Convegno PRISTEM - Milano 3-4-5 ottobre 2014
Matematica in classe. Giochi, modelli, storia
Algebra sempre uguale?
Osservazioni e riflessioni sul suo
insegnamento e apprendimento
Luigi Tomasi
Liceo “Bocchi-Galilei”, Adria (Rovigo)
Centro Ricerche Didattiche “Ugo Morin”
Paderno del Grappa (Treviso)
2
Scaletta
La didattica dell’algebra: un articolo ancora
attuale (G.Prodi-V.Villani)
Le Indicazioni nazionali e Linee guida
(Aritmetica e algebra) con alcuni commenti
Dall’aritmetica all’algebra e viceversa: qualche
esempio
Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica
e Algebra al termine del I biennio?
Conclusioni, considerazioni didattiche
3
Algebra sempre uguale?
ALGEBRA
•Tutti i ragazzi del mondo, dai 13 ai 16 anni
passano circa tre anni a studiare l’algebra, come
succede da tanto tempo…
•Qual è la situazione attuale dell’insegnamento
e dell’apprendimento dell’algebra rispetto a
qualche decennio fa?
•Le tecnologie stanno cambiando qualcosa?
•Alcune riflessioni generali e impostazioni, il
più possibile calate nella pratica didattica
•Qualche esempio didattico sull’insegnamento
dell’algebra.
4
Un articolo che ha provocato
molta discussione
Is Algebra Necessary?
by ANDREW HACKER
THE NEW YORK TIMES, SundayReview, July 28, 2012
Titolo di un articolo di Andrew Hacker (docente universitario di Scienze
Politiche al Queens College di New York)
5
ALGEBRA
Algebra: perché è necessaria?
Tutti sono convinti dell’importanza del calcolo
algebrico.
E’
il linguaggio delle matematica, che a sua
volta è il linguaggio della scienza, ecc.
Ma è un ostacolo, una specie di campo minato;
molti studenti si bloccano nello studio
dell’algebra
A chi non impara l’algebra non si apriranno
mai i campi dell’analisi (della matematica? della
scienza) e di tutto quel che ne segue…
6
7
ALGEBRA
ALGEBRA
Algebra come porta verso il linguaggio
della matematica … e della scienza
Destinata
ad essere alla base di tutti gli
apprendimenti della matematica e nello stesso
tempo a far da barriera agli studenti che si
vogliono avvicinare allo studio della
matematica.
L’algebra è difficile!
8
ALGEBRA
Insegnamento dell’Algebra: un articolo
importante dal punto di vista didattico
Un riferimento importante per la didattica
dell’algebra è il seguente articolo, che mantiene
anche oggi la sua validità:
Anche il calcolo letterale può essere
intelligente
(rivista Archimede, n.4, 1982)
Autori: Giovanni Prodi e Vinicio Villani
9
DIDATTICA DELL’ALGEBRA
Un libro fondamentale dal punto di vista didattico
Cominciamo da Zero
di Vinicio Villani
(Bologna, 2003)
Domande, risposte
e commenti per
saperne di più sui
perché della
Matematica
(Aritmetica e
Algebra)
10
IL CLACOLO LETTERALE
L’insegnamento del calcolo letterale:
un problema didattico
“Nell’attuale prassi dell’insegnamento, a livello delle
scuole secondarie superiori, molto spesso il calcolo
letterale si traduce in una lunga attività esecutiva e
ripetitiva, priva di motivazioni e di applicazioni.
Lo si potrebbe paragonare all’istruzione formale
che gli eserciti tradizionali riservavano alle
reclute…”
(G.Prodi-V.Villani)
11
IL CALCOLO LETTERALE
L’insegnamento del calcolo letterale: un
problema didattico
“Non si può negare che anche nel calcolo letterale
occorre, con un opportuno allenamento, creare
riflessi condizionati, in modo che la mente, nel
seguire un ragionamento matematico, sia solo in
piccola parte assorbita dal funzionamento del
meccanismo algebrico.”
(G.Prodi-V.Villani)
12
IL CALCOLO LETTERALE
L’insegnamento del calcolo letterale: un
problema didattico
“Ma, nell’insegnamento corrente, troppo spesso si
passa il segno,
anche perché il calcolo letterale viene
somministrato quasi tutto all’inizio della scuola
secondaria superiore,
anziché essere proposto man mano, in relazione
all’ampliarsi delle prospettive teoriche e dei
problemi affrontati.
