Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Laboratorio di Microelettronica
Modellistica del trasporto per diodi tunnel
Double Barrier – Quantum Well interbanda
Candidato:
Matteo Camprini
Relatori:
Prof. G. Manes
Prof. G. Borgioli
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Prof. G. Frosali
Ing. A. Cidronali
Dipartimento di Matematica Applicata “G. Sansone”
Universitá di Firenze
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Anno Accademico 1999 - 2000
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Diodi tunnel: caratteristiche
La principale caratteristica di un diodo tunnel è la
presenza di una regione di funzionamento a
resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Tale
proprietà
rende
i
diodi
tunnel
particolarmente utili in numerose applicazioni sia
analogiche che digitali.
NDR
Le moderne tecnologie nella lavorazione dei
semiconduttori consentono di realizzare strutture
multilayer e lattice – matched che permettono di:
Ottimizzare i parametri di funzionamento R.F.
del diodo.
Ottenere un elevato livello di integrazione
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Realizzazione di un modello physical based per la corrente dovuta
Obiettivi
all’effetto tunnel in diodi D.B.Q.W interbanda.
Possibilità di effettuare reverse modelling su dispositivi quantistici.
Dati
Procedimento
Caratteristiche
Parametri fisici dei semiconduttori.
Diagramma a bande nella regione svuotata.
Definizione di un adeguato un formalismo simbolico.
Implementazione del modello.
Verifica sperimentale mediante confronto con i campioni da
laboratorio forniti dal Motorola Physical Sciences Research Lab.
Relativa semplicità formale.
Accettabili possibilità di simulazione e previsione della
caratteristica quasi-statica dei dispositivi.
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Modelli fisico - matematici per dispositivi ad effetto tunnel
Modelli
Coerenti
L’elettrone è descritto come un pacchetto di onde piane.
Si assume che la funzione d’onda mantenga coerenza
di fase durante la transizione attraverso la barriera
non sono considerati fenomeni collisionali.
Envelope wave
function
Modelli
Cinetici
Sono prese in considerazione, in numero limitato, le
collisioni con i fononi.
L’elettrone può subire una variazione della propria
Density Matrix
Wigner Function
Green’s Function
energia E.
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Definizione del modello utilizzato
Approccio scelto
Modello di Kane a due bande
E’ un modello coerente introdotto da E. O. Kane nel 1960.
Descrive il comportamento di un elettrone in un sistema a due bande con dispersione
di tipo parabolico (massa efficace costante).
Lo stato dell’elettrone è identificato da un pacchetto di onde piane.
La dinamica dell’elettrone è regolata da un sistema di due equazioni differenziali tipo
Schrödinger accoppiate da un termine k·P.
Tecnica di raccordo tra
le soluzioni
Matrici di trasferimento
+
Condizioni W.K.B.
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Modello di Kane a due bande
Ipotesi preliminari
Si considerano solo transizioni conservative.
Si suppone di avere un moto unidirezionale
ed una struttura omogenea ed illimitata nel
piano trasversale alla direzione di trasporto.
L’elettrone mantiene costante la quantità di
moto nel piano trasversale.
Il campo elettrico nella regione svuotata è
costante.
Per tenere conto degli effetti del drogaggio
fortemente degenere si considera una massa
efficace derivata da un modello a quattro
bande ed una energia di gap ridotta (band
gap narrowing)
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Modello di Kane a due bande: funzioni di propagazione
j
j
2
2
2
2
2
c (x, t)
(x,
t)
(k
k
)
(x,
t)
E
(x,
t)
P
v (x, t)
c
y
z
c
c
c
t
2m 0 x 2
2m*
j x
2
2
2
2
2
v (x, t)
(x,
t)
(k
k
)
(x,
t)
E
(x,
t)
P
c (x, t)
v
y
z
v
v
v
t
2m 0 x 2
2m*
j x
se si cercano soluzioni stazionarie nella forma
c (x) A exp j x
v (x) B exp j x
si ottiene
con
x j
1
2
m*
2
E g 4 E V x dx
2E g
2
m*
2
4 E V x E g dx
2E g
x
1
Vx
Ec E v
2
nella banda proibita
nelle bande consentite
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Espressione della corrente di tunneling
L’espressione della corrente di tunneling è data da
2E
e m*
I tun Va A 2 3 f c E, Va f v E, Va T E, Va exp dEdE
2
E
dove
T E, Va
è il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera
E
è l’energia dell’elettrone nel piano trasversale al moto
f c E, Va
è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio p
f v E, Va
è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio n
Il coefficiente di trasmissione T dipende, in generale, dall’energia E dell’elettrone
incidente e dalla tensione di polarizzazione Va applicata alla struttura.
Nel caso classico di singola barriera sottile l’espressione che si ottiene è
T E,Va exp 2
dove E,Va è la funzione di attenuazione della barriera
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Tecnica delle matrici di trasferimento
Barriera singola
a2
a1
b S b
2
1
Barriera doppia
La matrice di trasferimento della struttura D.B.Q.W. è data da
S S 2 S1
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Coefficiente di trasmissione di un diodo DBQW
2
Il coefficiente di trasmissione è dato da T E,Va
a2
a1
b2 0
Per una struttura D.B.Q.W. si ottiene:
T E,Va
4
16exp 2 1 2 cos 2 4cosh 2 2 1 sin 2
dove 1 E,Va e 2 E,Va sono le funzioni di attenuazione delle barriere
E,Va è la funzione di sfasamento della buca
La condizione di risonanza è data da E, Va 2n 1
2
Tris
1
cosh 2 2 1
Il valore Tris assunto dal coefficiente di trasmissione in condizioni di risonanza
dipende esclusivamente dalla differenza delle funzioni di attenuazione delle barriere.
