelli che ha scoperto sono pari,
deduce che esistono solo numeri troppobelli pari.
Un suo allievo afferma che questa congettura è falsa, quindi l’allievo
sostiene:
a)
C’è almeno un numero pari che non è troppobello
b)
Nessun numero pari è troppobello
c)
c’è almeno un numero troppobello dispari
d)
Esiste almeno un numero troppobello che non è pari
e)
Tutti i numeri troppobelli sono dispari.
X esempio
• C’è una casa con almeno due porte; si consideri l’affermazione:
esiste una chiave che apre tutte le porte di casa ma non quella della
cantina.
Indicare quale tra le seguenti frasi costituisce la negazione della
affermazione riportata sopra:
A)Per ogni chiave esiste una porta diversa dalla cantina che viene
aperta dalla chiave o apre solo la porta di cantina
B)Esiste una chiave che apre tutte le porte compresa quella di cantina
C)Esiste una chiave che non apre nessuna porta se non quella di
cantina
D)Nessuna chiave apre tutte le porte
E) Per ogni chiave esiste una porta che non è quella della cantina che
viene aperta da quella chiave
XI esempio
(test ammissione al collegio superiore S Anna
•
A)
B)
C)
D)
“
)
Massimo ha previsto che per ogni domanda di questo test, ci
sarà almeno una risposta sbagliata”.In quale dei seguenti casi la
previsione è sicuramente azzeccata?
Se c’è una domanda che sbagliano tutti
Se ogni studente sbaglia almeno una risposta
Se tutti gli studenti sbagliano la risposta a questa domanda
Se c’è uno studente che sbaglia tutte le risposte
XII esempio
“non c’è alcuna persona che parli
bene l’inglese” è falsa.
• La frase
Questo significa che :
A ) Almeno una persona tra noi parla bene l’inglese
B) Nessuno parla bene l’inglese
C) Tutti parlano bene l’inglese
D)Una sola persona tra noi parla bene l’inglese
E)Pur non essendo inglesi non parliamo bene la lingua.
