LEZIONI DI FISICA
Lucia Fellicò
GRANDEZZE FISICHE
CINEMATICA
Unità 1: Grandezze fisiche e loro misura
Unità 2: Notazione scientifica e
analisi dimensionale
Unità 3: Grandezze vettoriali
Unità 4: Esempi di grandezze fisiche definite attraverso il
prodotto scalare
Unità 5: Esempi di grandezze fisiche definite attraverso il
prodotto vettoriale
Unità 6: il moto e la velocità
Unità 7: l’accelerazione
Unità 8: moto rettilineo uniforme
Unità 9: moto rettilineo uniformemente accelerato
Unità 10: moti periodici e composti
GRANDEZZE FISICHE E LORO MISURA
Grandezza fisica : qualunque entità suscettibile
di misurazione
Confronto tra la grandezza considerata e un’altra
della stessa natura scelta come unità di misura
Misura è un numero ottenuto:
confrontando direttamente
la grandezza con l’unità
scelta (misura diretta )
9,8N
attraverso il calcolo utilizzando relazioni
analitiche che la legano ad altre grandezze
misurabili direttamente (misura indiretta)
Per ottenere la misura di una grandezza fisica è necessario avere:
Una unità di misura
Una procedura per effettuare la misurazione
L’unità di misura deve essere della stessa natura della grandezza che
intendiamo misurare.
La procedura deve essere inequivocabile, cioè deve dare lo stesso
risultato indipendentemente dall’operatore o dal contesto.
La procedura può essere operativa: sono indicati uno strumento con
cui effettuare la misurazione e le modalità per usare tale strumento.
La procedura può essere analitica: sono indicate le relazioni che
legano la grandezza da misurare ad altre grandezze misurabili
operativamente, e le operazioni di calcolo da effettuare su tali misure.
Il risultato della procedura di misurazione, in ogni caso, è un numero.
Grandezze fondamentali :
la loro definizione non viene
fatta dipendere da altre
si possono esprimere attraverso relazioni
analitiche tramite le grandezze fondamentalI
Unità di misura : fissate
dalla scelta di campioni
Unità di misura : si deducono
dalle unità delle fondamentali
Grandezze derivate :
SISTEMA INTERNAZIONALE
Metro
spazio percorso dalla luce in 1/299792458 di secondo
Chilogrammo massa di 1 dm3 di acqua distillata a 4 C
Secondo
9192631770 periodi di oscillazione dell’atomo di cesio 133
Kelvin
1/273,6 della temperatura del punto triplo dell’acqua
Ampere
corrente elettrica costante che fluendo in due conduttori rettilinei
paralleli posti a distanza di 1 metro nel vuoto determina una forza
di 2*10-7N per metro di conduttore ( legge di Ampere)
Sistema di misura : è basato sulla scelta delle grandezze
fondamentali e delle loro unità di misura
Un sistema di unità di misura si dice
Completo: in esso è definito un numero di unità di grandezze fondamentali
sufficienti a rappresentare tutti i fenomeni osservabili
Assoluto: le unità in esso adottate sono invariabili in ogni tempo e luogo e
sono definite teoricamente senza alcun riferimento a definizioni
sperimentali
Dei sistemi che noi considereremo ( SI , cgs, ST)
Il SI è completo e assoluto
Il sistema cgs è assoluto ma non completo
Il ST è non completo e non assoluto
Sistema internazionale : SI
GRANDEZZE FONDAMENTALI
Grandezza
unità
simbolo
Lunghezza
metro
m
Massa
chilogrammo
kg
Durata
secondo
s
Intensità di corrente
Ampere
A
Temperatura
kelvin
K
Quantità di materia
mole
mol
Intensità luminosa
candela
cd
Sistema cgs
GRANDEZZE FONDAMENTALI
Grandezza
unità
simbolo
Lunghezza
centimetro
cm
Massa
grammo
g
Durata
secondo
s
Tale sistema non comprende né grandezze elettriche né grandezze
magnetiche. Per tali fenomeni sono stati poi adottati i sistemi
cgses(elettrostatico) e cgsem(elettromagnetico). Sono tuttavia poco usati.
