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APPENDICE. Sintassi e semantica
FOL (Firts Order Logic)
• Comp(P) e’ una formula del primo ordine pieno. Richiamiamo
sintassi e semantica per chi non avesse seguito logica. Ci
limitiamo alle interpretazioni di Herbrandt.
Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi
LA SINTASSI di FOL:
Termine ::= Variabile | Costante | SimboloF(Termine,…,Termine)
Atomica ::= SimboloP(Termine,…,Termine)
Formula ::=
Atomica
(not Formula)
(Formula  Formula)
(Formula  Formula)
(Formula  Formula)
(Formula  Formula)
(Formula  Formula)
(x Formula)
(x Formula).
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Esempio
Nei cortili ci sono solo cani e gatti, cioè se X è in un cortile
è un cane o un gatto.
Nel cortile corte3 ci sono un gatto e un cane.
x,c (incortile(x,c)  cane(x)  gatto(x)) 
a,b (cane(a)  gatto(b) 
incortile(a,corte3)  incortile(b,corte3))
Solite precedenze; i quantificatori hanno la precedenza di not
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In prolog: le segnature
% Segnatura corrente definita da una base dati con:
%
aconst(X) : X è una costante
%
avar(X)
: X è una variabile
%
afunc(F,N) : F simbolo funzione N-ario
%
apred(P,N) : P simbolo predicato N-ario
avar(X) :- member(X,[a,b,c,x]).
aconst(X) :- member(X,[felix,pluto,corte3]).
apred(cane,1).
apred(gatto,1).
apred(incortile,2).
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In prolog: le atomiche in una segnatura
aterm(X) :- aconst(X);
avar(X);
( X =.. [F|Terms],
afunc(F,N),
terms(Terms,N) ).
anAtom(X) :- X =.. [P|Terms],
apred(P,N),
terms(Terms,N).
terms([],0).
terms([T|TT],N) :- N > 0, M is N-1,
aterm(T),
terms(TT,M).
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In prolog: le formule
% uso operatori infissi
:- op(200,xfy,&).
:- op(220,xfy,v).
:- op(150,fy,non).
:- op(250,xfx,imp).
:- op(250,xfx, se).
:- op(250,xfx,sse).
aformula(X) :- anAtom(X);
X = non A, aformula(A);
X = A & B, aformula(A), aformula(B);
X = A v B, aformula(A), aformula(B);
X = A imp B,
…..
X = exi(V,A), avar(V), aformula(A);
X = for(V,A), avar(V), aformula(A).
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Variabili libere
•  è detto quantificatore universale ed  è detto quantificatore
•
•
•
•
•
esistenziale
In (Qx A), dove Q è un quantificatore, A è detta scopo di Qx
Una variabile x occorre vincolata in una formula se occorre
nello scopo di un quantificatore Qx; occorre libera se non
occorre vincolata; può occorrere sia libera, sia vincolata.
Una formula è chiusa se nessuna variabile occorre libera
Le sostituzioni sostituiscono SOLO le occorrenze libere
Le istanze chiuse o ground si ottengono sostituendo con
termini ground tutte le occorrenze libere di variabili
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ESEMPIO
X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X)) 
X quantificata
vede(X,Y)
X libera
(X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(X,Y)){X/fido}
= (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(fido,Y)
Le istanze ground nell’universo {fido,felix} sono 4:
(X,C (incortile(X,C) 
(X,C (incortile(X,C) 
(X,C (incortile(X,C) 
(X,C (incortile(X,C) 
cane(X)  gatto(X))  vede(fido,fido)
cane(X)  gatto(X))  vede(fido,felix)
cane(X)  gatto(X))  vede(felix,fido)
cane(X)  gatto(X))  vede(felix,felix)
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Sostituzione in Prolog
% La sostituzione distingue fra quantificatori e qualsiasi altro operatore;
% conviene introdurre due decomposizioni in sottoespressioni:
quantified(QF,Q,V,Sub) :F = [Q,V|Sub],
member(Q,[for,exi]).
