Lezione 4

Quarta Lezione
Calcolo del campo attraverso i potenziali,
Generatore di Kelvin,effetto delle punte
Riassunto della lezione precedente





Applicazioni del th di Gauss in forma integrale
Teorema di Gauss in forma differenziale
Teorema della divergenza
Il potenziale Scalare
Il concetto di gradiente
Considerazioni sul potenziale

Nella lezione precedente avevamo visto come il lavoro compiuto
dal campo nello spostare una carica nel campo prodotto da un’altra
carica lungo una linea qualunque, definito come
 
  F  d l
B
W AB
A
dipende solo dai punti A e B e non dal percorso, per cui si poteva
definire una energia potenziale elettrica U tale che
W AB

  F  dl  U A U B
B
A

Volendo svincolarsi dal valore della carica esplorativa, avevamo
definito il potenziale elettrico
 
V  U / q   E  d l

Considerazioni sul potenziale

Il fatto che se A e B coincidono, indipendentemente dal percorso,
WAB=0 indica che il CAMPO ELETTROSTATICO E’ CONSERVATIVO,
ovvero
 
 E  dl  0
cioè la circuitazione o circolazione del campo elettrostatico è nulla.
sempre

Nel seguito useremo questa proprietà per dimostrare che in una
gabbia di Faraday il campo è nullo
Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday

Applichiamo Gauss in forma integrale alla superficie S

Siamo nel conduttore, quindi sia campo che relativo flusso
sono nulli

Quindi la carica racchiusa totale è nulla, indipendentemente
dal campo esterno
Ma questo non ci impedisce
di ipotizzare che sulla
superficie interna della
cavità vi siano distribuzioni
di carica “esotiche”, ma tali
che la somma sia zero!
Sarebbe compatibile con il
S
th di Gauss!!!


Immaginiamo di avere in conduttore cavo immerso in un
campo elettrico
Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday





Per escludere questa possibilità, procediamo per assurdo
Ipotizziamo che ci sia una distribuzione di carica, positiva da
una parte e negativa dall’altra
In tal caso ci sarebbe anche un campo elettrico interno,
ortogonale alla superficie, che va dalle cariche positive alle
negative
Calcoliamo la circuitazione lungo una linea C: la linea segue
una linea di campo e si chiude NEL conduttore
Ora sappiamo che la
circuitazione deve essere
zero. Ma il campo nel
conduttore (e quindi il
contributo alla circuitazione
di C nel conduttore) è nullo.
+
++
C
-
Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday
cioè
 
 
  B 
0   E  d l   E  d l   E  d l   E  dl  0

C


C1
A
C2
Ma il percorso C1 è stato scelto lungo una linea di forza che
congiunge cariche positive e negative: se ci sono cariche
l’integrale non può essere nullo (E non può cambiare di
segno lungo tale percorso)
Quindi non c’è campo e non vi sono cariche indotte
internamente dal campo esterno
B
C1
+
++
A
C2
-
Potenziale per una sfera conduttrice carica (o
guscio sferico uniformemente carico



Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica interna S1:
nessuna carica racchiusa, campo nullo
Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica esterna S2:
campo come se tutta la carica fosse nel centro
calcoliamo V distinguendo i contributi interni ed esterni;
usiamo il potenziale all’infinito come riferimento
Per r<R  
 R   
Vr  V   E  dr   E  dr   E  dr
r
Q
 0
4 0
r
R
 dr
R 2

Q

4 0 R
r
Costante (non dipende da r)
Potenziale per una sfera conduttrice carica
Per r>R


Q
Vr  V   E  dr 
r
4 0 r
Es: supponiamo R=1m, Q=1mC: Grafico
Considerazioni




Quanto trovato non deve sorprendere: il
conduttore, in condizioni di equilibrio statico, è
equipotenziale. Se cavo, valgono le considerazioni
della gabbia di Faraday
del resto internamente non vi è campo
né vi possono essere differenze di potenziale in
superficie, o vi sarebbe un campo in direzione non
ortogonale alla superficie che farebbe scorrere
correnti
ricordate: condizioni al contorno per un conduttore
ideali sono: campo nullo all’interno, e campo
solo ortogonale alla superficie
Il Generatore di Kelvin
(William Thomson, in Proceedings of the Royal Society of London,
Volume 16, giugno 1867, pp 67 - 72)
Un generatore che sfrutta solo il passaggio di alcune
gocce d’acqua...
Il Generatore di Kelvin





Supponiamo per un qualunque motivo (casualità, raggi cosmici, modo
in cui si formano le gocce…) l’armatura a sinistra sia un po’ più
positiva dell’armatura a destra
L’armatura indurrà cariche negative sulle gocce
che l’attraversano; tali cariche sono di fatto
sottratte dal liquido nella vasca
Le gocce cariche negativamente finiscono nel
recipiente di sinistra (che deve essere ben
isolato), che quindi aumenta la sua carica
Tale recipiente è equipotenziale (grazie ad un
conduttore) con l’armatura di destra che quindi è
negativa e induce sul secondo flusso cariche
positive, caricando il recipiente di destra
quindi l’armatura di sinistra diviene
sempre più positiva e quella di destra
sempre più negativa
Il Generatore di Kelvin

In pratica, la differenza di potenziale tra le due vasche
cresce proporzionalmente al potenziale stesso (se l’acqua
fluisce uniformemente)
dV
K V
dt


V  V0 e Kt
Qualunque sia stata la causa della differenza di potenziale
iniziale Vo, essa cresce esponenzialmente, fino a
raggiungere il limite di scarica nell’aria!
Di fatto, spesso occorre aspettare un po’ prima che il
fenomeno abbia inizio
Effetto parafulmine


