Orientamento universitario

Orientamento universitario
Matematica, statistica, probabilità
Risoluzione di problemi logico-matematici
• tipologia di ragionamento che utilizza le
capacità spazio-numeriche dello studente.
• Lo scopo di questa tipologia di quesiti è
ricercare o creare una soluzione logica al
problema dato.
Risoluzione di problemi logico-matematici
In ciascun quesito viene presentato uno scenario
iniziale (“stimulus”) che onsiste generalmente in un
testo, a cui fanno seguito una domanda e cinque
risposte. Una sola di esse costituisce la risposta esatta
mentre le restanti quattro (i cosiddetti “distrattori”)
sono sbagliate. Lo “stimulus” può includere anche una
tabella esplicativa (ad esempio un tabellone con gli
orari dei treni alla stazione) sia nella domanda sia nelle
risposte
Parte prima
• I Fondamenti: cosa bisogna sapere per
affrontare i test
Conoscenze e capacità matematiche richieste
per la risoluzione di problemi logico-matematici
Concetti numerici
• Conoscenza e uso di frazioni semplici
• Valore posizionale (ad esempio, sapere che il “5”
nel numero 7654 rappresenta la decina, ovvero
“50”, oppure che in 0,0576 il “7” rappresenta il
millesimo)
• Nozioni circa le percentuali (ad esempio, l’idea che
1% può essere inteso come “1 su 100” e che se il
20% di un gruppo di persone sono uomini, il
restante 80% devono essere donne)
Conoscenze e capacità matematiche richieste
per la risoluzione di problemi logico-matematici
Concetti numerici
Le quattro operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione)
Frazioni e proporzioni
Operazioni con percentuali: problemi riguardanti il calcolo di uno
sconto (ad esempio: se qualcosa viene solitamente venduto a € 10 ma
ora viene venduto con il 20% di sconto, quanto costerà? Oppure, se un
prodotto a cui è applicato il 25% di sconto viene venduto a € 27, quale
era il suo costo iniziale?) e problemi con i tassi di interesse (ad
esempio: a quanto ammonta l’interesse che fruttano € 500 investiti per
3 anni ad un tasso annuo del 5%?)
Calcoli in contesti comuni (non sono richiesti calcoli complessi con
frazioni e decimali, ma si richiede la conoscenza del calcolo della
media)
Calcoli semplici
24. Luigi vuole andare in piscina domenica mattina e avrà bisogno di portarsi monete a
sufficienza per pagare la tariffa del parcheggio adiacente alla piscina. Le tariffe
sono le seguenti:
Luigi utilizzerà il parcheggio dalle 9.15 alle 10.45. Quanto spenderà Luigi per
parcheggiare la macchina?
A) € 1,00
B) € 1,60
C) € 1,80
D) € 2,00
E) € 1,30
Calcoli semplici
Francesco acquista dei bigliettini per invitare alcuni amici alla sua
festa di compleanno. In cartoleria i bigliettini vengono venduti
singolarmente al prezzo di € 0,43 l’uno, oppure in confezioni da 6
al prezzo di € 1,92 a confezione. Francesco acquista 8 confezioni.
Dopo avere spedito gli inviti si rende conto che gli sono serviti
solo 38 bigliettini.
Quanto ha speso Francesco più del necessario per acquistare i
bigliettini di invito?
A. € 3,64
B. € 2,98
C. € 4,70
D. € 1,72
E. € 1,06
Calcoli semplici
Il servizio di autobus Bologna-Parma ha una corsa diretta che
parte ogni 12 minuti da ciascuna delle due città. Il servizio ha
inizio contemporaneamente in entrambe le città. Il tragitto
richiede 1 ora e 5 minuti in ciascuna direzione e gli autobus
sostano per almeno 5 minuti presso la stazione di arrivo. Qual è
il numero minimo di autobus necessari per fornire il servizio?
A)
12
B)
8
C)
11
D)
6
E)
10
Media
Chiara, Diana, Elisa, Federica e Grazia appartengono ad una squadra femminile di
calcetto 5 contro 5. Dopo aver giocato 20 partite, Chiara ha segnato in media 1,2
gol a partita, Diana 0,6 gol a partita e Elisa 0,75 gol a partita. Le altre giocatrici,
Federica e Grazia, non hanno segnato alcun gol. Durante le 5 partite seguenti,
Chiara segna in totale altri 6 gol, mentre Diana, Elisa e Federica segnano ciascuna 1
gol e Grazia non ne segna nemmeno uno.