Sistema Tecnico ( pratico) : ST
GRANDEZZE FONDAMENTALI
Grandezza
unità
simbolo
Lunghezza
metro
m
Forza
Chilogrammo-peso
Kgf (o kgp)
Durata
secondo
s
Chilogrammo-peso:forza che applicata ad un corpo di massa 1kg gli imprime
un’accelerazione di 9,8066m/s-2
1kgf=9,8066 N(Newton)
L’unità di massa è un’unità derivata; um= 9,8006 kg
1)
a
b
c
d
e
2)
Che cosa significa misurare una grandezza fisica?
confrontare la grandezza con un campione e trovare un numero
associare l'errore al risultato della misura
trovare il valore medio della grandezza
trovare il valore vero della grandezza
determinare la misura della grandezza
Quale delle seguenti grandezze non è una grandezza fondamentale del S.I. ?
a) massa
3)
b) tempo
c) forza
d) lunghezza
e) temperatura
Quale dei seguenti gruppi di unità di misura fa parte dello stesso sistema?
a
b
c
d
e
Watt, cal, g
°K, N, dina
dina, s, erg
joule, volt, erg
Kgp, Kg, s
NOTAZIONE SCIENTIFICA E ANALISI DIMENSIONALE
Notazione scientifica : indica la misura tramite le potenze di 10
La misura viene scritta mettendo la virgola dopo la prima cifra
diversa da 0 e si moltiplica per una opportuna potenza di 10
positiva o negativa.
456,7 kg = 4,567 *102 kg
Centinaia di kg
0,00345 kg = 3,45 * 10-3 kg
Millesimi di kg
ordine di grandezza.
È la potenza di 10 che meglio approssima il numero. Coincide con
la potenza di 10 che compare nella notazione scientifica se il
numero per cui essa è moltiplicato ha parte intera 1, 2, 3 o 4;
altrimenti l’esponente va aumentato di 1 unità
Es: 2,31 * 103 103
8,12 * 10 4 105
7,5 * 10 -2 10-1
La notazione scientifica è utile per misurare grandezze molto maggiori
o molto minori dell’unità prescelta. I multipli secondo potenze di 10
sono indicati premettendo al loro nome i prefissi della seguente tabella.
Anche i simboli vengono premessi ai rispettivi simboli
MULTIPLI
SOTTOMULTIPLI
PREFISS
O
VALORE
SIMBOLO
PREFISS
O
VALORE
SIMBOLO
DECA
10
da
DECI
10-1
d
ETTO
102
CENTI
10-2
Esempi
h
c
1 dam = 10 m
KILO
103
k
MILLI
10-3
m
MEGA
106
M
MICRO
10-6
GIGA
109
G
NANO
10-9
n
TERA
1012
T
PICO
10-12
p
1 A = 10-6A
1 dg = 10-1g
1kcal = 103cal
Analisi dimensionale
CONSENTE
SI UTILIZZA
Determinare le dimensioni delle
grandezze fisiche derivate rispetto a
quelle fondamentali
Verificare la correttezza di relazioni e formule
in base al principio : in qualunque equazione
tra grandezze fisiche le dimensioni dei due
membri devono essere le stesse
Esempio: dimensioni dell’accelerazione
accelerazione =velocità/tempo
[ l/t ]/[t]=[ l·t-2]
L’accelerazione ha dimensione 1
rispetto alla lunghezza e –2
rispetto al tempo
Esempio : s = ½ a t2
s= [L]
a t2= [L·t-2·t2]=[ L ]
1) Una grandezza fisica z dipende da una lunghezza L, da una velocità v e da un
intervallo di tempo t secondo la relazione z = L2t/v. quale tra le seguenti unità
di misura è adatta a z?
a) s3 b) kg/m c) m s2 d)m/s2 e) non è possibile stabilirlo, la scelta è libera
2)
La massa del Sole è 1,98·1030Kg. Qual è l’ordine di grandezza?