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Valutazione della corrente di tunneling: parametro di calibrazione
Il modello di Kane, come tutti i principali approcci, sia coerenti che cinetici, è
caratterizzato da una sottostima dei valori di corrente, dovuta agli effetti che non sono
presi in considerazione (transizioni non conservative, presenza di stati trappola e di
superficie, campo elettrico non costante).
Dato che tali fenomeni non sono direttamente implementabili nel modello, l’unico
modo di evitare tale sottostima è quello di inserire un parametro di calibrazione C nelle
funzioni di attenuazione delle barriere
1 E, Va
2 E, Va
1 ' E, Va C 1 E, Va
2 ' E, Va C 2 E, Va
con C 1
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Struttura dei diodi PSRL - Lot K11A-M21 Proc. MBE840 e MBE842
2
Energy (eV)
1
n InAlAs
0
p InGaAs
Diagramma a bande
fornito dal P.S.R.L.
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
Position (nm)
n Si
p
2.00 1019 atomi/cm3
MBE840
20
3
1.35 10 atomi/cm
C
MBE842
1.14 1020 atomi/cm3
Versione linearizzata del
diagramma a bande
(campo elettrico costante)
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Misura delle caratteristiche dei prototipi
Le caratteristiche statiche dei prototipi forniti dal P.S.R.L. sono state misurate utilizzando
la strumentazione del Laboratorio di Microelettronica (L.M.E.).
Dai dati ottenuti è stata quindi
0.0014
ricavata una caratteristica media
K11A-M21 MBE840
2.5x2.5 m
per il successivo confronto con i 0.0012
risultati forniti dalla simulazione del
modello.
I (Va) (A)
0.0010
0.00 0 8
0.00 0 6
0.00 04
0.00 0 2
0
0
0.1
0.2
03
0.4
0.5
0.6
0.7
Va (V)
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Applicazione della procedura di simulazione
Definizione della struttura D.B.Q.W.
Valutazione della dipendenza dalla tensione di
polarizzazione dei parametri del diagramma
a bande
E (eV)
0.3
0.2
0.1
0
0
01
02
03
04
Va (V)
Tunneling attraverso la buca di potenziale
Tunneling diretto con passaggio nel IV strato
Tunneling diretto senza passaggio nel IV strato
Identificazione delle modalità di tunneling
possibili (con e senza passaggio per la
buca)
Definizione di una mappa nel piano E,Va
delle regioni associate alle varie modalità
di tunneling
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Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va)
0.035
Nell’intervallo di energia in cui può
avvenire il passaggio dei portatori, il
coefficiente di trasmissione delle
due barriere non subisce forti
variazioni.
La probabilità di tunneling presenta
una discontinuità in corrispondenza
del minimo della buca, dovuta al
fatto che la condizione
K11A-M21 MBE840
0.03
T (E,Va)
0.025
0.02
0.015
0.01
E,Va 0
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
E (eV)
Va = 0 V
Va = 0.2 V
Va = 0.1 V
Va = 0.3 V
0.25
0.3
0.35
0.4
massimizza il coefficiente di
riflessione.
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Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va)
0.4
0.35
Per valori di energia superiori si
riscontra un picco di risonanza.
K11A-M21 MBE840
0.3
All’aumentare della tensione di
polarizzazione la condizione di
risonanza viene raggiunta più
rapidamente ed il picco di
risonanza diminuisce in ampiezza.
T (E,Va)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.1
0.2
0.4
0.3
E (eV)
Va = 0 V
Va = 0.2 V
Va = 0.1 V
Va = 0.3 V
0.5
0.6
0.7
E ris
Va
T E ris , Va
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Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio
Dati misurati
K11A-M21 MBE840
2.5x2.5 m C = 0.52
0.0014
Vp 120 mV
I p 1,18 mA
0.0012
Dati simulati
I p 1,12 mA
I (Va) (A)
0.001
8 10
6 10
4 10
2 10
Vp 124 mV
4
Errori commessi:
tensione di picco: 3.3 %
corrente di picco: 5.1 %
4
4
4
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Va (V)
Caratteristica misurata
Caratteristica simulata
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Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio
Dati misurati
K11A-M21 MBE842
2.5x2.5 m C = 0.52
0.0014
Vp 100 mV
I p 0,55 mA
0.0012
Dati simulati
I p 0,53 mA
I (Va) (A)
0.001
8 10
6 10
4 10
2 10
Vp 108 mV
4
Errori commessi:
tensione di picco: 8.0 %
corrente di picco: 3.4 %
4
4
4
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Va (V)
Caratteristica misurata
0.6
0.7
0.8
L’errore commesso è in parte
imputabile
alla
maggiore
dispersione delle caratteristiche
nel lotto di diodi misurato.
Caratteristica simulata
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Conclusioni e sviluppi futuri
Risultati ottenuti
Il modello è in grado di riprodurre con buona precisione
l’andamento della corrente statica dei diodi nell’intervallo
di tensioni in cui la componente di tunneling è predominante.
In particolare il modello è in grado di prevedere gli effetti
della variazione del drogaggio p = 16 % I p 53 %
Sviluppi
Verifica del comportamento del modello su strutture D.B.Q.W.
con differenti caratteristiche.
Implementazione, almeno per via semi – empirica, degli effetti
di bordo che determinano una corrispondenza non lineare tra
la corrente e la sezione del diodo.
La parte di definizione fisico – matematica del modello è stata presentata con il titolo:
L. Barletti, G. Borgioli, M. Camprini, A. Cidronali, G. Frosali “Tunneling current in resonant interband
tunneling diodes” al V Congresso Nazionale della Società Italiana di Matematica Applicata e
Industriale, SIMAI, Ischia 5-9 Giugno 2000.
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