Qual è in media il numero di gol segnati per partita dall’intera squadra
dopo 25 partite?
A.
B.
C.
D.
E.
2,55
12,00
0,48
2,40
0,60
Indicatori statistici
Media aritmetica
Dati cinque numeri: 10, 13, 9, 5, 12 qual è la media?
Media ponderata
In una classe di 25 studenti, 5 hanno la media di 8, 9 di 7, 6 di 6,
3 di 5, 2 di 2, qual è la media della classe?
Mediana
In una classe distribuisco il compito di storia a 5 ragazzi con
questi voti: 8, 7,50, 7,25, 5, 4, qual è la mediana
Moda
In una classe di 25 studenti: 5 portano le All Stars, 8 gli Ugg, 2 le
dr Martens, 4 Ishikawa, 6 altre. Qual è la moda
Esempi dai test
Uno studente ha avuto 5 e mezzo nei primi due
compiti. Quale voto deve raggiungere nel terzo
compito per avere almeno la media del 6
A non ce la può fare ;-)
B 6 e mezzo
C 5 e mezzo
D6
E7
Esempi dai test
In una serie ordinata di 41 dati la mediana è
A la media fra il 20° e il 21° dato
B un dato compreso fra il 20° e 21°
C il 21° dato
D il 20° dato
E la media fra il 19° e il 20° dato
Esempi dai test
Nelle prime 10 partite del campionato una squadra ha segnato il
seguente numero di reti:
0 0 1 1 2 2 2 3 5 6
Qual è la somma di media, mediana e moda delle reti
segnate nelle dieci partite?
A.
B.
C.
D.
E.
6,0
7,7
6,7
6,5
6,2
Serie
• Bisogna interpretare il criterio della serie,
sperando che sia quello scelto dal creatore del
test
• 1,2,3,4,…
• 2,4,8,16,…
• 81,27,9,…
• 1,1,2,3,5,8,…
• 21,12,36,63,99,…
Esempi dai test
Il 4% del 20% di un numero è 1: qual è il numero
A 125
B 20
C 80
D 16
E 24
Percentuali
• La percentuale corrisponde ad una frazione
con denominatore
• Dire il 37% o scrivere 37/100 o 0,37 è la stessa
cosa
• Indica quanti casi si verificano su una
popolazione a base 100
• In una classe di 25 alunni ci sono 17 ragazze,
qual è la percentuale di maschi
• 25-17= 8  8:25=x:100 x= 800/25= 32%
Esempi dai test
Il valore di un’azione è cresciuto da 8€ a 13,60€.
Qual è stata la variazione percentuale
A 41%
B 70%
C 75%
D 136%
E 65%
Esempi dai test
La tipografia “Marconi” ha deciso di stampare il nuovo elenco
telefonico in caratteri più piccoli per risparmiare carta. Di
conseguenza, ora si possono stampare 4 colonne per pagina
invece di 3. Ogni colonna contiene, inoltre, il 25% in più di
nominativi rispetto al vecchio elenco che aveva 750 pagine.
Quante pagine ha il nuovo elenco telefonico?
A. 300 pagine
B. 250 pagine
C. 450 pagine
D. 500 pagine
E. 600 pagine
Conoscenze e capacità matematiche richieste
per la risoluzione di problemi logico-matematici
Quantità
• Il tempo e il calendario
• Valute e conversione
• Unità di misura
Unità di misura
Lunghezza
Peso
Superficie
Volume
(capacità)
chilometro (km)
chilogrammo (kg)
centimetro
quadrato (cm2)
centimetro cubo
(cm3)
metro (m)
grammo (g)
metro quadrato
(m2)
Litro (l)
centimetro (cm)
millimetro (mm)
È richiesta anche la conoscenza delle seguenti relazioni:
1 km = 1000 m
1 m = 100 cm
1 cm = 10 mm
1 kg = 1000 g
È richiesta, inoltre, la conoscenza delle unità di misura utilizzate informalmente nella
vita quotidiana ma non delle loro relazioni numeriche.
Tempo e calendario
Si danno per acquisite le conoscenze relative a:
Secondi, minuti, ore, giorni
Settimane
Mesi
Anni
Anno bisestile
Sono considerate facili domande del tipo
Se il 5 febbraio 2016 è un venerdì, cosa sarà il 7 marzo 2017
A. Venerdì
B. Sabato
C. Domenica
D. Lunedì
E. Martedì
Calendario
Paolo lavora dal lunedì al venerdì e, a settimane
alterne, anche il sabato.