a) 30 Kg
3)
c) 1,98 Kg
d) 10 30 Kg
e) 2 Kg
La massa a riposo dell’elettrone è 9 10-31 Kg. Qual è l’ordine di grandezza?
a) 10-30 Kg
4)
b) 1031 Kg
b) 10-31 Kg
c) 9 Kg
d) 10-32 Kg
e) -31 Kg
Quali sono le dimensioni della pressione?
a) [m·l·t -1]
[m2·l·t2]
b) [m-1·l·t -2]
c) [m·l-1·t -1]
d) [m·l-1·t -2]
e)
5) Il moto di un grave è descritto dalla legge s = 0,5gt2+ k, dove s rappresenta lo
spazio, g l’accelerazione di gravità e t il tempo. Quali sono le dimensioni di k?
a) ml-1
b) l-1
c) l
d) l2t -1
e) non ci sono sufficienti elementi per rispondere
GRANDEZZE VETTORIALI
GRANDEZZE
SCALARI
Completamente determinate da
un numero (misura)
Lunghezza
volume
temperatura
massa
energia
tempo
resistenza
capacità
ecc
VETTORIALI
Determinate da
modulo direzione
verso
Rappresentate da un vettore
verso
direzione
modulo
Non dipende dal punto di applicazione
Spostamento
velocità
accelerazione
forza
peso ecc.
ALGEBRA DEI VETTORI
somma
a
a
a
a+b
b
b
b
a+b
La somma è commutativa: a+b = b+a
Prodotto per uno scalare
-3b
differenza
2b
-b
a+b = a + (-b)
a-b
a
Somma e differenza
a
b
a+b
a-b
ESEMPI DI GRANDEZZE VETTORIALI
Per descrivere uno spostamento non è sufficiente stabilire di ”quanto” ci si è spostati.
GLI SPOSTAMENTI SONO GRANDEZZE VETTORIALI
Conoscendo la posizione iniziale e il vettore spostamento si
determina la posizione finale:
Lo spostamento totale è ovviamente la
somma (vettoriale) degli spostamenti
parziali:
A
A
B
B
Non è invece noto il percorso
C
Composizione di forze
Le forze sono grandezze fisiche individuate da : modulo, direzione, verso.
Inoltre si verifica sperimentalmente che esse si sommano secondo la regola
del parallelogramma ( o metodo punta-coda)
LE FORZE SONO GRANDEZZE VETTORIALI
L’operazione con cui si determina la risultante di due o più forze con le regole
dell’algebra vettoriale si chiama “composizione” delle forze .
F2
R
F1
Da considerazioni di geometria elementare si
deduce che l’intensità della risultante di due forze
risulta maggiore della differenza e minore della
somma delle intensità delle componenti
Dimensioni e unità di misura delle forze
Dalla legge fondamentale della dinamica F=ma si ricavano le dimensioni
della forza : [F]=[mlt-2]
SI: Newton 1N=1kg m/s2 : la forza di un Newton è quella forza capace di
imprimere ad un corpo di massa 1kg un’accelerazione di 1 m/s2
cgs: dina: 1dina = 1g cm/s2 : la forza di una dina è quella forza capace di
imprimere ad un corpo di massa 1g un’accelerazione di 1 cm/s2
Osservando che 1kg = 103g e 1m = 102cm si ha:
1N = 105dine
E osservando che la massa di un kg soggetta alla forza del suo peso (1kgp) si
muove (cade) con accelerazione g ≈ 9,8 m/s2 si ha
1kgp = 9,8 N
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
ab=c
a b =abcos()
a
Direzione perpendicolare
al piano contenente a e b
c
acos()
b
Verso: regola della mano
destra
a
bcos()
Modulo=absen()
b
a
a
c
b
non è commutativo: a b = – (b a)
Il prodotto è commutativo
Il risultato è uno scalare
Il prodotto scalare è 0 se
a=0
b=0
ab
Il risultato è un vettore
Il prodotto vettoriale è 0 se
a=0
b=0
a b
1) Nella figura sono rappresentati due spostamenti. Quale vettore
rappresenta lo spostamento risultante?
a
b
c
d
e
2) Dati due vettori u e v, quanto vale il prodotto scalare del vettore u /\ v con
il vettore u, ovvero (u /\ v) u ?
a) uv
b) u2v
c) u
d) 0
e) non si può dire senza conoscere direzione e verso di u e v
3) La differenza tra due vettori di uguale intensità è un vettore di intensità nulla.
