ppt2 - Inaf

I MASER
Microwave Amplification by the Stimulated Emission of Radiation
• Introduzione
• Teoria dei maser
• Maser Galattici
• Maser Extragalattici
• Maser per misurare le distanze
Corso di Radioastronomia AA. 2010/2011 (Andrea Tarchi; E-mail: [email protected]; Tel. 070-71180235)
Maser: Introduzione
La prima detezione di un maser astronomico risale al 1965 (Weaver et al.)
Cercavano OH in assorbimento in direzione di regioni HII identificate nel radio da
Westerhout
Trovano OH in emissione:
• non LTE (misura dell’intensità relativa delle componenti iperfini)
• righe molto strette (temperatura di eccitazione di ~ 10 K)
• righe molto intense (indicavano Tb > 1000 K)
• forte polarizzazione
• variabili su tempi scala di giorni
Maser: Introduzione
Perkins et al. (1966) forniscono i primi modelli teorici che coinvolgono maser
Moran et al. (1968) risolve la regione emittente in vari spot con dimensione
angolare dell’ordine del mas
Tb veramente molto alta
MASER
Maser: Introduzione
Le sorgenti MASER OH Galattiche furono associate a:
a) Regioni HII compatte (fasi iniziali della formazione stellare,SF)
b) Stelle late-type (fasi finali della formazione stellare)
Furono inoltre trovati maser associati con
• H2O (Cheung et al. 1969) -- SF and stelle evolute
• CH3OH (Barrett et al. 1971)
• SiO (Snyder & Buhl 1974) -- stelle e (in Orione) SF
• HCN (Guilloteau et al. 1987)
• NH3, H2CO, etc ...
Maser: Teoria
La teoria dei maser deve cercare di rispondere alle seguenti domande:
• Quale è la radiazione che viene amplificata?
• Qual’ è il processo che causa l’inversione di popolazione (la “pompa”
del maser)?
• I maser astronomici sono “saturi” o “non saturi”?
Inoltre, la teoria deve essere consistente con le quantità osservate per i
maser (es. brillanza apparente, dimensione, larghezza di riga,
polarizzazione, etc…)
Maser: Teoria
Una formulazione esatta è difficile (soprattutto a causa del fatto che
l’intensità del maser stesso condiziona le popolazioni dei livelli).
Approccio semplicistico
(per masochisti leggere, ad es., “Astronomical
Maser” di M. Elitzur 1992)
Maser: Teoria
Modello:
- una nube maser isolata che emette una singola riga o spot
- due livelli energetici: 1 (basso) e 2 (alto)
- υ0 frequenza di transizione fra 1 e 2
- assmiamo g1=g2 (solitamente g1g2)
- n1, n2 densità di popolazione totali per i due livelli
N1(dv)= n1f(v)dv
-
Numero di molecole in un dv
N2(dv)= n2f(v)dv
Maser: Teoria
 v2 
1 1
      f ( v) 
exp  2 
2 u
 2u 
se prevalgono i moti termici
kT
con u   k 
M

1
2
M  massa della molecola
  0 v

0
c
 ( - 0 ) 2 
1 1
  0  kTk 
f ( ) 
exp 
con
w

 


2
2w 
2 w
 c  M 

1
2
 4 ln 2(  0 ) 2 
f ( ) 
exp 
 con  D  FWHM di f ( )  2 2 ln( 2)  w
2
 D
 D


1
Maser: Teoria
h
h
κ ν  (n1  n2 ) B
f ( ) ν  n2 A
f ( )
4
4
 4 ln 2(   0 ) 2 
f ( ) 
exp 

2
 D


D


1
dI
  κ ν I ν  ην
dl
al centro
della riga
dI
h
h
 (n1  n2 ) B
I  n2 A
dl
4 D
4 D
2h 3
A 2 B
c
(pesi statistici uguali) 
 B12  B21  B
Maser: Teoria
Descriveremo il sistema come costituito da:
due livelli maser
+
tassi (rates) di pompaggio sui livelli maser da tutti gli altri livelli
+
tassi (rates) di decadimento dai livelli maser su tutti gli altri livelli
Descrizioni alternative del sistema sono tuttavia possibili
Maser: Teoria
Diagramma schematico
dei livelli energetici di
un maser
n1, n2 = densità di
popolazione dei livelli
Maser
I = intensità della radiazione
A,B = coefficienti di
Einstein
C = coefficienti collisionali
R = tassi di pompaggio nei
livelli maser
Γ = tassi di decadimento
fuori dai livelli maser
Ω = angolo solido della
radiazione
Maser: Teoria
Tassi di cambiamento delle popolazioni nei due livelli nel tempo