Così l’algebra appare come un meccanismo noioso
e inutile, tale da respingere i ragazzi più intelligenti
e vivaci.
13
CALCOLO LETTERALE
L’insegnamento del calcolo letterale:
come renderlo “intelligente”?
La tesi dell’articolo di G. Prodi e V. Villani è che
“pur senza poter eliminare completamente dallo
studio l’esercizio ripetitivo, il calcolo letterale può
essere presentato in modo intelligente, vario e ben
graduato.”
Oggi
è ancora così?
Come è insegnato il calcolo letterale oggi?
Come si può rendere intelligente questo
insegnamento/apprendimento?
14
INDICAZIONI NAZIONALI
Nelle Indicazioni nazionali per i licei
(2010) si legge:
“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal
calcolo aritmetico a quello algebrico”
[…] “lo studente acquisirà la capacità di
eseguire calcoli con le espressioni letterali sia
per rappresentare un problema (mediante
un’equazione, disequazioni o sistemi) e
risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in
particolare in aritmetica”.
15
INDICAZIONI NAZIONALI
Nelle Indicazioni nazionali per i licei
(2010) si legge:
Lo studente apprenderà gli elementi di base del
calcolo letterale, le proprietà dei polinomi e le
operazioni tra di essi. Saprà fattorizzare semplici
polinomi, saprà eseguire semplici casi di divisione
con resto fra due polinomi, e ne approfondirà
l’analogia con la divisione fra numeri interi.
Anche in questo l’acquisizione della capacità
calcolistica non comporterà tecnicismi eccessivi.
16
ARITMETICA E ALGEBRA
Qualche commento alle Indicazioni
nazionali (2010)
“Il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal
calcolo aritmetico a quello algebrico” .
Ma c’è continuità tra insegnamento dell’algebra
e quello dell’aritmetica?
Molti
dicono che c’è un “salto cognitivo”.
Nei progetti dei ricercatori in didattica questo salto
è affrontato in vari modi, centrati su: simbolismo e
generalizzazione, funzioni, modellizzazioni del mondo
reale, problem solving, strutture, rappresentazioni
multiple.
17
ARITMETICA E ALGEBRA
Commento alle Indicazioni nazionali
(2010)
Un commento a questo passo tratto dalle
Indicazioni nazionali:
“Lo studente acquisirà la capacità di eseguire
calcoli con le espressioni letterali sia per
rappresentare un problema (mediante
un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo,
sia per dimostrare risultati generali, in particolare
in aritmetica”.
18
ARITMETICA E ALGEBRA
Commento sulle Indicazioni nazionali e
Linee Guida (2010) su Aritmetica e Algebra
Ciò suggerisce che l’uso delle lettere non debba
ridursi al solito calcolo algebrico, ma anzi lo
preceda, e serva a esprimere proprietà dei
numeri e a rappresentare adeguatamente
congetture sui numeri, fornendo anche, quando
possibile, la relativa dimostrazione.
In quest'ottica, il calcolo algebrico va integrato
con il calcolo numerico, di cui è il naturale
sviluppo.
19
ARITMETICA E ALGEBRA
Esempi che vanno nel senso delle
Indicazioni nazionali/Linee guida (2010)
Consideriamo un numero naturale n. Che cosa
si può dire di n(n+1) ?
È sempre dispari? È sempre pari?
(INVALSI, prova naz. “III media”, 2011)
Luca afferma che, se n è un numero naturale,
allora n(n+1)(n+2) è sempre divisibile per 6.
Luca ha ragione? Sì / No.
Motiva la tua risposta…………………
(INVALSI, Classe II superiore)
20
ARITMETICA E ALGEBRA
Un commento alle Indicazioni nazionali
-L'utilizzo
delle lettere precede l'usuale calcolo
algebrico ed è inizialmente finalizzato a
generalizzare proprietà numeriche (ma anche
formule in geometria o altri ambiti), a
esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle.
-Solo in un secondo tempo si passerà allo
studio esplicito delle tecniche di calcolo
algebrico.
-Questo consentirà di consolidare
gradualmente nel tempo la competenza nel
calcolo numerico e di giungere a una
competenza algebrica adeguata nell'arco del
primo biennio.