Vero o falso?
a) Sempre falso. b) Sempre vero
c) Vero se i vettori sono perpendicolari
d) Vero se i vettori sono paralleli d) Nessuna delle precedenti risposte è esatta
ESEMPI DI GRANDEZZE FISICHE DEFINITE ATTRAVERSO
IL PRODOTTO SCALARE
LAVORO DI UNA FORZA
Se il punto di applicazione di una forza viene spostato si definisce
lavoro il prodotto scalare della forza F per lo spostamento s:
L = F × s = Fscos
0° < 90°
F
90°< 180°
s
• S.I.
•sistema c.g.s.
•Sistema pratico
= 90°
L>0 (Lavoro motore)
L<0 (Lavoro resistente)
L=0 (Lavoro nullo)
UNITA’ DI MISURA
Joule
1J = 1N·1m
erg
chilogrammetro
1erg = 1dina·1cm
1Kgm = 1KgP·1m
OSSERVAZIONE
F
Perché la definizione posta abbia senso è
sottinteso che abbiamo supposto durante
lo spostamento F e costanti.
Come abbiamo già visto, F·s·cos può
essere interpretato come Fs·s oppure come
F·sF, essendo Fs la proiezione di F su s e sF
la proiezione di s su F.
F
Fs
L
s1 s
s2
s
s
Fs= Fcos()
sF= scos()
F
s
Se durante il movimento Fs non varia
possiamo rappresentarla nel piano
cartesiano s,F con
un segmento
orizzontale, e quindi il lavoro può
essere interpretato come l’area del
rettangolo che ha per base lo
spostamento s = s2 - s1 e per altezza Fs
Se durante lo spostamento il valore di Fs varia, il lavoro può essere
considerato la somma dei lavori elementari F(s)ds ottenuti dividendo
la traiettoria in spostamenti elementari ds, lungo i quali Fs viene
considerato costante:
L = F1 ds1+ F2 ds2+ F3 ds3+…..
Fs
I lavori elementari sono rappresentati dalle aree
dei rettangoli inscritti nella figura, il lavoro totale
dunque può ancora essere interpretato come area
L
s1
s2
s
In linguaggio matematico più rigoroso diremo:
s2
L=
s
1
Fsds
ESEMPIO
Lavoro di una forza costante
L=F x s = Fs cos() = Fss
F’
Fs
s
P
F = Fs + F’
La forza e lo spostamento
hanno la stessa direzione
La forza e lo spostamento formano
un angolo acuto
IN PRESENZA DI ATTRITO
Ad un oggetto di peso P appoggiato su un piano orizzontale è applicata la forza F
F
Fs
A
P
Poiché Fs > A l’oggetto si muove verso destra
La forza F contribuisce al moto Lavoro motore: L > 0 infatti 0 <
La forza A ostacola il moto Lavoro resistente: L < 0 infatti =
La forza P è ininfluente per il moto Lavoro nullo: L = 0 infatti =
In effetti P è controbilanciata dalla reazione elastica del piano
allora come mai se un oggetto è più pesante è necessaria una forza maggiore?
F=0
NOTA BENE:
L=0
s=0
Fs
LAVORO NULLO
s
s
luna
F
P
Lavoro motore: L > 0 infatti 0 <
L>0
L=0
Lavoro nullo
Infatti =
L<0
Lavoro resistente : L< 0
infatti <
DIMENSIONI DEL LAVORO E SUE UNITÀ DI MISURA
[L]= [Fs]=[ml2t-2]
il lavoro ha dimensioni 1, 2, -2 rispettivamente in
riferimento alla massa, alla lunghezza, al tempo.