n2  R2 (n  n12 )  (n2  n1 ) BI    n2 A  n2C21  n1C12  n2 
 4 

n1  R1 (n  n12 )  (n1  n2 ) BI    n2 A  n1C12  n2C21  n1
 4 
con n12  n1  n2
in uno stato stazionario
0
Emissione
spontanea
Transizioni
collisionali
Maser: Teoria
Eliminando n fra le due equazioni precedenti, otteniamo:
R
n  n2  n1  (n2  n1 )
R
ΔR
 efficienza del pompaggio
R


  2 BI 

 4 
Maser: Teoria
Soluzione equazione del trasporto radiativo per il caso unidimensionale
con 0=0 e 0=0 (0 frequenza centrale della riga) costanti su tutta la
regione maser:
0
I (l )  I (o)e  (1  e  l )
0
2
n Al
κ  (n
 0l  
8 D
 0l
0
ν
1
h
 n2 ) B
f ( )
4
Se n2  n1 
 n  0 
  0  0 
  0l  0
Amplificazione esponenziale … ma solo se ...
Maser: Teoria
… ma solo se ...

  2BI 

 4 
… altrimenti 0 e 0 non sono più costanti
In questo caso il maser si dice non-saturo (unsaturated)
(esattamente definizione opposta a quella per il maser di laboratorio)
Maser: Teoria
Convertendo l'intensita' I in temperatura di Brillanza TB
di un corpo nero equivalente in approssimazione di
Rayleigh-Jeans
2kTB 2
I 
c2
TB (l )  TB (0)  Tx   e l  Tx
Tx = temperatura di eccitazione
Maser: Teoria
Temperatura di eccitazione della transizione:
n2
hν
 exp ( 
)
n1
kTx
n2
n2  n1 
1
n1

 Tx  0
Maser debolmente
pompati
Maser saturi
Maser fortemente
pompati
Maser non saturi
Maser: Teoria
Quando I o Tb, che crescono esponenzialmente, iniziano a
“disturbare” la distribuzione dei livelli, il livello superiore
comincia a svuotarsi, cambia Tx
In questo caso il maser si dice saturo (saturated)
…vediamo quando questo capita….
Maser: Teoria
R
n  n2  n1  (n2  n1 )
R

  2BI 

 4 


  2 BI 

4



In questo caso il maser si dice saturo (saturated)

Quando   2 BI 

 4 
Tsat
h  4

2k A 
Temperatura di
brillanza alla
quale il maser
satura
Maser: Teoria

n  n0 

2 BI 

 4 
Differenza di
popolazioni
durante la
saturazione
(decresce al crescere
del tasso di emissione
stimolata)
R
n0  n12 
R
Differenza di
popolazioni nel
caso non-saturo
Maser: Teoria
dI R n1h
 
dl
R  D 
negando l'emissione spontanea
e ponendon1 n12 / 2, l'eq. trasp.rad
Con geometria a strato, slab ( costante), I cresce linearmente con l
Il fotone “stimolato”, ha la
stessa direzione di quello
“stimolante”
Beaming
Con geometria sferica o cilindrica (  l-2), I cresce con l 3
Per un cilindro di raggio r,
(   r2 / l2 )
 1 R n1h  l  lsat 3

