3) VARIABILI
CASUALI
3.1) Significato e definizione
La variabile casuale (v.c.) è un modello
matematico in grado di interpretare gli
esperimenti casuali. Infatti gli eventi elementari
che compongono lo spazio campionario
possono essere di qualunque natura (“T” e “C”
nel lancio della moneta, “m” e “f” nella
previsione del sesso del nascituro, “figura”,
“cuori”, “fiori” nell’estrazione da un mazzo di
carte ecc.). Da qui l’esigenza di uno strumento
che trasformi gli eventi elementari in
numeri reali x sui quali è possibile usare la
matematica. Nella “trasformazione” non si deve
trascurare che:
a) ad ogni evento elementare è associata
una probabilità;
b) qualunque insieme di eventi elementari
rappresenta un evento (compreso l’insieme
vuoto che rappresenta l’evento impossibile) con
associata la propria probabilità.
La v.c. è tale strumento.
IMMAGINE E CONTROIMMAGINE
Ogni elemento in , tramite la funzione X(), trova una
“immagine” in un punto di ascissa x della retta R .
Può accadere anche che la stessa ascissa x sia l’immagine
in R di più elementi di , ad esempio se più oggetti
degli n precedenti hanno lo stesso numero x.
Tali oggetti formano un sottoinsieme E di , che è a sua
volta un elemento dell’insieme delle parti al quale la
funzione P ha assegnato la probabilità P(E).
L’ascissa x di R ha quindi la sua controimmagine
nell’elemento E di e di conseguenza si assegna ad x la
probabilità che la funzione P ha attribuito ad E, cioè:
P (X = x) = P (E)
Una variabile casuale verrà intesa come l’insieme delle
coppie di valori:
x1, x1 ,..., xi , xi ,..., x n , x n
con x i 0, i 1,..., n , e
n
x 1,
i 1
i
adottando a
volte anche la notazione (xi)=P(X=xi). Si dirà inoltre che
la v.c. X assume i valori x1,…,xi,…,xn, dove per motivi di
semplicità si pone x1<…<xi<…<xn, con “funzione di
probabilità” (f.p.) (xi), (i=1,…,n).
Ricordiamoci comunque che:
•i valori x1,…,xi,…,xn formano lo spazio numerico
indicato in precedenza con R e tale spazio
rappresenta l’insieme delle immagini in R di eventi le
cui controimmagini sono elementi di B.
• (x) è la funzione che assume quali valori le
probabilità relative all’elemento o agli elementi di B
la cui immagine sull’asse R è rappresentata dall’ascissa
x.
Sotto il profilo grafico il comportamento della f.p.
(x) è del tipo:
(x)
x
0
x1
x2
xi
xn
cioè (x) è costantemente nulla ad eccezione dei
punti di ascissa x1,…,xi,…,xn in cui effettua salti
pari alla probabilità (x1),…, (xi),…, (xn).
La v.c. X è una funzione con dominio nello spazio
campionario e codominio in .
X assegna ad ogni uno ed un solo numero reale x
, detto “valore o determinazione di X”;
un numero reale x può avere più di una
controimmagine in e l’insieme di tali controimmagini
rappresenta un evento (o un evento elementare, o l’evento
impossibile).
Esempio 1:
=lancio contemporaneo di una
moneta e di un dado regolari
1T 2T 3T 4T 5T 6T
1C 2C 3C 4C 5C 6C
X = “punteggio del dado - n. croci” è una v.c.. Essa ha
dominio in e codominio in , poiché ad ogni evento
elementare associa un numero x .
1T 2T 3T 4T 5T 6T 1C 2C 3C 4C
X
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
5C 6C
4
5
Quindi X ha “trasformato” gli eventi elementari in
numeri. In tale trasformazione ha conservato le
probabilità associate a . Infatti:
P (X = 0) = P (1C) = 1/12
P (X = 1) = P (1T) + P (2C) = 2/12 = 1/6
…
…
P (X = 5) = P (5T) + P (6C) = 2/12 = 1/6
P (X = 6) = P (6T) = 1/12
Infine qualunque numero reale x ha come
controimmagine un evento (o un evento ele-mentare o
l’evento impossibile). Ad esempio, la controimmagine,
attraverso X, del numero 5 è l’evento {5T, 6C}= “esce 5
e T oppure esce 6 e C”; la controimmagine, attraverso X,
del nu-mero 0 è l’evento elementare {1C} = “esce 1 e
C”; la controimmagine, attra-verso X, del nu-mero 8 è
l’evento impossibile {} = .
