Presentazione - liceo g. bruno

Un astronauta in orbita bassa attorno alla
Terra si muove (approssimativamente) su una
grande circonferenza che gira tutt'intorno alla
Terra. L'accelerazione richiesta per un tale
moto è fornita dalla gravità.
GMm/r2= mv2/r
Fg=Fc
Con M = massa della Terra, m = massa dell’astronauta, r = distanza fra i rispettivi centri di massa,
v = velocità tangenziale dell’astronauta
Questa è naturalmente la stessa
equazione che abbiamo usato per
dimostrare lo studio di Newton sulla
gravità. Tuttavia, può anche essere
scritta:
GMm/r2– mv2/r = 0
Fg-Fc=0
La gravità è utilizzata completamente per
fornire l'accelerazione del moto
(la prima delle precedenti equazioni)
La forza di gravità è perfettamente equilibrata
dalla forza centripeta
(seconda equazione)
Che cosa succederebbe se
l'astronave non percorresse
un'orbita circolare ma ellittica?
Non farebbe alcuna differenza.
Se la forza di gravità a una distanza r è F = GMm/r^2
ovvero
a = GM/r^2
Un astronauta all'interno di un veicolo spaziale è soggetto alla stessa gravità e quindi
partecipa della stessa accelerazione del veicolo spaziale. Osservando il moto
dell'astronauta nel riferimento solidale con il veicolo spaziale, l'astronauta non è attratto
verso il pavimento dell'abitacolo o verso qualche altra direzione, e quindi ha
l'impressione che la gravità sia stata eliminata.
In una cabina in caduta libera (per esempio di un ascensore in cui si siano rotti i cavi),
vicino alla superficie terrestre, l’astronauta sente (con le debite semplificazioni)
a=g
La cabina cade con una accelerazione g, ma anche il passeggero cade con la stessa
accelerazione, per cui, anche in questo caso, non c'è alcuna forza che spinga il
passeggero verso il pavimento della cabina. Riferendosi alla cabina circostante, il
passeggero avrà ancora l'illusione che la gravità non esista.
un tale aereo può simulare per un tempo limitato - una
situazione di "gravità zero"
all'interno della carlinga.
L’esperimento di simulare l’assenza di peso
può essere effettuato senza rischi a bordo di
un aereo che voli ad alta quota e che possa
vincere la resistenza dell'aria con la potenza
dei suoi motori. Seguendo una traiettoria
parabolica ben calcolata, simile a quella di
un proiettile soggetto alla sola forza di
gravità,
La NASA ha effettivamente eseguito un tale
esperimento con l'aereo KC-135, un
quadrigetto soprannominato "La Cometa del
Vomito"
poiché il rapido passaggio a gravità zero fa venire a molti passeggeri il mal d'aria. L'aeroplano
può riprodurre temporaneamente un ambiente di assenza di gravità all'interno della carlinga, e
viene utilizzato per l'addestramento degli astronauti e per brevi esperimenti su fenomeni a gravità
zero. L'interno della carlinga è completamente imbottito, e l'illusione di assenza di gravità può
essere mantenuta per circa 20-30 secondi.
Nel film di fantascienza "2001: Odissea nello spazio" si vede una stazione
spaziale rotante, la cui rotazione fornisce all'equipaggio una "gravità
artificiale". Ha una struttura a forma di ruota, con dei corridoi radiali che
collegano la ruota con l'ambiente situato al centro. Questo ambiente al
centro è dove avviene il trasferimento tra la stazione e l'astronave in visita.
A causa della rotazione, viene generata una sorta di gravità, in cui il
"basso" è quello diretto verso l'esterno della ruota.
Quando ci si muove in questo ambiente in rotazione, specialmente
andando su e giù per i corridoi radiali, si incontra un'altra forza, che ha
preso il nome dal francese Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843).
Di tanto in tanto si sente dire che l'acqua che scorre nello scarico del lavandino ruota in
verso opposto a nord e a sud dell'equatore.