I (l )  I (lsat )  
2
 3 R  D  r
dove lsat e’ la distanza alla quale il maser satura
Maser: Teoria
TB (l )  TB (0)  Tx   e
l
 Tx
Ci sono due tipi di sorgenti di input per i maser:
• radiazione di fondo da sorgenti radio discrete o background
galattico o cosmico  TB(0)
• emissione spontanea dai bordi della regione maser Tx
Quale sorgente domina?
Maser: Teoria
… dipende se:
| TB(0) | < | Tx| oppure | TB(0) | > | Tx|
TB(0) si può stimare dalle osservazioni
• regioni HII: 104 K
• cosmic background 3 K
la stima di Tx è più difficile … dipende dai meccanismi
del pompaggio e dalle condizioni di saturazione.
Nel caso di un R/R ~ 0.01 (1% di inversione di popolazione)
• -5 K per OH
• -50 per H2O
Maser: Teoria
Probabilmente ai bordi della nube maser (pompaggio meno
efficiente o saturazione)
n2/n1
e
| Tx |
Quindi, | Tx | può essere maggiore di quella menzionata
Maser: Teoria
Un paio di esempi:
• maser OH in direzione di regioni HII
| Tb(0) | = 104 K > | Tx| anche nei casi di saturazione
---> amplificazione del background
• maser OH stellari
T stellar photospheres ~2500 K
osservati a velocità blue e red-shiftate rispetto a quella stellare
osservati in regioni esterne rispetto al disco stellare (inviluppi
circumstellari)
---> amplificazione emissione spontanea con ai bordi Tx < -200 K
Maser: Teoria
Le dimensioni dei singoli spot maser sono considerevolmente più
piccole della dimensione della nube intesa come la lunghezza del
percorso di amplificazione.
Il guadagno necessario per giustificare la radiazione osservata
non si può ottenere con percorsi di guadagno l = alle dimensioni
dello spot
Con n=0.03 e l = 1014 cm ---> guadagno ~ 3 (Troppo poco!)
Geometria filamentare
Geometria sferica
Maser: Teoria
Geometria filamentare
I maser sono lunghi tubi o filamenti di lunghezza l e raggio r
con l >> r
---> il percorso di amplificazione cresce di (l / r) ~ 100 sulla
dimensione, 2r, dello spot
La radiazione è beamata su un angolo solido    (r / l)2 e
noi osserviamo solo i filamenti che puntano verso di noi
La variabilità si spiega con la rotazione dei filamenti o moti
turbolenti che cambiano il percorso di amplificazione per il
quale esiste la necessaria coerenza in velocità
Maser: Teoria
Geometria sferica
Abbiamo un maser non saturo sferico, con diametro d
all’osservatore
x
I raggi sono quasi paralleli perchè la dimensione del maser è piccola
Raggio al centro:
percorso di amplificazione d
Raggio ad una distanza poiettata x:
1
2
2
percorso di amplificazione ( d  4 x ) 2
1

2
 4x  2 
TB ( x)  Tc exp  0 d 1  2  
d  




d * diametro apparente del maser (osservato )
d percorso di amplificaz ione vero
d*
1

d *  HPBW di TB osservata
d
 0d
2
d 
1
    
beam angle della radiazione
d

d
 
0
in cluster stretti
distanza
 fraspot
maser

    102 sterad
*
Maser: Teoria
Abbiamo un maser non saturo sferico, con diametro d
La sorgente di pompaggio diventa più debole in modo tale che il tasso
(rate) di pompaggio decresce uniformemente nella sfera
Il maser è prodotto da radiazione spontanea nella sfera ) non c’è direzione
privilegiata
Il maser satura prima nella “buccia” esterna perchè l’intensità li e’
maggiore (i raggi sono stati amplificati su tutto d)
non saturo (esponenziale, intenso)
Questo accade quando l’intensità
(o meglio, la TB) raggiunge il valore:
Tsat 
h  4
2k A 
Saturo (non esponenziale, debole)
all’osservatore
Maser: Teoria
Mano a mano che il tasso di pompaggio decresce, il maser diventa più
piccolo, fino a quando tutto il maser satura e le dimensioni sembrano
ricrescere.

B

W  BI

Sm 2
4 4

2h 3
A 2 B
c
2 A

W
Sm 2
8h

Sm densità di flusso del maser;  lunghezza d’onda; θ dimensione osservata della sorgente
Maser: Teoria
    2W     W  0.42 S m
in caso di saturazione
per i maser H 2 O
Sm in Jy; θ in mas;  in sterad
 1 mas ; Ω 10-2 ;  1 s -1
 S m  100 Jy
I maser più intensi (103 - 106 Jy) sono probabilmente saturi