Qual è il numero
massimo di giorni lavorativi di Paolo in un mese?
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
E. 21
Calendario
L’orologio di una chiesa suona le ore battendo il numero
corrispondente di rintocchi ogni ora dalle 9 di mattina (9
rintocchi) alle 9 di sera (9 rintocchi) e un rintocco alla mezz’ora in
questo arco di tempo. Per il resto del tempo non batte alcun
rintocco.
Qual è il numero totale di rintocchi che l’orologio batte
ogni giorno?
A)
99
B)
89
C)
90
D)
100
E)
103
Conoscenze e capacità matematiche richieste
per la risoluzione di problemi logico-matematici
Spazio
• Perimetro
• Area
• Volume
Perimetro
Due figure uguali a forma di L sono state ricavate da un quadrato
che misura 10 cm × 10 cm. Il restante quadrato centrale misura
2 cm per lato.
Qual è il perimetro di una delle due figure ritagliate a
forma di L?
A.
B.
C.
D.
E.
30 cm
28 cm
34 cm
32 cm
36 cm
Area
Un agricoltore possiede un vasto appezzamento di terreno
delimitato da un ripido strapiombo e intende recintare un campo
rettangolare all’interno di tale terreno. Per realizzare questo
progetto ha acquistato 16 pannelli da recinzione di 2 m ciascuno
(che non possono essere tagliati) e utilizza la parte dello
strapiombo come uno dei lati per delimitare l’appezzamento.
Quanto misura in metri quadrati la superficie più ampia
che può essere recintata?
A. 256 m2
B. 32 m2
C. 56 m2
D. 128 m2
E. 64 m2
Percorso
Un reticolo stradale consiste in una serie di strade percorribili da nord a sud e in
una serie di strade percorribili da est a ovest. A ogni intersezione vi è una
rotatoria. A causa di alcuni lavori in corso, Michele non può percorrere il tragitto
con la sua auto direttamente dal punto X al punto Y: partendo dal punto X,
viaggia verso est per 2 minuti, quindi in direzione nord per 3 minuti, poi in
direzione ovest per 2 minuti, infine verso nord per 3 minuti fino a raggiungere il
punto Y.
Se Michele viaggia a una velocità media di 30 km/h in ogni tratto del suo
percorso, qual è la distanza in linea d’aria tra il punto X e il punto Y?
A.
B.
C.
D.
E.
2 km
3 km
4 km
5 km
9 km
Conoscenze e capacità matematiche richieste
per la risoluzione di problemi logico-matematici
Generalizzazioni
• Riconoscere che un’operazione può essere
generalizzabile. Ad es. che le coppie 3 e 24 e 5 e 40
hanno qualcosa in comune
• Tabelle e grafici: saper ricavare informazioni
Lettura di tabella
17.
La tabella sottostante riporta la classifica del campionato di calcio di Serie A
della Bolandia con il numero di partite giocate ed il punteggio totalizzato da ogni squadra.
Le 3 squadre in coda alla classifica retrocederanno in Serie B.
Ogni squadra dovrà giocare un totale di 38 partite durante la stagione. I punti vengono
assegnati come segue: Vittoria 3 p. – Pareggio 1p. – Sconfitta 0p.
Che cosa si può dedurre dalla classifica sopra riportata?
A. In questo campionato il punteggio massimo raggiungibile sarà di 92 punti
B. La squadra Indaco potrà ottenere il dodicesimo posto in classifica
C. Una qualsiasi squadra con 42 punti alla fine della stagione non retrocederà
D. I Grigi saranno sicuramente tra i primi 10 in classifica a fine campionato
E. Ai Gialli basterà vincere solamente una delle rimanenti partite per superare i Verdi in
classifica
Lettura di tabella
Il mese scorso 5 squadre di pallavolo hanno partecipato a un mini-campionato. Ciascuna
squadra ha giocato contro ogni altra squadra due partite. In totale sono state giocate 20
partite. Non vi era possibilità di pareggio, ma solo di vittoria o sconfitta. La tabella riporta
solo alcuni dei risultati ottenuti a fine campionato:
Quante partite ha vinto la Squadra III?
A. 3
B. 4
C. 2
D. 6
E. 5
Numero fattorial
Un numero N di squadre che devono incontrarsi tutte fra di loro una sola volta viene calcolato
con un numero fattoriale. Il numero delle partite P è così definito
P=N!