Il principio fisico è corretto, ma l'effetto pratico è così microscopico che è piuttosto
improbabile riuscire a osservarlo nel lavandino del bagno. D'altra parte, questo stesso
effetto è molto importante nella rotazione su larga scala dell'atmosfera, negli uragani,
nei tifoni e nelle ordinarie configurazioni meteorologiche.
I grandi temporali nell'atmosfera terrestre sono in genere centrati in
zone di bassa pressione e obbediscono alla forza di Coriolis. Questo
fenomeno meteorologico fu osservato per la prima volta nel 1857 da
Christophorus Buys Ballot in Olanda, benché fu William Ferrel negli
Stati Uniti a prevedere l'effetto usando dei ragionamenti simili a
quelli esposti qui.
Se tutti e 3 i punti A,B,C si trovano dentro il lavandino, con B al
centro dello scarico, la differenza di velocità di rotazione (attorno
all'asse terrestre) tra il punto B e uno degli altri due punti è
tipicamente soltanto di 0,001 millimetri al secondo o di circa 3
millimetri all'ora.
Prima legge (1608)
L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Parametri caratteristici dell'orbita
Per la prima volta nella storia della scienza Keplero elimina dall'astronomia le sfere
celesti e ipotizza per i pianeti un moto diverso da quello circolare. Osserviamo che,
poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano
orbitale. Per la terra tale piano è detto eclittica.
Nella figura prima è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri
caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), distanza focale (c),
eccentricità (e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:
L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0.5 e potrebbe rappresentare l'orbita di un
asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0.0167 per la Terra ,
0.0934 per Marte, 0.2482 per Plutone.
La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un
minimo (perielio).
Il raggio vettore che unisce un pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali.
Consideriamo ora alcune conseguenze di questa
legge
1.la velocità orbitale non è costante, ma varia
lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella
figura a fianco sono infatti uguali e vengono
quindi percorse nello stesso tempo. In
prossimità del perielio, dove il raggio vettore è
più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è
corrispondentemente più lungo. Ne segue
quindi che la velocità orbitale è massima al
perielio e minima all'afelio.
Per l'orbita qui raffigurata, la velocità al perielio è circa 3 volte la velocità all'afelio.
2. Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva.
3. La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del
raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare.
Se L, dato dal prodotto di m, r e vt è costante ne discende che vt è inversamente
proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e vt).
4.Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente
tra il pianeta e il sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è
dove M è il momento della forza applicata. Poiché L si conserva, la sua variazione è
nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo ad r, cioè è
diretto come la congiungente con il sole.
Nella figura qui a fianco OA rappresenta il
raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta
nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente
piccolo, AB può essere approssimato da un
segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il
raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene
quindi descritta un'area
La velocità areolare è quindi
essendo
la velocità orbitale istantanea. Poiché m v r
sin(θ) è il modulo del momento angolare, risulta
Se vA è costante, anche L lo è.
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai
cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
Questa legge è valida
anche per i satelliti che
orbitano intorno ai pianeti
e può essere espressa in
forma matematica nel
modo seguente:
dove K è una costante (a
volte detta di Keplero),
che dipende dal corpo
celeste preso in
considerazione (il Sole o
qualcuno degli altri
pianeti).
Per un'orbita circolare la si riduce a
dove r è il raggio dell'orbita.
Va specificato che le leggi di Keplero sono precise nella misura in cui sono soddisfatte
le seguenti ipotesi:
la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del sole;
si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere
perturbazioni sulla forma delle orbite).
Nel sistema solare queste ipotesi sono approssimativamente soddisfatte se non è
richiesta un'altissima precisione o un intervallo temporale molto lungo. Nel caso queste
caratteristiche siano richieste (per esempio, nel progettare l'orbita di una sonda
spaziale), le leggi di Keplero da sole non sono sufficienti. Nel caso dei sistemi di stelle
binarie, le masse delle due stelle sono in generale dello stesso ordine di grandezza. In
questo caso le leggi di Keplero sono ancora valide se si considerano le orbite delle due
stelle attorno al comune centro di massa).