compound(F,Op,Sub) :F ..= [Op|Sub],
( afunc(Op,_); apred(Op,_); aPropositrionalOp(Op) )
aPropositionalOp(X) :member(X,[non, &, v, imp, se, sse])
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Sostituzione in Prolog
subst(X,S,T,Bounded) :- avar(X),
% Bounded -> non sostituita
member(X,Bounded) -> T=X;
( member(X/T1,S) -> T = T1; T = X ).
subst(C,_,C,_) :aconst(C).
subst(F,S,F1,BoundV) :- compound(F,Op,Sub),
substlist(Sub,S,Sub1,BoundV),
compound(F,Op,Sub1).
subst(QF,S,QF1,BoundV) :- quantified(QF,Q,V,Subf),
substlist(Subf,S1,Subf1,[V|BoundV]),
quantified(QF1,Q,V,Subf1).
substlist([X|L],S,[X1|L1],B) :- subst(X,S,X1,B),
substlist(L,S,L1,B).
substlist([],_S,[],_B).
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Modelli di Herbrandt in Prolog
• Ci limitiamo al caso privo di funzioni; ci sono solo costanti,
come in datalog. Usiamo:
intp(Interp, [C1,…,Cn], [A1,..,An]) :
C1,..,Cn è l’universo di Herbrandt dominio di Interp e
A1,…,An sono tutti e soli i fatti veri in Interp
• Esempio:
intp(caniegatti, [felix,fido], [vede(felix,fido), scappa(felix)]).
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Verità in un modello di Herbrandt
Base. A atomica chiusa:
H |= A sse A  H
Passo.
• H |= A
sse non H |= A
• H |= A  B sse H |= A e H |= B
• H |= A  B sse H |= A o H |= B
• H |= x A sse H |= A per ogni istanza chiusa A
• H |= x A
sse H |= A per almeno un’istanza chiusa A
Nota. A  B equivale a  A  B
A  B equivale a B  A
A  B equivale a (A  B)  (A  B)
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Esercizio Prolog
• Usando le rappresentazione e i predicati prolog definiti nei
lucidi precedenti e messi nel file prolog allegato alla lezione,
definire i seguenti predicati, dove V e’ una variabile, A,A1
sono formule chiuse e H e’ un’interpretazione di Herbrandt:
istanza(V/C,A,A1,H) :
significa “A1 = A{V/C}
per un C nel dominio di H”
H /= A :
significa “A è vera in H”
Per la quantificazione universale si puo’ usare il predicato
predefinito prolog forall come segue:
forall(istanza(V/_,A,A1,H), vera(A1,H)).
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Esempio
xy ( cane(x)  incortile(x,y))  x (cane(x)  abbaia(x))
È vera nella seguente interpretazione?
cane(pluto).
abbaia(pluto).
gatto(felix).
incortile(pluto,c1).
Universo = {pluto,felix,c1}
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cane(pluto).
abbaia(pluto).
gatto(felix).
incortile(pluto,c1).
Universo = {pluto,felix,c1}
1. xy ( cane(x)  incortile(x,y)) vero?
2. x (cane(x)  abbaia(x)) vero?
Risolviamo 1. Scegliamo l’istanza x=pluto
y ( cane(pluto)  incortile(pluto,y)) vero?
Scegliamo l’istanza y = c1
cane(pluto)  incortile(pluto,c1) vero?
ora come nel proposizionale
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cane(pluto).
abbaia(pluto).
gatto(felix).
incortile(pluto,c1).
Universo = {pluto,felix,c1}
1. xy ( cane(x)  incortile(x,y)) vero?
2. x (cane(x)  abbaia(x)) vero?
Risolviamo 2. Le istanze sono x=pluto, x=felix, x=c1
cane(pluto)  abbaia(pluto) vero?
cane(felix)  abbaia(felix) vero?
cane(c1)  abbaia(c1) vero?
ora come nel proposizionale
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