Il Campo Elettrico

Lezione 2: il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico
Il Campo Elettrico

q0 q1 
F10 
u
2
40 r
1
1
F10
q

q1
 q0
u
2
40 r
0
q
1
q1 esercita su q0 una forza proporzionale a:
q0 (carica esploratrice)
termine vettoriale
che dipende da q1 e dalla
posizione, detto
campo elettrico
prodotto da q1

q1 
E (r ) 
u
2
40 r


F 10  q0 E (r )
1
Asimmetria fra le cariche:
q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazio
q0 sperimenta la forza
 il campo esiste anche quando q0 non c’è
Modello visivo di
campo E
telo elastico
Q+
q-
Q+ (sorgente)  deforma il telo
q - (carica di prova)  segue
la curvatura del campo
principio di sovrapposizione:
forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi


qi 
F   Fi  q0 
ui
2
i
i 40 ri

1

F  q0 E

1 n qi 
E
ui

2
40 i 1 ri
distribuzioni continue di cariche
enorme quantità (miliardi) di cariche sparse su
 linea
 superficie
 volume
densità di carica
dq   ds
  C/m
  C/m2
  C/m3
dq   da
dq   dV


E  d E
Filo carico infinito
dE 

1
dq
40 r 2
dz
40 y 2  z 2
1
E y   dE y 
E
(anello carico, disco carico …)
z  
 cos dE
z  

20 r
Definizione operativa
del campo
Il campo elettrico E(r) si manifesta,
ponendo in r una carica esploratrice q0,
mediante la forza q0 E(r)

utilizzo una piccola carica q0


N
[E] 
C
F
E
q0
per non perturbare le cariche
responsabili del campo:


F
E  lim
q0  0 q
0
Il concetto di campo elettrico
elimina le azioni a distanza
Prima di Faraday:
azione a distanza
la forza agente fra particelle cariche è una interazione
diretta e istantanea fra le due particelle
carica  carica
Visione attuale:
azione locale
q1 origina un campo elettrico nello spazio circostante
campo esercita su q2 una forza F
carica  campo
Eq1  Eq2
Fq1 = -Fq2
in condizioni statiche:
Azione a distanza  azione locale
in condizioni dinamiche:
q2 è informata del moto di q1
da una perturbazione
del campo che si propaga con velocità c.
Applicazioni
campi elettrici
Stampanti
a getto d’inchiostro
ogni lettera 100 gocce
105 gocce/sec
Rappresentazione grafica
del campo elettrostatico
Il campo elettrico è vettoriale
Faraday: rappresentazione geometrica dei campi
vettoriali mediante linee di forza
linea di forza:
curva orientata diretta
in ogni punto nella
direzione e verso
tangente al campo
in quel punto

E
sono infinite
non si incrociano mai
rappresentano direzione, verso, intensità
escono da +q, entrano in -q
possono venire o andare a 
Esempi linee di campo
linee di forza attorno a conduttori carichi:
semi d’erba galleggianti su un liquido isolante
piastra
carica
sferette con
cariche
opposte
Teorema di Gauss
Flusso di E
attraverso DS:


D  E DS  DN

E
DS
DS
DS
Fluido incomprimibile:


E  v 
D  v  DS
superficie

finita
volume di fluido che attraversa
DS nell’unita` di tempo


 E DS
S
somma algebrica
linee di campo:
entranti –
uscenti +
campo elettrico E generato da q


d  E dS
q 1  

e  n dS
2 r
40 r

q
40

d
1
( E 2 )
r

   E DS 
S
q
V
q
40

 div E dV 
d dipende solo da
angolo solido d
sotto cui la carica
vede dS
1
0

div E 
0

V
 d  
tutto
0
indipendente dalla
posizione della
carica q
dV

Teorema di Gauss
Conseguenza del
Teorema di Gauss
Conduttore isolato:
un eccesso di carica si distribuisce
sulla superficie esterna
S
(verifica sperimentale prima di
Gauss e Coulomb)
ecceso di carica  campo elettrico E0
 moto di cariche
 equilibrio E=0
 ( E )  0 per ogni S
q=0
entro S

la carica deve essere sulla
superficie del conduttore
Verifica sperimentale
Teorema di Gauss


   E  DS 
S
q
0
1
E 2
r
1755 Franklin: all’interno di un recipiente metallico
isolato non possono esservi cariche
Cavendish: esegue esperimento e deduce che
esponente nella legge della forza di Coulomb
e` 1.98-2.02 (mai pubblicato!!)
Maxwell: ripete esperimento di Cavendish e trova
1.9995-2.00005
N.B. La legge di Coulomb e` del 1785 !!!
1936: Plimpton e Lawton
1
q
E
2 d
40 r
se d=0  ( E ) 
q
0
dispositivo:
due involucri metallici concentrici A e B
B contiene elettrometro E per rivelare moto di cariche
fra A e B
con commutatore S trasferisco carica sulle sfere
non si osserva alcun effetto nell’elettrometro
Applicazioni
teorema di Gauss
(1) Calcolo di E
(distribuzioni simmetriche di cariche)
Filo carico infinito
(simmetria cilindrica)
 ( E )  EA cos 
 E ( 2r  h) cos 
 E ( 2r  h)
( E ) 
T .Gauss
qint
0
 0 E (2rh)  h

E
20 r
(simmetria piana, sferica …)
(2) Schermo elettrostatico
E=0
Il campo E è sempre
nullo
all’interno di
conduttori cavi
Il conduttore può avere
 Piccole aperture
 Struttura a rete
(discontinuità non si avvertono a
grandi distanze)
Utilizzo in laboratorio:
per proteggere
strumentazione delicata
da campi elettromagnetici
Il potenziale elettrostatico
Forza di Coulomb è conservativa
r2