3.2) Funzione di
ripartizione (f.r.)
Definizione: ad ogni v.c. X è associata la f.r. (x) così definita:
(x)
= probabilità che X assuma valori inferiori
o uguali al numero x
= P (X x) = P{(-,x]}=
( xi ) ( x1 ) ( x2 ) ... ( x)
xi x
Proprietà della f.r.:
1. lim ( x) 0
x
e
lim ( x) 1
x
infatti la definizione di (x) mette in luce che si tratta di
una probabilità.
2. Fissati due numeri x e y con x < y allora (x)(y),
cioè la f.r. è monotona non decrescente.
(Le proprietà 1 e 2 garantiscono che la f.r. assume valori
compresi tra 0 e 1).
3. La f.r. gode della proprietà matematica della continuità
(puntuale). In particolare è continua (almeno) a “destra”,
cioè:
lim ( x ) ( x)
0
Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per cal-colare la
seguente probabilità:
dati 2 numeri a e b, con a<b si ha:
P (a<X<b) = P (Xb) - P (Xa) = (b) - (a)
in quanto:
P( X b) P( X a ) P(a X b)
da cui:
P(a X b) P( X b) P( X a )
( b ) (a )
e graficamente:
(x)
1-
x
0
x1
x2
xi
xn
che è una funzione a gradini del tipo:
0
x
1
x1 x2
x
x1 x2 ... xi
x1 x2 ... xn-1
1
per - x x1
per x1 x x2
per x2 x x3
per xi x xi 1
per xn-1 x xn
per xn x
Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per calcolare la seguente probabilità:
dati 2 numeri a e b, con a<b si ha:
P (a<X<b) = P (Xb) - P (Xa) = (b) - (a)
3.3) V.c. discrete e
continue
X è v.c. discreta se il suo dominio è un insieme
finito o infinito numerabile.
Caratteristiche di una v.c. discreta
1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è
finito o infinito numerabile.
2. Generalmente le determinazioni x di X sono
numeri interi.
3. Le probabilità associate alla v.c. X sono
interpretate da una funzione detta di probabilità.
X è v.c. continua se il suo dominio è un
insieme infinito non numerabile cioè con la
potenza del continuo.
1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è
infinito non numerabile (ad esempio coincide
con o con un intervallo).
2. Perdono di significato i singoli punti x ed è
necessario procedere con riferimento ad
intervalli.
3. Le probabilità associate alla v.c. X sono
interpretate da una funzione detta di densità.
Esempio 2:
la v.c. dell’esempio 1 è discreta perché assume
i 7 valori x = 0,1,2,3,4,5,6.
La v.c. interprete del peso dei neonati che nasceranno nella prossima ora nella clinica XXX
della città YYY è uin esempio di v.c. continua.
Il peso dei neonati è infatti un numero x appartenente ad un intervallo di , ad esempio
x (2000, 5000) grammi.
V.c. continue
La figura mostra un esempio di funzione di densità di
probabilità, dove in ascissa ci sono le X ed in ordinata
le densità associate ai valori di X. La curva continua
deriva dai rettangoli facendo tendere a 0 la base degli
stessi.
3.4) Funzione di
probabilità (f.p.)
1. 0<p(x)1
Infatti la definizione di p(x) mette in luce che si tratta di
una probabilità
2.
p( x) 1
x
La somma delle probabilità associate a tutti i valori x
della v.c. X vale 1. Tale somma coincide, infatti, con P().
Esempio 1 (continua):
la v.c. X = “punteggio del dado - n.
delle croci” è v.c. discreta perché può
assumere i soli
valori x = 0,1,2,...,6.
X ha f.p.:
x 0,6
1 / 12
p( x)
2 / 12 1 / 6 x 1,...,5
con 0 p(x) 1 e
6
1
1
p ( x) 2 5 1.