21
ARITMETICA E ALGEBRA
Un commento alle Indicazioni nazionali
Proprio
per una forte aderenza alle strutture
numeriche si suggerisce, come indicato da
Giovanni Prodi, di introdurre i polinomi a
partire da formule atomiche e poi le
operazioni di somma e moltiplicazione.
Soprattutto nelle prime manipolazioni
algebriche, è importante mantenere forte il
significato delle formule e far capire
all’allievo che il calcolo algebrico non è
fine a se stesso.
22
ARITMETICA E ALGEBRA
Un commento alle Indicazioni nazionali
•Nell’affrontare le tecniche di calcolo
algebrico sarà opportuno individuare il giusto
equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il
“senso” di una formula in un certo contesto)
e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale)
che è in parte legata all’addestramento.
•Si pone dunque per l'insegnante il problema
della ricerca di un equilibrio fra "meccanismi"
e significati, di favorire cioè la necessaria
acquisizione di alcuni automatismi,
mantenendo viva al tempo stesso la riflessione
su quanto si sta facendo.
23
ARITMETICA E ALGEBRA
Un commento alle Indicazioni nazionali
Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro
valenza operativa e non dovranno
costituire compito eccessivamente ripetitivo;
per fare un esempio, gli esercizi di sviluppo
(expand nei software CAS) possono essere
alternati con gli esercizi di fattorizzazione
(factor), per favorire quella ‘reversibilità’
indispensabile per una completa
comprensione.
Notiamo come, nelle Indicazioni nazionali/Linee
guida, ripetutamente si avverta di non
eccedere in tecnicismi manipolatori.
24
25
ARITMETICA E ALGEBRA
ARITMETICA E ALGEBRA
Indicazioni nazionali, I biennio, liceo
scientifico
[L’allievo] Studierà i concetti di vettore, di
dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto
scalare e vettoriale nel piano e nello spazio
nonché gli elementi del calcolo matriciale.
Approfondirà inoltre la comprensione del ruolo
fondamentale che i concetti dell’algebra vettoriale
e matriciale hanno nella fisica.
26
ARITMETICA E ALGEBRA
Un commento alle Indicazioni nazionali
Troppo nel I biennio!
Facciamo notare che la parte relativa ai
vettori e alle matrici (da non svolgere
completamente nel I biennio!) è da fare al
liceo scientifico [e pertanto va letta come un
approfondimento];
gli altri indirizzi ne fanno un uso piu’ limitato
alle operazioni tra vettori e al prodotto
scalare, nel secondo biennio.
27
ARITMETICA E ALGEBRA
Difficoltà degli studenti nello studio
dell’algebra
Per
capire le difficoltà degli studenti
nell’apprendimento dell’algebra può essere
utile analizzare le analogie e le differenze tra
aritmetica e algebra.
L’aritmetica tratta di proprietà dei numeri e
calcoli sui numeri
mentre l’algebra richiede di ragionare su
quantità incognite e percepire la diversità tra
situazioni specifiche e situazioni generali.
28
ARITMETICA E ALGEBRA
Differenze e analogie tra aritmetica e
algebra
Ci
sono differenze che riguardano
l’interpretazione di lettere, simboli, espressioni
e il concetto di uguaglianza, poiché in
aritmetica le lettere sono in genere,
abbreviazioni o unità, in algebra esse
rappresentano variabili, parametri o incognite.
29
ARITMETICA E ALGEBRA
Differenze e analogie tra aritmetica e
algebra
La sintassi del linguaggio algebrico consta di un
gran numero di regole basate su principi, che,
in parte, contraddicono quelle del linguaggio
quotidiano e dell’aritmetica.
La più notevole divergenza tra algebra e
aritmetica dal punto di vista del linguaggio è di
tipo semantico con implicazioni sintattiche
notevoli.
30
31
ARITMETICA E ALGEBRA
ARITMETICA E ALGEBRA
Primo approccio all’algebra
Abbiamo
visto che il primo approccio
all'algebra è quello di un ampliamento
dell'ambiente dell'aritmetica e di una
riflessione sulle sue proprietà.
Tuttavia uno dei possibili modi per condurre
gli alunni a un corretto uso dell'algebra è
quello di proporre l'uso di simboli e la
manipolazione su di essi in contesti diversi.