2
Maser: Teoria
Un maser completamente saturo:
1 fotone pompante ---> un fotone maser
---> minimo pompaggio richiesto per una data intensità
Tuttavia, se varia il pompaggio (e quindi 0)
• in un maser non saturo il cambiamento in emissione  exp(0l)
• in un maser saturo (sferico) la risposta è lineare ( (0l)).
In realtà, si pensa che la risposta di un maser saturo sia  (0l)3.
Se non si ottengono informazioni piu precise sui meccanismi di
pompaggio e le sue variazioni, si pensa che le variazioni temporali dei
maser non sono indicatori di saturazione troppo credibili.
Maser: Teoria
Larghezza delle righe: la maggiorparte dei maser astronomici hanno larghezze
di riga fino a 10 volte inferiori a quelle previste dai moti termici nella regione
maser.
Una diminuzione della  è prevista in caso di maser non saturo.
Un riallargamento della riga è prevista durante la saturazione.
Però:
• non osservato nei maser OH (intrappolamento di fotoni IR nel ciclo di
pompaggio?)
• osservato nei maser H2O (meno intrappolamento di fotoni IR nel ciclo di
pompaggio?)
(Goldreich & Kwan 1974)
Maser: Teoria
Polarizzazione: la radiazione maser è spesso polarizzata per effetto Zeeman
polarizzazione circolare
• La maggiorparte dei maser OH stellari non è polarizzata (campo magnetico
troppo debole)
• I maser OH interstellari sono fortemente polarizzati
• I maser H2O sono spesso polarizzati
Studi di pol., ci danno una stima (o limiti superiori) dell’intensità di B
Maser: Teoria
Modelli di pompaggio:
• richiedono di considerare un numero elevato di transizioni molecolari
• richiedono una conoscenza delle condizioni fisiche (densità e temperatura) e
delle proprietà molecolari (sezioni d’urto collisionali, etc…) maggiore di quella
disponibile ora
• sono una delle grandi sfide della teoria dei maser
Non li facciamo!
Maser: Galattici
Interstellari
Si trovano solitamente in regioni di formazione stellare
Sono eccellenti indicatori di formazione stellare massiva
Le stelle O e B scaldano e ionizzano l’ambiente circostante, producendo sorgenti
di emissione radio e infrarossa. In particolare:
• maser
• hot spot molecolari
• regioni HII compatte
• sorgenti di IR (vicino e lontano)
Maser: Galattici
Interstellari
Nonostante la sequenza evolutiva per questi oggetti basata su il tipo di emissione
osservata non sia ancora definitiva, alcuni punti fermi delle osservazioni sono:
• I maser OH sono sempre associati con regioni HII compatte con D < 0.1 pc
• I maser H2O sono situati vicino, ma non coincidenti con regioni HII compatte
• I maser H2O presentano features di alta velocità dovute a spostamenti di massa
ad alta velocità
I maser H2O compaiono nelle fasi iniziale della formazione stellare quando la regione HII
è molto (troppo) compatta
La regione poi si espande e il maser persiste per i 105 anni, poi vengono meno le
condizione di eccitazione e densità ---> maser OH (???)
Maser: Galattici
Interstellari
Problemi osservativi nel determinare la sequenza evolutiva:
• Il campionamento a diverse frequenze è limitato. In particolare, il beam di un
telescopio a 22 GHz (1 cm) è piccolo: all-sky survey impossibili e survey
complete difficili (si cercano solo vicino alle regioni HII --> effetto di selezione)
• La sensibilità è limitata
• Mancano posizioni con precisioni del sub-arcsec nell’IR e nel mm
Difficoltà nello stabilire se un gruppo di sorgenti sono coincidenti ed eccitate da
un qualche oggetto o sono un gruppo di oggetti a stadi diversi di sviluppo
Maser: Galattici
Interstellari: H2O
• Most observed transition:
616
523
Rest frequency:
22.23508 GHz
Wavelength:
1.35 cm
A =1.8587 x 10-9 s-1
• Other transitions:
Energy levels of ortho-H2O (Cooke & Elitzur 1985)
• 414
321
380 GHz
• 313
220
183 GHz
• 643
550
439 GHz
Maser: Galattici
Interstellari: H2O
Più di 1000 maser dell’acqua sono stati rivelati nella nostra Galassia
(gruppo di Arcetri)
Gli spettri dei maser H2O possono essere composti da una sola riga
(feature) o da un complesso di centinaia di righe
I maser interstellari si trovano in gruppi (cluster) con dimensioni
variabili
Maser: Galattici
Mappa VLBI
Interstellari: H2O
Punti: maser spot
Cerchi: cluster di maser
Punto cerchiato: maser di riferimento
Barra: velocità della nube molecolare V(lsr,opt)
Due complessi di righe (50-70 km/s) e fino a