12
6
x 0
X ha anche f.r.: (x) = P (Xx) =
p( y )
y x
Ad esempio con a = 3 e b = 5 si ha:
P(a<Xb) = P(3<X5) = (5)-(3) =
p( y ) p( y )
y 5
y 3
= [p(5) + p(4) + p(3) + p(2) + p(1) + p(0)] - [p(3) +
p(2) + p(1) + p(0)] = p(5) + p(4) = =1/6 + 1/6 = 2/6 =
1/3
Osservazione:
(3<X5) rappresenta l’evento {4T, 5C, 5T, 6C}.
3.5) Funzione di
densità (f.d.)
Se X è una v.c. continua, le probabilità che rimangono
associate ai valori di X sono interpretate dall’area sottesa a
una funzione (x) detta f.d.
Esempio 3:
sia X la v.c. che assume i valori x
dell’intervallo [0,4]. Allora x è v.c.
continua.
Sia
0.25 0 x 4
( x)
altrove
0
La f.d. di X.
Graficamente (x) è composta dai 3 segmenti:
(x)
0.25
-
0
4
+
x
L’area sottesa a tali segmenti esprime la probabilità
associata all’insieme di valori di X.
Ad esempio:
P(1X 3) = (3 - 1)0.25 = 0.5
(x)
0.25
-
+
x
0
1
3
4
Osservazioni:
• l’area totale sottesa a (x) è pari a 1 e coincide con P();
• (1 X 3) rappresenta un evento;
• poiché X è continua le probabilità puntuali sono nulle.
Infatti: P(X = x) = area sottesa ad un punto di (x) = 0
poiché l’area sottesa ad un punto è, come si intuisce, nulla. È
per tale motivo che nel caso continuo occorre procedere con
riferimento ad intervalli;
• per l’osservazione precedente gli eventi (a X b), (a X <
b) e (a < X < b)hanno tutti la stessa probabilità, poiché, ad
esempio, P(a X b) = P(a < X < b) + P(X = a) + P( X = b)
= P(a < X < b) + 0 + 0;
• anche la v.c. X continua ha associata la f.r. (x) = P(X x).
Poiché i valori minori o uguali a x rappresentano l’intervallo
(-, x] allora la f.r. per x continua è rappresentata dall’area
sottesa alla f.d. (x) a sinistra del punto x.
Esempio 3 (continua)
(x) = P(X x) = (x - 0)0.25 = 0.25 x
(x)
0.25
-
+
x
0
x
4
3.6) Valore atteso
(media) di una v.c.
Il valore atteso (media) di una v.c. X è un numero che
informa sull’ordine di grandezza e sulla “tendenza centrale”
(baricentro) di X. La media della v.c. X si calcola
attraverso l’operazione E(X) che è diversa a seconda che X
sia discreta o continua.
Se X è discreta l’operazione E(X) consiste nel sommare
tutti i prodotti fra i valori di x ed il corrispondente valore
della funzione di probabilità p(x). Formalmente:
E ( X ) x p( x) x P( X x).
x
x
Se X è continua il calcolo del valore atteso richiede
l’operazione di integrale che è strumento non contemplato
tra gli obbiettivi di questo eserciziario.
È quindi possibile scambiare tra loro i simboli e E
comunque siano le v.c. Xi sommate.
Esempio 1 (continua)
la media della v.c.
X = “punteggio del dado - n. di croci” è
6
E X x p x
x 0
= 01/12 + 11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 +
+ 51/6 + 61/12 = 36/12 = 3.
3.7) Varianza di una
v.c.
La varianza 2 = V(X) di una v.c. Xè un numero
positivo che informa circa la dispersione dei valori X
intorno alla media ed è così definita:
2 V X E X E X 2 E X 2 .
V(X) si calcola attraverso l’operazione di valore atteso
E. ad esempio, se X è discreta si ha:
V X E X x p x .
2
2
x
Esempio 1 (continua):
la varianza della v.c.
X = “punteggio del dado - n. di croci” è:
6
V X E X x 3 p x
2
x 0
2
= (0 - 3)21/12 + (1 - 3)21/6 +
+ (3 - 3)21/6 + (4 - 3)21/6 + (5 - 3)21/6 +
+ (6 - 3)21/12 = 38/12 = 3.16