In astronomia, un'orbita è la traiettoria di un corpo celeste, di un
satellite artificiale o di un veicolo spaziale nello spazio, dove in
genere è presente il campo gravitazionale generato da un altro
corpo celeste.
Classificazione:
Le orbite possono essere classificate secondo
diversi criteri:
• in base all'energia posseduta dal corpo;
•In base all'inclinazione;
•In base all'altitudine .
Orbita ellittica: l'orbita è chiusa ed è un ellisse se l'energia totale E del
corpo è minore di zero (ovvero se l'energia cinetica è minore dell'energia
potenziale). Sono ellittiche le orbite dei pianeti del sistema solare e di
tutti i loro satelliti.
Traiettoria iperbolica: l'orbita è aperta ed è un iperbole se l'energia totale
E del corpo è maggiore di zero (ovvero se l'energia cinetica è maggiore
dell'energia potenziale). Sono iperboliche le orbite delle sonde spaziali
inviate al di fuori del sistema solare e le porzioni di orbite di sonde
inviate verso i pianeti esterni (come la sonda Galileo e la sonda Cassini
nelle fasi di avvicinamento e allontanamento dai pianeti interni usati per
l'effetto fionda).
Traiettoria parabolica: da un punto di vista teorico occorre inoltre
aggiungere che se E=0, l'orbita risulterà una parabola; tale orbita
rappresenta l'elemento di separazione tra la famiglia di orbite chiuse e di
orbite aperte.
•Orbita equatoriale: se l'inclinazione è circa zero (ad
esempio tutte le orbite geostazionarie)
•Orbita polare: se l'inclinazione è quasi uguale a 90°
•Orbita eclittica: se l'inclinazione dell'orbita coicide con
l'eclittica del pianeta
Low Earth Orbit: orbita terrestre bassa
Medium Earth Orbit: orbita terrestre media
High Earth Orbit: orbita terrestre alta
Velocità orbitale in un'orbita circolare terrestre
In astrodinamica o in meccanica celeste un'orbita circolare è un'orbita
ellittica con eccentricità uguale a zero.
Consideriamo un corpo di massa m che si muove su un'orbita circolare
ad una distanza r dal centro della terra (ovvero ad una quota h = r - RT,
dove RT è il raggio della terra). Tale corpo è soggetto alla forza di gravità
essendo G = 6.672 × 1011 N (m/kg)² è la costante di gravitazione
universale e M = 5.9 × 1024 kg la massa della terra.
Per poter rimanere su una traiettoria circolare di raggio r, il corpo deve
peraltro essere soggetto ad una forza centripeta essendo v la velocità
tangenziale.
Perché il corpo continui a percorrere l'orbita circolare, la forza di gravità deve quindi
uguagliare la forza centripeta,
Fg = Fc:
Semplificando m ed r e risolvendo rispetto a v si ottiene:
La figura a fianco rappresenta il grafico della velocità tangenziale in funzione del raggio
dell'orbita per orbite intorno alla terra. Da questa espressione sono ricavati i valori
calcolati nella pagina sul calcolo dell'orbita (in inglese). Tenendo conto che la velocità
tangenziale è legata al periodo orbitale dalla relazione
è possibile esprimere T in funzione di r, ottenendo
Questa non è altro che la terza legge di Keplero. La costante K che compare nella terza
legge è quindi definita da
Sotto le ipotesi standard il periodo orbitale ( ) di un corpo che si muove in orbita
circolare, può essere calcolata come
Conclusioni:
il periodo orbitale è lo stesso che avrebbe se l'orbita fosse ellittica con il semiasse
maggiore ( ) uguale al raggio orbitale
Delta-v necessaria per un'orbita circolare
Le manovre in un orbita circola larga, come ad esempio un'orbita geostazionaria,
richiede un delta-v maggiore di un'orbita di fuga, benché la seconda permetta di
raggiungere qualunque distanza e richieda molta più energia di quella necessaria a
raggiungere la velocità orbitale di un'orbita circolare.