SI: Joule = N ·m: il lavoro di un joule è quello compiuto da una forza costante
di un newton quando il punto di applicazione della forza subisce uno
spostamento di un metro nella sua stessa direzione
cgs: erg = dina· cm: il lavoro di un erg è quello compiuto da una forza
costante di una dina quando il punto di applicazione della forza subisce uno
spostamento di un centimetro nella sua stessa direzione
ST: (chilogrammetro) kgpm = kgp·m : il lavoro di un kgpm è quello compiuto da
una forza costante di un kgp quando il punto di applicazione della forza subisce
uno spostamento di un metro nella sua stessa direzione
1erg = 1dina 1cm = 10-5N 10-2m = 10-7 J
1 kgpm = 9,8 N 1m = 9,8 J
Una grandezza caratteristica di tutti i campi vettoriali :
il flusso attraverso una superficie S.
Magnetismo:
v
Elettricità:
E
Fluidi:
B
Data una supericie elementare S di area A introduciamo il vettore A di intensità A e
direzione alla superficie S
v,A= v A = vAcos()
= E A = EAcos()
( = angolo tra v e la perpendicolare ad A)
( = angolo tra E e la perpendicolare ad A)
Nel caso = 0
l
= B A = BAcos()
( = angolo tra B e la perpendicolare ad A)
E
B
A
v
v,A= vA = (l/t)A=V/ t
Volume di fluido che
attraversa la sezione A
nel tempo t = portata
+
A
-
Numero di linee di forza
del campo elettrico che
attraversano la superficie
A
Numero di linee di forza
del campo magnetico che
attraversano la superficie
a
b
c
d
e
1.È possibile che il punto di applicazione di una forza venga spostato
senza che essa compia lavoro?
No, mai
Solo per particolari tipi di forze
Sì, se forza e spostamento hanno versi opposti
Sì, se forza e spostamento sono perpendicolari
Sì, se forza e spostamento hanno la stessa direzione.
2.Su un corpo di massa m che si muove orizzontalmente come indicato
dalla freccia, agisce una forza F = 5N come indicato in figura. Il lavoro da
essa compiuto in uno spostamento di 6m è
a)
30J
b)
-153J
c)
153J
d)
Non compie alcun lavoro
e)
Non è possibile che il corpo si muova come indicato in figura
F
30
3. La forza di attrito può compiere un lavoro positivo?
a) No, mai
b) Solo se il moto è rettilineo uniforme
d)Solo se il moto è
circolare uniforme
c) Solo nel vuoto
e) Sì, sempre
ESEMPI DI GRANDEZZE FISICHE DEFINITE ATTRAVERSO
IL PRODOTTO VETTORIALE
Alcune grandezze fisiche sono definite tramite il prodotto vettoriale:
Momento di una forza rispetto ad un punto: M = r F
M è un vettore avente :
M
•Direzione perpendicolare al piano di r e
di F
F
•Intensità pari a F·r·sen() = F·b (b: braccio
r
O
= distanza di O dalla retta di applicazione di F)
90°
b
•Verso individuato dalla regola della
mano destra
Ob
r
M0
b=0
M=0
P
Il momento di una forza descrive l’effetto rotatorio dovuto ad
essa a seconda del punto di applicazione
Momento di una coppia di forze: vettore che quantifica l’effetto rotatorio di
una coppia di forze applicata ad un corpo rigido.
M
r
Coppia di forze : forze aventi uguale
direzione , uguale intensità, verso opposto.
M = r /\ F
F
M fornisce:
• la direzione dell’asse attorno al quale avviene la rotazione
• il verso secondo cui avviene tale rotazione (antioraria se
vista dalla punta di M)
• l’intensità di tale rotazione (rFsen())
M=max
M=0
F=0
NOTA BENE:
M=0
r=0
F , r collineari
Forza che un campo magnetico esercita su un filo percorso da corrente
F = il B
F
i
Proprietà di F :
F
B
B
i
•Direzione perpendicolare a B e i
•Verso individuato dalla regola
della mano destra
•Intensità : ilBsen()
•F max : il e B perpendicolari
•F = 0 : il e B paralleleli
1) Nei punti A e B della figura, distanti 1m sono applicate due forze parallele
e discordi di uguale intensità pari a 30 N. Qual è il momento della coppia?