L    F  ds
r1
q0  1 1 
  
 q
40  r1 r2 
il lavoro fatto per spostare una carica q
in presenza di una carica q0 non dipende dal percorso
energia potenziale U
(funzione della sola posizione della carica q)
q0 1
U (r )  q
 costante
40 r
L  U (r2 )  U (r1 )
Forza di Coulomb è conservativa
2 

L    F  ds
1
2

q0 u r 
 q
 ds
2

40 1 r
2
q0 dr
 q
40 1 r 2
q0  1 1 
  
 q
40  r1 r2 
il lavoro fatto per spostare una carica q
in presenza di una carica q0
non dipende dal percorso ma solo dal punto
iniziale e finale.
 tutte le forze centrali sono conservative
Se la carica q è unitaria:


FE
2 

L    E  dr   (r2 )   (r1 )
1
J
[ ]   V
C
Il lavoro è una differenza di potenziale
tra i punti r2 ed r1
r 
Il potenziale è definito
a meno di una costante
additiva arbitraria
campo creato da
carica puntiforme
q0 nell’origine
 (r ) è il lavoro che

 (r )    E  dr
r0
 (r0 )  0
q0 1
 (r ) 
 cost
40 r
 ( )  0
fatto contro le forze del
campo per portarvi la carica unitaria dall’ 
Potenziale elettrico
di carica puntiforme
Q+: repulsivo
Q -: attrattivo
La forza elettrica fa muovere le
cariche positive da punti a
potenziale maggiore verso punti a
potenziale minore
In elettrostatica:
r2


 (r2 )   (r1 )    E  dr
r1
r2

 (r2 )   (r1 )    (r )  dr

k
r1
     
 
i
j
k
x
y
k


i
j

E  
Calcolo del campo prodotto da una data
distribuzione di carica:
calcolo il potenziale
derivo le componenti del campo
Superfici equipotenziali
LI = LII = 0
LIII = LIV
Luogo geometrico dei punti
con medesimo potenziale

E non compie lavoro su tali
superifici
(L=Vf – Vi=0)
 sono perpendicolari alle linee di campo
altrimenti E avrebbe componente sulla superficie
 E compirebbe lavoro per muovere carica su superficie
spostamento infinitesimo




dl  dx i  dy j  dz k
incremento della funzione



 d 
dx 
dy 
dz
x
y
k

d  dx  dy  dz



 d    dl  0 su sup. livello
dl x dl y dl k dl



   dl  E  dl
Problema fondamentale
dell’elettrostatica

E  


div E 
0
E è conservativo
Teorema di Gauss

equazione di Poisson

div      
0
2
2
2
2






 2 


x 2 y 2 z 2
Laplaciano
(in coordinate cartesiane)
 per distribuzioni NOTE di cariche
puntiformi, superficiali, volumetriche:

 (r ) 
N
qi
  

40 i 1 r  ri

1
 (r ' )da '
1

 
40 S r  ri
40
1

V

 
r  ri
 (r ' )dv'
in presenza di conduttori:
distribuzione di carica NON nota a priori
su superfici dei conduttori causa
fenomeno induzione elettrostatica
Come posso risolvere il problema?
1. studio eq. di Poisson in tutti i punti in cui (x,y,z)=0
equazione di Laplace
 2  0
2. cerco soluzioni armoniche (“regolari”)
in regione di spazio V finita:
cerco cioè funzioni finite, continue in derivate prime
e con derivate seconde
N.B. tali funzioni esistono e
sono univocamente determinate assegnati i valori di
 o delle sue derivate sulla superficie S che racchiude V
[Teoremi di Dirichlet e Neumann]
in pratica:
1. risolvo equazione di Poisson in punti esterni ai conduttori
2. cerco soluzione univocamente definita imponendo
condizioni al contorno: valori di potenziale o campo E
su superfici dei conduttori.
N.B. dentro i conduttori: E = 0,   costante  S
si distingue inoltre tra
problema chiuso:
esiste superficie S che contiene tutti i conduttori
 assegno condizioni al contorno su S
problema aperto:
superficie S  
 specifico comportamento potenziale a 
condizioni normali a 
lim r ( r )  c1
r 
lim r 2
r 
d ( r )
 c2
dr
1
r  r
d ( r )
1
 2
dr r  r
 (r) 
N.B. tali condizioni sono valide se a 
NON ci sono cariche
esempio:
carica ad   potenziale ad  NON nullo
filo uniformemente carico
lunghezza finita L
z
P(  , , z )
L2
R
z  z'
dz '
0
x

y

 L1
R   2  ( z  z' )2
 L
 ( P) 
40  L
dz '
2
1
 2  ( z  z' )2
sapendo che:
du
2
2

ln(
u

u


)
 u2   2
u  z  z '  u1  z  L1

du  dz '  u2  z  L2
 zL
 ( P) 
40 z  L
2
1
 zL
du


 2  u 2 40 z  L  2  u 2
 du
1
2
 z  L1   2  ( z  L1 )2


ln 
40  z  L2   2  ( z  L2 )2





Supponiamo ora il filo molto lungo:
L1  , L2  
L1   , L1  z
L2   , L2  z
numeratore
 2L1
1
2
1
1
denominatore: uso espansione (1  x )  1  x  x 2  ...
2
8
1/ 2
1/ 2


2 

( L2  z )  1  1 
2 
(
L

z
)

2


  ( P) 




2  
1 2  2

  L2  1  1  2    L2  1  1 
2
2
L
L
2 L2



2 
2 


 4L L 

ln  12 2   

40    LL 

1
2
il potenziale diventa  perché L1 ed L2 vanno ad 
 il potenziale è diverso da 0 ad 
perché ho carica a 