Consideriamo per esercizio due sfere cariche con raggio
R1<<R2, molto lontane, ma collegate da un filo conduttore
L’uguaglianza dei potenziali implica
R1
V1 
 V2 
R1
Q1  Q2
40 R1
40 R2
R2

Se confrontiamo i campi sulle superfici delle due sfere
Q1
Q1
E1 40 R12

Q2
E2
40 R22
Q2
E1 R2

E2 R1
R2
Effetto parafulmine




E’ chiaro che quindi se R2>>R1, E1>>E2
Se immaginiamo che R1 è il raggio di curvatura della punta
di un’asta metallica (per es 1cm) ed R2 quello della terra
(6000km), il rapporto tra E1 ed E2 è 6 108!
La punta dell’asta sperimenta un campo molto intenso che
tende a strappare le cariche
Il fatto che il campo elettrico tende a diventare molto grande
(addirittura infinito) in prossimità di una punta di metallo può
essere dimostrato matematicamente; nondimeno un
semplice ragionamento fisico da conto di questo effetto, che
si ritrova in ogni SPIGOLO METALLICO (singolarità di
spigolo)
Effetto parafulmine

Considerate infatti un piano metallico carico
+ + + ++ + + + + ++ +

Le cariche, tutte dello stesso segno, tendono a respingersi,
e finiscono per distribuirsi uniformemente lungo la
superficie, in un equilibrio delle forze di repulsione
Effetto parafulmine



Immaginate ora di “piegare” il piano a formare uno spigolo
L’equilibrio è (momentaneamente) rotto. Le cariche in cima
si ritrovano in una condizione di asimmetria, con molte
cariche che spingono dal basso, ma poche (o nessuna per
quella al vertice), che spinge dall’alto
Le cariche debbono re-distribuirsi per tornare in equilibrio,
affollandosi sulla punta
Effetto parafulmine


Del resto che il campo su una punta (o su uno spigolo)
possa essere infinito non sorprende: pensate solo al campo
su una sfera carica, e fate tendere a zero il raggio di
curvatura
Fortunatamente la natura non ama gli spigoli, che sono una
astrazione, ma sappiamo che il campo in prossimità degli
spigoli è molto grande
Effetto parafulmine


Il parafulmine sfrutta l’effetto delle punte
Le cariche vengono disperse dal parafulmine gradualmente,
neutralizzando in modo graduale le cariche dell’aria
circostante
Effetto parafulmine


L’intensità di campo oltre la quale avviene la scarica, per
ionizzazione, si chiama rigidità dielettrica
aria secca
carta paraffinat a
3 10 6
(40  60 ) 10 6
mica
vetro
(10  100 ) 10 6
(20  40 ) 10 6
Un fulmine è costituito da ioni in movimento, ad una velocità
di circa 100km al secondo
Calcolo del campo di un dipolo usando
i potenziali
V  V(  )  V (  )

1  q
 q  
q r(  )  r(  )





40  r(  )
r(  )  40 r(  ) r(  )
r( )  r(  )  d cos
V

qd cos
4 0 r
2

p
4 0
r( ) r(  )  r 2
cos
r
2

1
4 0
 
p  ur
r2
Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche
(come determinato in una precedente lezione)
occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche
Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale
Il gradiente in coordinate sferiche è (come da
appendice Ramo-Whinnery)
V 
1 V 
1 V  Poiché V non
V 
ur 
u 
u dipende da 
r
r 
rsin  
E(r ,  )  V 
p
4 0 r
3
2 cosu r  sinu 
Quanto avevamo ottenuto in precedenza…...
Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce
con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica
ha campo che decresce come r-3
Potenziale di una distribuzione continua
di cariche

V (r ) 
P
q
 carica puntiforme
40 r
r-r’
 dV
r’
Distribuzione di cariche

V (r )  
V
 dV '
 
40 r  r '
V
r
Esercizio

D
Calcolare la differenza di potenziale tra
a
due cilindri conduttori coassiali se il
r
cilindro più interno è uniformemente
carico con densità lineare di carica l
b
Avevamo calcolato il campo elettrico qualche tempo
fa: riusiamo tale espressione e ricaviamo V
l
V    Er dr   
dr
2r
l

ln( r )  c
2
Esercizio (continuo)


Dobbiamo scegliere un riferimento per eliminare la costante C
Non conviene qui usare il potenziale all’infinito come
riferimento: meglio uno degli elettrodi: otteniamo quindi
l b
V ( a )  V ( b) 
ln  
2  a 
Potenziale di una carica lineare

Una barra sottile (spessore<<L) di lunghezza L è carica
positivamente con densità lineare di carica l, per cui
dq  ldx

Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla
distanza d da un suo estremo, può essere valutato
integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli
elementi infinitesimi dq:
L
dq
1
ldx
1
ldx

dV 

V

dV


 4
1
4 0 2
2 2
4 0 r
0 x2  d 2
0
x  d 
1


1

2
Ricordate che

x2
x1
x
l

4 0
dx
2
d
2

 ln x  x  d
2
2
x2
x1
L
l
2
2 

V 
ln  x  x  d 
0
4 0 
l
L  L2  d 2
 

2
2 
ln  L  L  d   ln d   4 ln
d
0
Potenziale dovuto ad un disco carico



Il disco ha densità di carica superficiale (uniforme) s
Calcoliamo il potenziale in P
può essere comodo considerare prima un anello del
disco, poiché tutti i punti sono a distanza r da P, per
cui
1
dq
dV 
4 0 r


Ma quantità di carica dell’anello è pari a s per l’area
dell’anello:
Per cui
dq  s 2R'dR'
1 s 2R'dR'
dV 
4 0

s R
2
2
 V   dV 
R
'
z

R
'

2 0 0

1
z
2
 R'
2 dR' 
2

1
2
s  2
2

 z  R  z

2 0 