100 km/s
Le diverse velocità sono dovute a diverse
direzioni del moto
Spot singoli hanno dimensioni: Dspot ~ 1013 cm e
Tb~1012 K
I cluster hanno dimensioni: Dclu ~ 1014-15 cm
L’intera regione maser ha dimensioni:
Dreg ~ 1016 cm = 0.003 pc
Spettro W51
Maser: Galattici
Interstellari: H2O
Lo studio approfondito di questa regione ha permesso di interpretarne lo
scenario:
i maser H2O sono prodotti localmente
sono eccitati dall’interazione fra un outflow di materia con clumps di
gas nella nube
l’ouflow è prodotto dalla stella centrale (O o B)
i singoli spot maser dovrebbero essere filamenti con l/D ~ 10
le densità dei filamenti sono dell’ordine di n(H2) ~ 109 cm-3
Maser: Galattici
Interstellari: H2O
Lo scenario proposto per W51 sembra essere consistente con studi
simili di altre regioni (talvolta, modelli cinematici in YSO indicano
dischi kepleriani o gusci in espansione) … ambiguità
Modelli di pompaggio per i maser H2O:
collisioni con molecole H2
collisioni con elettroni e particelle neutre a diversa T
• Pompaggio collisionale
• 300 < T < 1000 K
•107 < n(H2) < 1011 cm-3
• Tb ~ 1012-13 K
Maser: Galattici
Interstellari: H2O
Maser H2O sono stati trovati anche in prossimità di stelle di massa
inferiore.
Sono vicine a regioni HII compatte prodotte da stelle B (Herbig-Haro
objects)
Probabilemte eccitate da collisioni di frammenti di gas espulsi a causa
di venti stellari con il materiale della nube molecolare circostante
Luminosità dei maser H2O interstellari: LH2O ~ 10-4 L
fino a 1 L (W49N)
Maser: Galattici
Interstellari: OH
I maser OH si originano da transizioni iperfini della scala di livelli
rotazionali
Frequenze tipiche: 1665.402 MHz (solitamente più intensa)
1667.359 MHz (meno intensa)
1612.231 e 1720.530 (righe satelliti)
Fortementi polarizzati circolarmente
Coincidenti con regioni HII compatte (<< 1 pc) e sorgenti IR
--> associati con stelle calde molto giovani che creano le regioni HII
Maser: Galattici
Interstellari: OH
Spot singoli hanno dimensioni: Dspot ~ 1014 cm e Tb~1012 K
I cluster hanno dimensioni: Dclu ~ 1015 cm
Su regioni con Dreg ~ 1016-17 cm
Le variazioni temporali sono su scale di anni (differenza con maser H2O)
Le molecole maser sono sull’inviluppo della regione HII compatta:
• 100 < T < 1000 K
•105 < n(H2) < 109 cm-3
• B ~ 2-10 mG (Zeeman)
Maser: Galattici
Interstellari: OH
I maser forniscono mappe di
velocità e informazioni su B su
scale dei 1013-17 cm riempiendo
il gap fra le info su nubi
molecolari (> 1019 cm) e stelle
(< 1012 cm)
Lo studio dei moti propri ci
danno la risposta definitiva
sulla dinamica 3-D della
regione
Maser: Galattici
Stellari: OH & H2O
I maser stellari meglio studiati sono quelli dell’OH
Associati a inviluppi di stelle late-type (M) nella fase di gigante o
supergigante.
Solitamente presentano due picchi simmetrici (espansione, contrazione,
rotazione)
Variano ‘smoothly’ con la luce della stella (spesso) variabile:
--> parzialmente, se non totalmente, saturati
pompati radiativamente
L’emissione OH si forma a distanze > 1016 cm dalla stella
e viene prodotta in 2 calotte (caps) davanti e dietro la stella (ritardo
nella risposta ad un cambiamento nell’eccitaziorne)
Maser: Galattici
Stellari: OH & H2O
Bassa polarizzazione (differenza con maser interstellari)
I maser stellari H2O e SiO sono più compatti e vicini radialmente alla
stella (necessitano di condizione di eccitazione più estreme)
Luminosità dei maser H2O stellari: LH2O ~ 10-4-10-6 L
Lo studio dei maser stellare permette di avere info sul tasso di perdita
di massa (Mass Loss Rate) nelle fasi finali (red giant) delle stelle
Maser
Usi specifici
Scattering Interstellare: i maser sono intensi e compatti e quindi sono
utilizzabili per osservare effetti di scattering dovuti ad irregolarità nella
distribuzione di densità elettronica nell’ISM
--> studio dell’ISM
Misure di distanza:
• gli spot maser sono compatti e raggruppati (simili a stelle nei cluster).
Posizioni relative dei maser (2-D) + studi di moti propri & velocità
radiali (3-D) --> modello 3-D --> distanza
• moti propri random (& velocità radiali) --> parallasse statistica -->
distanza
…. E nelle altre galassie ? ….
Maser: Extragalattici H2O
Luminosità isotropica di un maser (extragalattico)
iso
H 2O
L
Lsol
 S dv  D 2
 0.023    


