Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.1
Una lettura della storia dell’algebra alla
luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento
Fulvia Furinghetti
Gruppo Ricerca Educazione Matematica
Genova
Dipartimento di Matematica dell’Università
di Genova
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.2
Dictionnaire des mathématiques ou idée
générale des mathématiques di Ozanam
(1691, Amsterdam)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 1.3
L’algebra è come il gatto del Cheshire …
The algebrization of mathematics, Samuel
Eilenberg (1969)
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Che cosa è l’algebra e che cosa è
stata nella storia?
(Freudenthal, What is algebra and
what has been in history, 1976)
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d’insegnamento/apprendimento 1.5
L’algebra è ...
1. simbolismo operazionale
2. attenzione alle relazioni matematiche
più che agli oggetti matematici, le quali
relazioni determinano le strutture che
costituiscono l’oggetto dell’algebra
moderna. Il modo di pensare algebrico è
quindi basato su una logica relazionale
più che predicativa
3. libertà da ogni questione ontologica e
coinvolgimento, e, legato a ciò,
astrazione piuttosto che intuizione
Michael Mahoney (1971)
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Si cercherà di capire che cosa è l’algebra
attraverso ciò che è stata nella storia
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Argomenti trattati
• parametri, variabili, …algebra scolastica
• visualizzare l’algebra e scrivere la
geometria
• metodi approssimati e quasi-euristici
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Autori trattati
•Anonimi
• Euclide
• Pappo
• Diofanto
• Al-Khwarizmi
• Viète
• Descartes
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Argomenti non trattati
• esplicitazione delle strutture
• storia dell’insegnamento dell’algebra
• note biografiche
Storia usata come
• lente di ingrandimento per districare
i nodi concettuali
• fonte di problemi
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d’insegnamento/apprendimento 1.10
Filo rosso: metodo di analisi e sintesi
• nasce dalla storia (Pappo, Viète, ...)
• va in classe (Smith, Sabbatini,
Campedelli)
• torna alla storia e va in classe
(insegnante: Annamaria Somaglia,
autore del percorso scelto)
flash back
flash, ma non pezzi separati
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d’insegnamento/apprendimento 1.11
David Eugene Smith The teaching of
geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How
to attack the exercises (pp.161-162)
“Riguardo alla dimostrazione, di solito lo
studente vagola più o meno finché
imbrocca la via giusta e la segue fino alla
conclusione.
Non
deve
essere
rimproverato se fa questo, perché segue il
metodo che si è seguito e si seguirà da
che mondo è mondo. Questo è il metodo
sintetico, costruire la dimostrazione da
proposizioni precedentemente provate”
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David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises
(pp.161-162)
“Ma si dovrebbe dire agli studenti che
se essi non trovano abbastanza
facilmente le proposizioni necessarie
per
costruire
la
dimostrazione,
conviene che non rimandino di
rivolgersi ad un altro e più sistematico
metodo. Questo è noto come il metodo
di analisi ed è applicabile a teoremi ed
a problemi.”
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d’insegnamento/apprendimento 1.13
David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161162)
“Ha molte forme, ma per lo studente
non sono poi così importanti queste
distinzioni, bensì basta dargli l’idea di
base di queste forme, un’idea che risale
a Platone (V sec. a.C.).”
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David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161162)
“Per un teorema, il metodo di analisi
consiste nel ragionare come segue:
posso provare questa proposizione se
posso provare questa cosa; posso provare
questa cosa se posso provare questa;
posso provare questa se posso provare
una terza cosa”.
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David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston)
Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)
“Questo non prova la proposizione, ma
permette allo studente di rovesciare il
processo, iniziando con la cosa che può
provare e andando indietro, passo passo, alla
cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il
suo metodo di scoperta del modo in cui può
sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli
studenti spesso si chiedono come uno ha
fatto a farsi venire in mente come sistemare
le dimostrazioni in geometria e questo
[l’analisi] risponde alla domanda.”
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David Eugene Smith The teaching of geometry (1911,
Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)
“Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato
fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che
poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha
provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo
stesso che nel caso del teorema. Invero, sono
coinvolte due cose invece di una, perché in questo
caso si deve fare la costruzione e poi provare che
essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone
il problema risolto e vede che risultati seguono.
Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere
questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la
cosa funziona, espone il processo e la
dimostrazione risultante.”
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d’insegnamento/apprendimento 1.17
In un triangolo ABC disegnare la retta PQ
parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P
e Q, cosicché PQ vale AP + BQ