N! si calcola così:
(N-1)+(N-2)+…(N-N)
Nel nostro caso
5 squadre
P= 5!
(5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)= 4+3+2+1+0=10
Dato che si incontrano due volte il totale dà 20
Ogni singola squadra incontra le altre 4 due volte cioè fa 8 incontri
Ecco allora la tabella
Squadra I
6
2
Squadra II
1
7
Squadra III
5
3
Squadra IV
2
6
Squadra V
6
2
Probabilità
• Probabilità semplice: casi favorevoli/casi
possibili
• Es: quanti numeri pari su un lancio di dado?
• Evento compatibile /incompatibile
• C = Un numero pari, minore di 5
• I = Minore di 2, pari
• Probabilità: se incompatibile = somma
• Se compatibile = somma - intersezione
Esempi Probabilità complessa
Quante possibilità ho che esca, da un mazzo di
carte da 52:
• un re o un sette?
• Un fiori o un cuori?
• Un fiori o un re?
• Un asso di cuori o una carta minore di 5?
• Un picche e una donna?
Esempi dai test
Un’urna contiene 100 palline numerate da 1 a
100. La probabilità che estraendo una pallina
essa rechi un numero divisibile per 6 è pari a:
A 33/100
B 8/25
C 4/25
D 3/20
E 17/100
Esempi dai test
Una copia vuole avere due figli dello stesso
sesso: quanti figli deve avere per essere sicura
che almeno due siano dello stesso sesso
A4
B2
C3
D più di 4
E non si può sapere
Probabilità: prodotto logico
• Evento indipendente o dipendente
• I: tiro il dado, poi lo ritiro di nuovo
• D: estraggo una carta, poi, senza rimetterla nel
mazzo, estraggo di nuovo
• Calcolo: prodotto se indipendenti
• Prodotto tenendo conto dell’evento
precedente
Probabilità: prodotto logico
• Esempio dettagliato
• Mazzo da 52, estrarre tutti i 4 re senza
rimettere nel mazzo
• I re sono 4 su 52, quindi 1/13
• Alla prima estrazione 1/13, alla seconda 3/51,
alla terza 2/50, alla quarta 1 /49
• Si moltiplica 1/13*3/51*2/50*1/49=
6/1624350= 1/270725
Esempi dai test
Lanciando tre volte una moneta non truccata
qual è la possibilità che esca tre volte croce
A 1/8
B 0,3
C0
D 8/3
E 3/8
Esempi dai test
Da un mazzo di carte da 40 (10 di ogni seme) si
estraggono 3 carte senza rimetterle dentro. Qual
è la probabilità che siano tutte e tre fiori?
A 9/800
B 11/247
C 3/247
D 7/10
E 25/1482
Esempi dai test
In un gruppo di studenti 2/5 sono maschi e 1/3 studia matematica. La probabilità che uno
studente maschio scelto a caso nel gruppo studi matematica è data come p.
Quale delle seguenti risposte esprime correttamente l’intervallo dei valori di p ?
A. 0 ≤ p ≤ 5/6
B. 0 ≤ p ≤ 1/3
C. 1/3 ≤ p ≤ 2/5
D. 1/3 ≤ p ≤ 1
E. 2/5 ≤ p ≤ 5/6
Risoluzione di problemi logico-matematici
Le tre tipologie di domande di risoluzione di
problemi logico-matematici sono:
• Selezione attinente
• Ricerca delle procedure
• Identificazione delle similitudini
Selezione attinente
Molto spesso nella risoluzione di un problema nella vita reale ci
si trova ad avere un eccesso di informazioni, la maggior parte
delle quali irrilevanti ai fini della soluzione. Il primo passo nella
risoluzione di un problema è decidere quali delle informazioni a
disposizione siano importanti. È possibile che la domanda
fornisca delle informazioni non importanti, addirittura ridondanti
e talvolta fuorvianti. Lo scopo di tale tipologia di domande è
quello di selezionare esclusivamente le informazioni necessarie
ed utili a trovare una soluzione.
Selezione attinente
La seguente tabella riporta i prezzi di diverse scale. Il sig. Rossi vuole acquistare una
scala lunga almeno 8 m per raggiungere le grondaie di casa sua e vuole tenerla nel suo
garage che però è lungo solo 4,2 m.
Qual è il costo più basso che può sostenere il sig. Rossi per acquistare una scala che
soddisfi tutte le condizioni sopra elencate?