 Jy km/s  Mpc
NGC4258
Maser: Extragalattici H2O
Megamasers
Liso> 10 Lsol
Claussen et al. (1998)
Getti
Greenhill et al. (1995)
Dischi di accrescimento
Maser:
Extragalattici H2O
Miyoshi et al. 1995
Copertina di Nature
Vol. 373, p. 127
Maser: Extragalattici H2O
Maser: Extragalattici H2O
Da studi VLBI degli spots del maser dell'acqua in NGC4258, si
e' evidenziata la presenza di un disco di accrescimento
• in rotazione kepleriana attorno al nucleo di NGC4258
• con dimensioni dell'ordine del decimo di parsec
• orientato edge-on rispetto all'osservatore
• che implica una massa di ~ 3 · 107 Msol per il BH centrale
Maser: Extragalattici H2O
Dopo 30 anni solo ~ 100 maser dell'acqua sono stati pubblicati
oltre le Nubi di Magellano
• In FRIs = 0% (Henkel et al. 1998)
• In Sy and LINERs ~ 7% (Braatz et al. 1996)
• In FRIIs and BLLac ~ 0% (Tarchi et al. 2003)
• FIR-maser sample (S100μ > 50 Jy) ~ 22%
• Jet-maser sample ~ 29%
(4/14)
(10/45)
A member of ERG is in the team of radio astronomers that has recently
discovered a water maser in the early Universe. The discovery has been
reported in Nature.
Paola Castangia: postdoc
OAC and former Ph.D.
student at UniCa
The source MGJ04114+0534
and the maser spectrum
(credits: MPIfR)
The 100-m Effelsberg
radiotelescope of the MaxPlanck-Institut fur
Radioastronomie (MPIfR)
Maser: Extragalattici H2O
Indicazione di una dipendenza del tasso di detezione dei maser
dell’acqua con:
• flusso infrarosso
• densità di colonna (e di flusso) nei raggi X
Maser: Extragalattici H2O
Kilomasers
Liso< 10 Lsol
Off-nucleari
Marcano regioni di intensa SF
Studi di moti propri
Distanze
Fenomeni di flaring
Spostamenti in velocita'
Nucleari
Comprendere la fisica delle
regioni piu' interne degli
AGN deboli
(solo M51; NGC4051?; NGC2273?)
(es. M33, IC342, IC10, NGC2146)
C'e' una famiglia di Megamasers deboli?
Ho et al. (1987)
Maser: Extragalattici H2O
Kilomasers
Castangia et al. 2007
Maser: Extragalattici H2O
Unified model of
AGN
(Urry & Padovani 1995)
Maser: Extragalattici H2O
NGC 4258
3 groups of water maser lines:
• systemic
• high-velocity lines:
- blueshifted
- redshifted
VHV  Vr
dVS Vr2

dt
R
dVS dV
Vr

D  D
d
db
R
Herrnstein et al. 1999
Bragg et al. 2000
Maser: Extragalattici H2O
NGC 4258
 V   R   D 
 1.12   r -1   

M


 km s   mas   Mpc 
2
M core
Vr  Vobs  sin 1i
M BH  3.9  0.3107 M
Herrnstein et al. 1999
Maser: Extragalattici H2O
M 33
VLBA measurements of proper
motions (Brunthaler et al. 2005)
Comparing the relative angular motion
with the expected linear motion one
derives (with a model in mind):
D  730  100  135 kpc
And from maser proper motions one
can derive the proper motion of
M33:




v prop  v rot  vsun  v M33
Grazie Tapi!