32
ARITMETICA E ALGEBRA
Primo approccio all’algebra e
collegamento con la scuola sec. di I grado
Il
collegamento algebra-geometria è presente
già nella Scuola secondaria di I grado (“Scuola
Media”) attraverso l'introduzione del 'metodo
delle coordinate' :
proprio con lo studio più ampio e
approfondito della geometria analitica, la
geometria diventerà per gli alunni nelle scuole
superiori un terreno privilegiato di
applicazione dell'algebra.
33
ARITMETICA E ALGEBRA
Primo approccio all’algebra
Anche
da sola la geometria può costituire un
interessante terreno di avvio al pensiero
algebrico quando ad esempio si lavora sul
calcolo di aree e perimetri, in quanto mette a
contatto con l'elaborazione e la
manipolazione di formule: inoltre essa può
fornire un supporto concreto che aiuti la
visualizzazione delle proprietà formali.
34
Problemi ed equazioni
ALGEBRA
La
nascita dell'algebra è storicamente legata
allo studio delle equazioni e alla loro
risoluzione.
Dal punto di vista didattico le equazioni
rappresentano un momento importante in
quanto costituiscono uno strumento di
soluzione di problemi (“algebra come
strumento di pensiero”).
35
36
ALGEBRA
Algebra come strumento di pensiero
ALGEBRA
È
dunque utile che l’insegnante presenti le
equazioni come uno strumento efficace, ma
non unico, per risolvere problemi, valorizzi i
metodi elementari di risoluzione, stabilendo
un collegamento con gli strumenti risolutivi
utilizzati nella Scuola secondaria di I grado
(uso di frecce, tabelle, diagrammi di flusso e
altre rappresentazioni opportune per favorire
la padronanza dei significati) e
trovi gli esempi adeguati a “mettere in crisi”
questi metodi quando non sono "comodi".
37
ALGEBRA
Problemi ed equazioni: algebra come
strumento di pensiero
Nella
soluzione di un problema tramite
un'equazione il linguaggio algebrico deve
essere visto con una doppia valenza: come
traduzione stenografica di una strategia
risolutiva e come espressione sintetica su cui
operare per trarne informazioni.
38
Equazioni
ALGEBRA
Naturalmente
è essenziale portare avanti
anche alcuni punti fondamentali sul piano
teorico quali il significato del termine
uguaglianza, le ipotesi nelle quali è possibile
operare trasformazioni su una uguaglianza, le
questioni relative ad esistenza delle soluzioni,
il significato di termini quali identità ed
equazione indeterminata, ...
In particolare è importante condurre gli
allievi a sapere risolvere un'equazione
applicando consapevolmente i "principi di
equivalenza".
39
La scomposizione in fattori (factor)
ALGEBRA
Fra
gli argomenti che nel biennio di scuola
superiore possono contribuire all'acquisizione
di una buona padronanza del calcolo formale e
al tempo stesso presentano la possibilità di
mettere in rilievo aspetti teorici interessanti
accenniamo ad esempio alla scomposizione di
polinomi in fattori, eventualmente irriducibili.
Occorre sfatare l’idea che i polinomi si
possano tutti scomporre: la probabilità di
trovare un polinomio riducibile è nulla! (G.
Prodi e V.Villani)
40
La fattorizzazione dei polinomi
ALGEBRA
Si
tratta di un argomento che
tradizionalmente viene svolto in tutte le scuole
e viene spesso considerato ‘difficile’.
Infatti, come è noto, non esiste per la
fattorizzazione un algoritmo così generale e
immediato come per lo sviluppo (expand), anzi
l'insegnante deve mettere in evidenza con
opportuni esempi il carattere eccezionale della
fattorizzabilità almeno per i polinomi in più
variabili (G.Prodi-V.Villani 1982).
41
La fattorizzazione dipende dal contesto!
ALGEBRA
Si
tratta di una occasione didatticamente
importante, in quanto l'esercizio algebrico
anche se di tipo puramente sintattico richiede
la scelta di un procedimento risolutivo anziché
l'applicazione di una regola.
Accanto ai raccoglimenti è utile promuovere il
riconoscimento dei 'prodotti notevoli'.
Più avanti, quando si tratta il problema della
divisibilità fra polinomi, è importante affrontare
il tema della riducibilità di un polinomio in Q[x]
o in R[x].
42
Fattorizzazione: un esempio
ALGEBRA
Il
polinomio x2+4 è irriducibile nei reali.
