I principi della Dinamica
Enrico Pieroni [email protected]
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e …….
Indice dei contenuti
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Dinamica!
Definizione di Forza
Il principio d’inerzia
L’equazione del moto
La legge di azione e reazione
Massa inerziale e massa gravitazionale
Il teorema dell’impulso
Forze di attrito
Dinamica!
Causa: “Forza”
Effetto: moto
s
a
v
t
t
t
Che equazione ci serve?
Una anticipazione pittorica …
Causa: concetto di
“forza”, da
definire …
Effetto: moto,
ossia s(t),
v(t), a(t), …
Che dipende dalle
caratteristiche del
sistema fisico, prima
fra tutte la massa m.
F=mxa
Una prima definizione di Forza
Utilizziamo una semplice molla:
Tirare la molla = applicare una forza
Più la molla si allunga = maggiore è la forza applicata
Forza = Vettore*, con
• Direzione: lungo l’allungamento della
molla
• Intensità o modulo proporzionale
all’allungamento
Newton (N) = unità di misura della
Forza nel S.I.
Alla massa di 1 kg corrisponda circa
una forza di 9.81 N
* Occorre dimostrare sperimentalmente che vale la regola per la somma di vettori!
v=0
v = costante
Le osservazioni di Galileo sull’inerzia
La prima legge del moto
Prima Legge di Newton
(detta anche principio di inerzia):
Se non interviene alcuna forza netta, una
particella prosegue nel suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme.
(formulazione precisa delle osservazioni di
Galileo)
La prima legge del moto (2)
Proviamo a scrivere una equazione che
collega in modo semplice la forza F al
moto (s,v o a), ad esempio linearmente:
c
s
1
F c2v
c a
3
(1)
(2)
(3)
.. E trasformiamo ora le nostre ipotetiche equazioni in concetti verbali:
Un corpo su cui non agisce alcuna forza (F=0) …
1) NON si può spostare (s=0),
2) ha sempre una velocità nulla, e dunque NON si può spostare,
3) ha sempre una accelerazione nulla e dunque può avere una
velocità costante, ossia muoversi di moto rettilineo uniforme.
Ora, sulla base delle osservazioni sperimentali di Galileo, tradotte
nella prima legge di Newton, quale equazioni scarteresti
immediatamente?
Le prime due!
Perché non abbiamo provato F=ca2?
La seconda legge del moto (1)
Un buon candidato per rappresentare il legame
F ca
Forza Moto (accelerazione), è dunque:
Adesso però, a parità di forza applicata,
Pallina è in grado di dare una
accelerazione molto maggiore ad una
sveglia, che ad una macchina!
Questo significa che la costante c deve
essere collegata alla massa!
A parità di forza, la macchina, che ha una massa molto maggiore deve
possedere una accelerazione minore della sveglia, dunque c deve
essere proporzionale alla massa. È possibile definire le unità di
misura della forza in modo tale che c sia esattamente uguale alla
massa. L’unità di misura così costruita si chiama Newton (N).
F ma
La seconda legge del moto (2)
F ma
Questa equazione ci fornisce un modo più elegante e preciso
per definire la forza. Sostituendo a = 1 m/s2, m = 1 kg, si
ottiene F = 1N. Dunque la forza di 1 N è quella forza tale da
accelerare ad 1 m/s2 una massa di 1 kg.
Anche la forza peso, che è una forza costante,
soddisfa l’equazione di Newton:
P mg
Forza costante accelerazione costante, detta accelerazione di
gravità e sperimentalmente misurata: g ≈ 9.81 m/s2
Quale è dunque la forza che agisce su una massa di 1 kg sottoposta alla forza
peso (ricordi la nostra prima definizione di forza)?
P mg 1 kg 9.81 m/s 2 9.81 N
La seconda legge del moto ci rende
fantasmatici! Ci vuole una terza legge!
F ma P g P / m
Cosa manca? Pallina
esercita la forza peso
sul pavimento, ma anche
il pavimento esercita
una forza su Pallina, che
deve esattamente
controbilanciare la
forza peso.
Se l’unica forza che agisce è la forza peso,
non appena Pallina se ne accorge … passa
attraverso il pavimento! Se infatti
Pallina sente una forza costante verso il
basso, per la seconda legge, è obbligata
a muoversi con accelerazione costante
verso il basso!
Principio di Azione e Reazione, o
terza legge della dinamica:
Ad ogni azione corrisponde
una reazione uguale ed
opposta, ciascuna agente su
un corpo diverso.
Le tre leggi del moto
(1) Principio di inerzia: se non interviene alcuna
forza netta, una particella prosegue nel suo stato
di quiete o di moto rettilineo uniforme.