A € 78
B € 98
C € 133
D € 150
E € 169
Ricerca delle procedure
Talvolta può succedere che, pur avendo selezionato
correttamente le informazioni rilevanti, non si giunge ad alcuna
soluzione del problema.
Bisogna pertanto trovare un metodo o una procedura che possa
essere utilizzata per trovare una soluzione. Di solito bisogna
lavorare su una rosa di tre, quattro numeri. Quest’aspetto della
tipologia di domande di risoluzione dei problemi viene chiamato
ricerca delle procedure.
Ricerca delle procedure
Il sig. Rossi deve ridipingere le linee bianche di un tratto di strada lungo 1 km.
I margini della carreggiata sono dipinti con una linea continua mentre la linea
di mezzeria è tratteggiata. Gli automobilisti sono avvisati dell’approssimarsi
delle curve con due frecce ricurve. Il sig. Rossi dovrà dipingere quattro frecce
ricurve. Su ogni lattina da 5 litri di vernice vengono indicate le seguenti
istruzioni:
per le linee continue: 5 metri per litro
per le linee tratteggiate: 20 metri per litro
per le frecce ricurve: 3 litri ciascuna
Di quante lattine di vernice ha bisogno il sig. Rossi?
A 53
B 92
C 93
D 103
E 462
Ricerca della procedure
La risposta esatta è la C. Per le linee continue servono 200 litri per ogni lato
della strada (1000/5=200). Per le linee tratteggiate servono 50 litri
(1000/20=50). Per le frecce ricurve servono 3×4=12 litri. In totale servono
200+200+50+12=462 litri di vernice. Siccome ogni lattina ne contiene 5 litri,
servono 93 lattine (462/5=92,4), dato che 92 lattine non sarebbero
sufficienti. L’ultima lattina verrà usata solo in parte, ma è comunque
necessaria per completare il lavoro.
A Si presuppone l’esistenza di una sola linea continua solo da un lato della
strada.
B I calcoli sono corretti ma è stato erroneamente considerato che 92 lattine
sarebbero state sufficienti.
D Sono state considerate due linee tratteggiate anziché una sola.
E È stato calcolato il numero totale dei litri necessari, ma non il numero di
lattine necessarie.
Identificazione delle similitudini
In ogni domanda viene presentata una situazione e viene
chiesto di scegliere un’altra situazione che abbia una struttura
logica analoga
Selezione attinente
Il sig. Luigi deve piastrellare un muro delle dimensioni di 120 cm di larghezza e 100 cm
di lunghezza. Ogni mattonella è un quadrato con lato di 20 cm. Il sig. Luigi ha pertanto
bisogno di 6 × 5=30 mattonelle.
Quale delle seguenti opzioni utilizza lo stesso metodo di calcolo del ragionamento
precedente?
A. Una rampa di scale è alta 3 m. Ogni gradino ha un’altezza di 25 cm quindi la scala è
fatta di 12 gradini.
B. Una stanza misura 4,2 m × 2,0 m. La moquette costa € 10 al metro quadro, quindi
rivestire l’intera stanza ha un costo di € 84.
C. Una scatola contenente zollette di zucchero misura 10 cm × 10 cm × 5 cm. Ogni
zolletta di zucchero ha forma cubica con un lato di 1cm, quindi la scatola contiene
500 zollette di zucchero.
D. Utilizzando delle tavole quadrate con ciascun lato di 1,5 m Mario deve costruire
un tavolo che misura 6 m × 3 m quindi ha bisogno di 8 tavole.
E. Paolo lavora 40 ore alla settimana e guadagna € 5 all’ora, quindi in 4 settimane
guadagna € 800.
Selezione attinente
La risposta corretta è la D. La procedura di moltiplicare 6 × 5 si basa sul fatto che
servono 6 mattonelle per un lato e 5 per l’altro. Nell’opzione D, servono 4 tavole per il
lato che misura 6 metri e 2 per il lato che misura 3 metri. Il calcolo da fare perciò sarà 4
× 2.
L’opzione A divide 3 per 0,25
L’opzione B moltiplica 4,2 per 2,0 per 10.
L’opzione C moltiplica 10 per 10 per 5.
L’opzione E moltiplica 5 per 40.
Sebbene anche nell’opzione D vi sia da fare una moltiplicazione, questo è
l’unico caso in cui i numeri da moltiplicare devono essere prima ricavati,
proprio come avviene nell’esempio delle mattonelle.