Molto spesso si dice: è irriducibile perché è la
somma di due quadrati (senza aggiungere
che è di secondo grado…)
In questo modo si crea una misconcezione
Anche x4+4 è la somma di due quadrati, ma…
x4+4= x4+4 +4x2 - 4x2=(x4+4 +4x2 )- 4x2
=(x2+2)2 - 4x2 =(x2+2 +2x )(x2+2- 2x )
43
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
[email protected]
aiuta l’aritmetica
[email protected]
Pensa un numero intero
• somma ad esso 12
• moltiplica il risultato per 5
• sottrai 4 volte il numero pensato
• somma al risultato 40
L’uso delle lettere non
si riduca al solito
calcolo algebrico, ma
anzi lo preceda e
serva ad esprimere le
proprietà dei numeri
Che numero hai ottenuto?
n
…+12
7
7+12
…5
… - 4…
(7+12)5 (7+12)5 – 47
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
…+40
Cosa ottieni?
[(7+12)5 - 47]+40
Prova ora a “generalizzare” l’espressione
scritta, in modo indipendente dal numero
pensato
5( n + 12) – 4n + 40 = 100 + n
44
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici”
Considera il prodotto 15·25
puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5)
quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5
dopo le semplificazioni ottieni
20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5
Cioè
202 − 52.
Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti:
28·32 =……………………………………………………………
97·103 =……………………………………………………………
Eseguire operazioni tra
numeri
• a mente
• con gli usuali algoritmi
scritti
• con strumenti
valutando quale
strumento può essere
più opportuno
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
• Interpretare
geometricamente
l’equivalenza di due
formule
• esprimere con parole
e con formule le
regolarità osservate
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
45
a b
2
b
S3 a b
a
S1 a 2
a 2 b 2 2ab
S a b
2
S2 b2
Algebra geometrica
Quadrato di un binomio
S3 b a
S = a2 + b2 + ab + ab =
a
b
a2+b2+2ab
46
a b2 a 2 b 2 2ab
a·b
b2
S=(a-b)2
a
b
a
a-b
Algebra geometrica
Quadrato di un binomio
a2
(a-b)2
S= a 2 - a·b - a·b + b2 =
a-b
b
a2-2ab+b2
47
Algebra geometrica
Quadrato di un trinomio
a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc
S a b c
2
S6 a c
c
b
S4 a b
a
S1 a 2
S8 b c
S3 c 2
S 2 b 2S
9
cb
S5 b a
S7 c a
S= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
b
a
c
48
a b
3
a 3 a b 3 ab b
3
2
2
3
V a b
3
V a3
a
b
V=ab2
Algebra geometrica
Cubo di un binomio
V a 2b
V=ab2
V b3
V=ab2
b
a
V a 3 b 3 3a 2 b 3ab 2
49
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
L’espressione
10012 – 9992
vale
a) 2000
b) 2
c) 4000
d) 4
Dall’aritmetica
all’algebra
e viceversa
(calcolo mentale)
10012 – 9992 = (1001999)*(1001+999)=...
50
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
Un fattore del numero
1334 – 1324
vale
a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
Dall’aritmetica
all’algebra
e viceversa
1334 – 1324= (1332-1322) (1332+1322)=
(133+132) (133-132) …=265*1*…
51
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
Si sa che il prezzo p di un
abito ha subìto una
maggiorazione del 6% e,
altresì, una diminuzione
del 6%; non si ha ricordo,
però, se sia avvenuta
prima l’una o l’altra delle
operazioni.
Che cosa si può dire del
prezzo finale dell’abito?
Dalla congettura,
all’argomentazione, alla
dimostrazione:
i simboli per esprimere,
comunicare, generalizzare e
risolvere problemi
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
6
6
p ' p 1
1
100 100
p (1 x )(1 x )
52
L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
La base di un rettangolo R è
aumentata del 40% mentre la sua
altezza viene ridotta del 50%.
L’area del rettangolo R’ così ottenuto, è
diminuita o aumentata?
Di quale percentuale?
40
50
A ' a 1
b 1
L’algebra aiuta
100 100
l’aritmetica
ab(0,6)(1,5) A 0,9
53
LE PROVE INVALSI
Cosa ci dicono le
prove INVALSI
sull’aritmetica e
sull’algebra?