(2) Forza ed
accelerazione sono
proporzionali
F ma
(3) Principio di Azione e Reazione: ad ogni azione
corrisponde una reazione uguale ed opposta,
ciascuna agente su un corpo diverso.
mela
MT
Quale è l’origine della forza peso? L’attrazione della Terra! Ma se la Terra
attira verso il suo centro una mela, per il terzo principio anche la mela deve
attirare la Terra con una forza uguale ed opposta!
Vedrai più avanti la Forza gravitazionale, per il momento ci basta
dire che ci aspettiamo che questa forza di attrazione reciproca
sia maggiore quando le masse in gioco sono maggiori e, avendo la
Terra e la mela lo stesso ruolo, sia proporzionale al prodotto delle
masse: F mmela X MT
Massa … non è così semplice
m
Quante sono le masse?
(1) Misurando l’attrazione gravitazionale fra
due masse, possiamo misurare le masse
stesse! Questa misura è detta massa
gravitazionale.
Fattraz
m1
m2
Fattraz m1m2
(2) Massa inerziale: se sottopongo un corpo ad una forza F e misuro una
accelerazione a, posso dire che la sua massa vale mI= F/a. Il termine
inerziale indica che questa misura di massa fa riferimento alla sua
capacità di reagire alle forze esterne intraprendendo un moto!
Come abbiamo visto, essendone l’origine, sulla superficie della Terra, la forza attrattiva
sulla mela deve eguagliare la forza peso:
Fattraz Qmmela M T P mI g dove Q è una quantità, importante ma che non dipende dalle masse
se mmela mI si ha che g QM T
che quindi non dipende da mmela!
Pertanto se la massa gravitazionale ed inerziale sono identiche
(equivalenti), abbiamo che l’accelerazione g con cui ogni corpo cade NON
dipende dalla massa del corpo stesso*!
* Trascurando ovviamente l’attrito con l’atmosfera
Il teorema dell’impulso
v
F ma m
I Ft mv
t
La forza moltiplicata per il tempo in cui agisce si definisce impulso, e si
misura in N s oppure equivalentemente kg m /s. Poiché l’impulso
eguaglia la massa per la variazione di velocità, esso rappresenta la
capacità della forza di variare lo stato di moto del sistema.
Quale forza può produrre una variazione della velocità da 10 m/s ad 11
m/s in una pallina di 1 kg?
F 1 N per Δt 1 s
F 2 N per Δt 1/2 s
Ft 1 kg 1 m/s 1 Ns
F 3 N per Δt 1/3 s
Hai infinite possibilità:
potrebbe essere una
forza di 1 N che agisce
per 1 s, oppure una di 2
N che agisce per la
metà del tempo, e così
via …
Forze di attrito
• Quando Pallina deve spostare una massa inizialmente ferma su un
piano non liscio (attrito statico), deve fare uno sforzo maggiore
che per sostenerne il moto (attrito dinamico).
• Inoltre, in entrambi i casi, la forza che deve applicare è tanto
maggiore quanto è più pesante la massa.
Forze di attrito (2)
Trasformiamo le considerazioni viste prima nel linguaggio matematico: se il
piano è ruvido, si genera una forza che si oppone al moto degli oggetti
che premono sul piano, detta forza di attrito:
• La forza di attrito è proporzionale al peso dell’oggetto spostato.
• Il coefficiente di proporzionalità è detto coefficiente d’attrito ed è un
numero adimensionale.
• Il coefficiente di attrito nel caso di oggetto inizialmente fermo (c.a.
statico) è maggiore (o uguale) di quando incomincia il moto (c.a.
dinamico).
Fattr P mg
S
con μD μ S
D
Perché non F = ca2 ?
Anzitutto, cerchiamo di capire perché sia desiderabile avere una linearità
delle nostre equazioni, ossia che per una somma delle cause (le forze), si
abbia una somma degli effetti (le accelerazioni):
se una forza produce una accelerazi one a,
una forza opposta -F produce intuitivam ente una accelerazi one a
In tal caso la somma delle due forze è F (-F) 0 e quindi : moto rettilineo uniforme
Nel contempo, anche la somma delle accelerazi oni è a (-a) 0 in coerenza con le forze!
Vediamo adesso come questa linearità sia ottenibile solamente se forza ed
accelerazione sono proporzionali, ossia collegati da una relazione lineare:
se avessimo F ca allora, per due forze diverse : a1 F1 / c , a2 F2 / c
F F1 F2 a F1 F2 / c a1 a2
invece per F ca 2 avrei :
F F1 F2 a F / c
a12 F1 / c , a 22 F2 / c
F1 F2 / c
a12 a22 a1 a2
