Casazza Andrea
3EA
I.I.S.
Maserati
Indice
Chi é
Cosa ha fatto
Cosa serve la sua teoria
Contenuti dell’algebra di Boole
Esempi applicativi
Chi è
Boole, George: nasce il 2 novembre 1815 a Lincoln
(Lincolnshire, Gran Bretagna). George Boole muore nel
1864 a Ballintemple (County Cork, Irlanda).
info
Cosa ha fatto
Sviluppò assieme ad Auguste De Morgan la logica
matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e
De Morgan costruirono l'algebra della logica (o
algebrea booleana), staccando la logica dalla
filosofia (Logica Aristotelica) e legandola alla
matematica.
info
Cosa serve la sua teoria
Boole ha voluto sviluppare una
logica basata su due simboli,
mentre per esempio la matematica
si basa su un sistema di dieci cifre,
per sviluppare la logica con il minor
numero di simboli possibili. Solo nel
secolo successivo questa logica
assolutamente astratta e
speculativa è stata impiegata nella
costruzione dei primi computer.
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Porte logiche
Nell'affrontare l'algebra di Boole, bisogna tener presente
che siamo nella logica e non in un sistema di
numerazione; la logica lavora, infatti, con due soli
valori: 0 e 1 (non intesi come numeri!)
Le variabili logiche sono indicate generalmente con lettere
maiuscole A, B, C, ...
Gli operandi principali sono tre:
1.
2.
3.
la negazione o NOT (¯ oppure !)
la somma logica o OR ( + )
il prodotto logico o AND ( • )
info
Porte logiche
Le possibili combinazioni tra le porte principali sono:
L'operatore NAND (cioè la
negazione del risultato
dell'operazione AND)
L'operatore NOR, (cioè la
negazione del risultato
dell'operazione OR)
L'operatore XOR (detto
anche OR esclusivo)
L'operatore XNOR (cioè la
negazione del risultato
dell'operazione XOR)
info
Porta logica AND
L' operazione AND (letteralmente e in inglese)
restituisce 1 (vero) se e solo se tutti gli operandi
hanno valore 1 (vero), altrimenti restituisce 0
(falso).
Nei circuiti digitali, la porta logica AND è un
meccanismo comune per avere un segnale di vero
se un certo numero di altri segnali sono tutti
veri.
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Porta logica OR
L' operazione logica OR (letteralmente o in inglese)
restituisce 1 (vero) se almeno uno degli elementi è 1
(vero); altrimenti dicibile: OR restituisce 0 (falso) se
e solo se tutti gli operandi sono 0 (falso).
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Porta logica NOT
L'operatore NOT Restituisce il valore inverso di quello
in entrata. Una concatenazione di NOT è semplificabile
con un solo NOT in caso di dispari ripetizioni o con
nessuno nel caso di pari.
info
Funzioni logiche
Le funzioni possono essere scritte sia in forma
canonica che non.
Si ha la forma canonica quando ogni termine è
composto da tutte le variabili dela funzione.
Es. di forma canonica: Y = ABC + A!BC + !A!BC
Es. di forma non canonica: Y = ABC + A!C + AB!C
(nel secondo termine è assente la variabile B).
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Funzione booleana
In matematica, una funzione booleana è una funzione
F(b1, b2, ..., bn)
di un numero n di variabili booleane bi che assumono valori
nello spazio booleano B = {0, 1}, cosi come F assume valori in
B. Con un insieme di n variabili esistono funzioni possibili. Le
funzioni booleane sono inoltre importanti poiché sono
isomorfe ai circiuti digitali cioè un circuito digitale può
essere espresso tramite un’espressione booleana e viceversa,
esse dunque svolgono un ruolo chiave nel progetto dei circuiti
digitali, ma trovano anche applicazione nella crittografia e
nelle telecomunicazioni.
info
Funzioni booleane
Le funzioni booleane fondamentali sono la
AND (solitamente indicata con il segno
meno: - ), la OR (solitamente indicata con
il segno più: +) e la NOT (solitamente
indicata con il segno ¬ ); dalla
combinazione delle funzioni boolene
fondamentali si ottengono tutte le altre
possibili funzioni. Poiché le variabili
possono assumere solo i valori 0 o 1 una
funzione booleana con n variabili di input
ha solo 2n combinazioni possibili e può
essere descritta dando una tabella, detta
tabella di verità, con 2n righe.
info
Proprietà
Le operazioni di somma e prodotto sono
commutative. Per ogni coppia di elementi x ed y
appartenenti all’insieme A, si ha: (x ⊕ y) = (y ⊕ x);
(x ⊗ y) = (y ⊗ x) • La somma è distributiva
rispetto al prodotto e questo è distributivo
rispetto alla somma. Per ogni coppia di elementi x
ed y appartenenti all’insieme A, si ha: (x ⊕ (y ⊗ z))
= (x ⊕ y) ⊗ (x ⊕ z); (x ⊗ (y ⊕ z)) = (x ⊗ y) ⊕
(x ⊗ z);
info
Proprietà
O è l'elemento neutro per la
somma ed I è l'elemento neutro
per il prodotto. Esistono due
elementi O, I tali che: per ogni
elemento x appartenente all’insieme
A, x ⊕ O = x; x ⊗ I = x • Ogni
elemento x dell'insieme A ammette
un complemento x' che è unico e si
indica con ∼ x. Per ogni elemento x
appartenente all’insieme A, esiste un
elemento x' tale che: x ⊕ x' = I; x
⊗ x' = 0 Simboli usati per il
complemento sono: x' = ∼ x = x
info
Variabili e costanti
booleane
Tutti i simboli matematici consueti,
possono essere usati per indicare uno
dei due valori booleani, (O, I); es. : A,
B, C, oppure x, y, z, ....., oppure,
ancora, x0, x1, x2,....... Se un simbolo
è associato sempre allo stesso valore
booleano, esso rappresenta una
costante. Se, invece esso può
assumere volta per volta l'uno o
l'altro dei due possibili valori, esso
rappresenta una variabile booleana.
info
Forma canonica
Abbiamo visto che è possibile esprimere le
funzioni
booleane tramite la sua espressione
analitica oppure tramite
la tabella di verità.
Le funzioni booleane possono essere
scritte in vari modi ma
vi sono delle espressioni che vengono
considerate standard.
Per far ciò definiamo i mintermini e i
maxtermini
info
Mintermini
Considerando una riga della tabella di verità
si
definisce mintermine il prodotto delle
variabili
booleane relative a tal riga prese in forma
diretta o
complementata a seconda se assumono valore
1 o 0.
info
Maxtermini
Si definisca maxtermine la somma delle
variabili
booleane prese in forma diretta o negata a
seconda se
assumono valore 0 o 1.
Con n variabili abbiamo mintermini e
maxtermini
info
Teorema di De Morgan
Dimostrazione del Teorema di DeMorgan
tramite tabella di
Verità.
info
Mappa di Karnaugh
La mappa di Karnaugh è una metodologia
esatta di sintesi di reti combinatorie a uno o
più livelli. Queste sono una rappresentazione
di una funzione booleana in modo da mettere
in evidenza le coppie di mintermini o di
maxtermini a distanza di Hamming unitaria
(ovvero che differiscono di un solo bit).
Siccome derivano da una meno intuitiva
visione multidimensionale delle funzioni
booleane in campo cartesiano, le mappe di
Karnaugh risultano effettivamente
applicabili a funzioni fino a 5 - 6 variabili.
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