54
PROVE INVALSI
Classe II sup. – 2011
Gli studenti non
trasferiscono all’ambito
numerico il raccoglimento a
fattor comune. Il calcolo
simbolico è un campo di
esperienza recintato e non
comunicante con gli oggetti
numerici. L’algebra non è
strumento di pensiero.
Non risp
2,4
A
35,0
B
1,9
C
22,0
D
38,7
55
È difficile non essere d’accordo con quanto
riportato sul Quaderno INVALSI
• Gli studenti non sembrano essere in grado
di trasferire in un ambito più specifico il
procedimento di raccolta a fattor comune,
tipico della pratica didattica messa in opera
nell'insegnamento-apprendimento del
calcolo letterale.
• Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal
generalizzare le proprietà dei numeri,
sembra essere visto, paradossalmente, come
un campo di esperienza sintattica recintato
e non comunicante con gli oggetti numerici.
In altri termini non sembra che gli studenti
siano in grado di usare l’algebra come
strumento di pensiero.
56
Commento (Quaderno INVALSI)
•
•
Solo poco più del 20% degli studenti
riconosce che 1037 +1038 = 111037,
nonostante le altre opzioni possibili
dovessero risultare palesemente scorrette,
in base a semplici e immediate
considerazioni sugli ordini di grandezza dei
numeri in gioco.
È plausibile supporre che se la domanda
avesse fornito (anziché l'espressione
numerica 1037 + 1038) l'espressione
simbolica x37+ x38, un numero maggiore di
studenti avrebbe raccolto x37 a fattor
comune, trovando così l'espressione
equivalente corretta x37(1 + x).
57
Commento (Quaderno INVALSI)
•
•
•
In ogni caso la presenza di un numero così
rilevante di risposte errate in domande che
ricalcano esercizi tipici della prassi didattica,
svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di
scuola secondaria,
invita a una riflessione sull’opportunità
didattica di molte attività di
manipolazione simbolica fini a se
stesse
che sembrano avere come risultato, per
tanti studenti, quello di inibire strumenti
di controllo semantico (in questo caso
più che sufficienti per determinare la
risposta corretta).
58
Classe II sup. – 2012
PROVE INVALSI
Se il contesto è quello
delle ‘lettere’ gli allievi
individuano più
facilmente la proprietà
delle operazioni a cui
fare ricorso.
I registri numerico ed
algebrico
sembrerebbero
costituire, per molti,
campi di esperienza
separati.
59
PROVE INVALSI
Ma già alla fine del I Ciclo (“III Media”) i
problemi non mancano…
[da Prova nazionale, Matematica 2012, “3^Media”]
60
Matematica- Percorso didattico
proposto dalla CIIM
Un percorso didattico
di Matematica proposto da un
Gruppo di lavoro
nominato dalla CIIM
http://www.umi-ciim.it/
materiali-umi-ciim/secondo-ciclo/
61
Matematica-Percorso “sintetico”
Un percorso “sintetico” proposto per il Primo anno
Aritmetica e algebra
15 h (A1): Aritmetica (fino
ai numeri razionali).
Algebra (uso delle lettere
fino ai prodotti notevoli)
Relazioni e funzioni
5h (R1): Introduzione al
concetto di funzione.
Raggruppamenti
comuni
10h* (C1): Equazioni e
disequazioni di I grado (in
comune tra Aritmetica e
algebra e Relazioni e
funzioni)
10 h* (C2): Lettura
tabelle, rappresentazione
grafica di dati e grafico di
funzioni (in comune tra
Relazioni e funzioni,
Geometria e Dati e
previsioni).
5h* (C3): analisi di diverse
funzioni (in comune tra
Relazioni e funzioni e Dati
e previsioni)
Geometria
20 h (G1): Recupero,
consolidamento e
approfondimento delle
conoscenze pregresse
sulle figure del piano.
Proprietà essenziali di
triangoli e poligoni
attraverso procedimenti
costruttivi e argomentativi.
Dati e previsioni
15 h (D1): Indagine
statistica (con tutti i
possibili collegamenti con
gli altri ambiti)
62
Matematica- Percorso “sintetico”
Un percorso “sintetico” proposto per il Secondo anno
Aritmetica e algebra
10 h (A2): Introduzione
intuitiva dei numeri reali
e delle loro
rappresentazioni.
Operazioni coi numeri
irrazionali.
Relazioni e funzioni
15 h (R2):
Consolidamento del
concetto di funzione.