In meccanica celeste e in astrodinamica, una traiettoria
parabolica è un'orbita con eccentricità uguale a 1. Se l'oggetto
in traiettoria parabolica si allontana dall'origine, l'orbita è detta
di fuga, al contrario se l'oggetto si avvicina viene detta orbita
di cattura.
Sotto le ipotesi standard, un oggetto che viaggia in un'orbita di
fuga arriverà all'infinito con velocità relativa al corpo centrale
uguale a zero, di conseguenza non ritornerà più al punto
iniziale. La traiettoria parabolica è la traiettoria di fuga che
richiede minor energia.
Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale (v) di un corpo che si muove
lungo una traiettoria parabolica può essere calcolata come:
In ogni posizione il corpo orbitante avrà la velocità di fuga relativa alla
sua posizione
Se il corpo ha la velocità di fuga rispetto la Terra, non avrà quella
necessaria per uscire dal sistema solare, così la traiettoria vicino alla Terra
sarà approsimativamente una parabola, mentre più distante essa si
incurverà fino ad essere un orbita ellittica attorno al Sole.
Questa velocità (v) è molto simile alla velocità orbitale di un corpo in
orbita circolare di raggio uguale alla posizione radiale del corpo stesso
sulla traiettoria parabolica:
Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica
( ) di una traiettoria parabolica è zero, coì
l'equazione della conservazione dell'energia specifica
in questo caso prende la forma:
In astrodinamica e in meccanica celeste una
traiettoria iperbolica è un'orbita con eccentricità
maggiore di 1. Sotto le ipotesi standard, un corpo che
viaggia lungo una traiettoria iperbolica arriverà
all'infinito con una velocità relativa al corpo centrale
non nulla. Analogamente alle traiettorie paraboliche,
quelle iperboliche sono orbite di fuga. L'energia
specifica di una traiettoria iperbolica è positiva.
Velocità
Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale ( ) di un corpo che si
muove lungo una traiettoria iperbolica si ottiene come:
Sotto le ipotesi standard, in ogni posizione dell'orbita, tra velocità
orbitale ( ), velocità di fuga locale ( ) e eccesso iperbolico ( ) vale la
seguente relazione:
Questo significa che una delta-v poco al di sopra di quella necessaria ad
accelerare alla velocità di fuga, provoca una velocità all'infinito
relativamente grande.
Energia
Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica (
iperbolica è maggiore di zero
) di una traiettoria
In astrodinamica e in meccanica celeste un'orbita
ellittica è un'orbita con eccentricità maggiore di 0 e
minore di 1.
L'energia specifica di un'orbita ellittica è negativa.
Velocità
Sotto le ipotesi standard la velocità orbitale di un corpo che si muove su un'orbita
ellittica può essere calcolata come:
Conclusioni:
la velocità non dipende dall'eccentricità ma è determinata dalla lunghezza del semiasse
maggiore ( )
l'equazione della velocità è simile a quella valida per una traiettoria
iperbolica con la
 differenza che in quest'ultima
è positivo.
Periodo orbitale
Sotto le ipotesi standard il periodo orbitale di un corpo che si muove su un'orbita
ellittica può essere calcolata come:
Conclusioni:
il periodo orbitale è lo stesso che avrebbe se l'orbita fosse circolare con un raggio pari
al semiasse maggiore ( )
il periodo orbitale non dipende dall'eccentricità.
Energia
Sotto le ipotesi standard, l'energia orbitale specifica ( ) di un'orbita
ellittica è negativa e l'equazione della conservazione dell'energia per
quest'orbita prende la forma:
Conclusioni:
L'energia specifica per le orbite ellittice è indipendente dall'eccentricità
ed è in funzione del solo semiasse maggiore dell'ellisse.