Analisi delle funzioni
lineari e delle funzioni
f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) =
x2.
Raggruppamenti comuni
5 h* (C4): Applicazioni della
similitudine (in collegamento
tra Geometria e Aritmetica e
algebra). Rette nel piano
cartesiano, rappresentazione
di oggetti algebrici (In
collegamento tra Geometria,
Aritmetica e algebra e
Relazioni e funzioni).
5h*(C5): Approfondimenti di
statistica (in collegamento tra
Dati e previsioni e
Geometria).
10 h*(C6): Approfondimenti
su Equazioni e Disequazioni
(in collegamento tra
Relazioni e funzioni,
Aritmetica e algebra e
Geometria).
Geometria
20h (G2): Il ruolo del
teorema di Pitagora,
approfondimenti su un
numero limitato di temi per
arrivare alla dimostrazione
attraverso
l’argomentazione.
Equivalenza nel piano e
misura di superfici.
La similitudine nel piano, il
teorema di Talete (in modo
intuitivo).
Dati e previsioni
15 h (D2): Studio di alcuni
elementi fondamentali di
calcolo delle probabilità
fino alla prima introduzione
della probabilità
condizionata (con tutti i
possibili collegamenti con
gli altri ambiti).
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Percorso “analitico” – Aritmetica e algebra
Conoscenze
Abilità
Competenze
Attività
Equazioni e
disequazioni
Equazioni e
disequazioni di
primo grado:
metodi numerici
(tabelle), grafici
(piano
cartesiano),
simbolici
“Relazioni e
funzioni”,
funzioni lineari
Sviluppare il
significato di variabile
e di equazione,
comprendendone il
ruolo nei diversi
contesti.
Tradurre agilmente
dal linguaggio
naturale al linguaggio
algebrico e
viceversa.
Impostare e risolvere
problemi
modellizzabili
attraverso equazioni,
disequazioni e
sistemi di primo e
secondo grado.
Risolvere per via
grafica, numerica o
algebrica equazioni,
disequazioni, sistemi
di primo grado; saper
verificare la
correttezza dei
risultati.
Individuare le
strategie
appropriate per la
soluzione di
problemi
analizzare dati e
interpretarli
sviluppando
deduzioni e
ragionamenti sugli
stessi anche con
l’ausilio di
rappresentazioni
grafiche, usando
consapevolmente
gli strumenti di
calcolo e le
potenzialità
offerte da
applicazioni
specifiche di tipo
informatico
1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari
([email protected])
Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si
formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado,
individuare relazioni significative fra grandezze di varia
natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di
rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e
funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le
proprietà qualitative delle funzioni
2F - Equazioni e disequazioni di primo grado ([email protected])
3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono ([email protected])
Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili
attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e
secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica,
problemi che si descrivono mediante equazioni,
disequazioni, funzioni
4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni
(IPRASE)
Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica
sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi
e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi
possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri
invece che richiedono una rilettura attenta per la
comprensione del testo.
5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet
scaricabile dal sito:
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html
?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)
Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.
6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)
7F – Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa)
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Consigli per Aritmetica e Algebra
È importante mantenere forte, soprattutto nelle
prime manipolazioni algebriche, il significato delle
formule e far capire all’allievo che il calcolo
algebrico non è fine a se stesso.
Nell’affrontare le tecniche di calcolo
algebrico sarà opportuno individuare il
giusto equilibrio fra la ricerca del valore
semantico (il ‘senso’ di una formula in un
certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di
calcolo formale) che è in parte legata
all’addestramento.
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…e sconsigli
Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro
valenza operativa e non dovranno costituire compito
eccessivamente ripetitivo
Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a
esprimere con parole e con formule le regolarità
osservate (eventualmente anche mediante
rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un
utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la
costruzione di alcuni semplici algoritmi
implementabili sul calcolatore.
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Conclusioni
Algebra sempre uguale?
NO, la didattica è cambiata…
Rispetto a qualche tempo fa, abbiamo idee
più chiare sul modo di realizzare un
percorso didattico dall’aritmetica all’algebra
e viceversa e le tecnologie ci offrono
possibilità sempre più grandi.
Le Indicazioni nazionali propongono di
operare in questo senso.
Necessità di formazione didattica dei
docenti (laurea magistrale, TFA e oltre)!
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