30 N
a)
b)
c)
d)
e)
A
1m
150°
B 30 N
30 N·m
15 N·m
60 N·m
900 N·m
450 N·m
2) Il momento di una forza si può misurare in:
a) Radianti al metro
b) erg
c) Newton
d) radianti al secondo
e) Joule
3) un’asta di peso trascurabile è incernierata ad un estremo e porta all’altro
estremo un peso di 100N. Quale forza è necessario applicare nel suo punto medio
per mantenere l’asta in equilibrio in posizione orizzontale?
a) Verticale verso l’alto di 400 N
2F
b) Verticale verso l’alto di 200 N
?
c) Verticale verso l’alto di 50 N
F
d) Verticale verso l’alto di 100 N
r
e) Verticale verso il basso di 50N
2r
il moto e la velocità
Un corpo è in moto quando la sua posizione rispetto ad un altro,
assunto come riferimento, varia nel tempo. Solitamente si considera
un riferimento solidale con la Terra.
Ci occupereremo del moto di un punto materiale, ovvero di un
oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle altre
grandezze che compaiono nel problema, in particolare rispetto alla
traiettoria.
Quando un corpo non può essere considerato un punto materiale si
dice che è un corpo esteso.
Traiettoria
Linea costituita da tutte le posizioni occupate nel tempo dal punto
materiale.
Traiettoria rettilinea
Traiettoria circolare
Traiettoria curva
Nel moto di un corpo esteso non è detto che tutti i suoi punti abbiano
la stessa traiettoria.
Nota la traiettoria, si può riferire il moto ad essa : fissato arbitrariamente
un punto P0 si può individuare un qualunque altro punto P tramite il
numero s che esprime la distanza di P da P0 sulla traiettoria.
P0 rappresenta il punto di riferimento
Per descrivere il moto di un punto materiale che si
muove lungo una traiettoria, è sufficiente
associare ad ogni istante t il numero s che esprime
la sua posizione sulla traiettoria in quell’istante.
+3
+2
+1
s=0
P0
-1
La legge che associa ad ogni istante t il
corrispondente valore di s è detta legge oraria
-2
La legge oraria può essere espressa tramite:
• una tabella
• un grafico
• una formula matematica
Se invece la traiettoria non è nota per determinare la posizione del
punto materiale è necessario un vettore.
Vettore posizione: il vettore che ha origine nel punto di riferimento ed
estremo nel punto in cui si trova l’oggetto mobile.
Essendo un vettore esso ha
P
P0
• Intensità uguale alla distanza P0P
• direzione la retta per P0 e P
• verso da P0 a P
Velocità : grandezza che esprime la rapidità con cui cambia nel tempo
la posizione del punto materiale
Velocità media
è espressa
dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo
s
s2-s1
vm =
t2-t1
=
s
P1
s1
P0
s2
t
Poiché s1 ed s2 sono vettori lo è anche la loro
differenza s, ed anche il rapporto con lo
scalare t. Dunque v è un vettore che ha:
P2
• la direzione coincidente con quella
della corda P1P2
• il modulo uguale al rapporto tra il
modulo di s e la misura di t
• il verso di s, cioè da P1a P2
Velocità istantanea
valore limite a cui tende la velocità
media calcolandola su intervalli di
tempo sempre più piccoli
Q
Q
Q
v = lim s / t
Q
t0
Q P QP
È un vettore che ha:
direzione
tangente alla traiettoria nel
punto occupato nell’istante
considerato
intensità
Limite del rapporto
tra le quantità
infinitesime s e t
verso
concorde con
quello del moto
Ad ogni punto della traiettoria è associato un vettore velocità avente la direzione della
tangente, lunghezza proporzionale al modulo della velocità istantanea e verso
coincidente con quello del moto.
La velocità può variare in
intensità e in direzione
La velocità può essere
costante in intensità e
variare solo in direzione
La velocità può essere
costante in direzione e
variare solo in intensità
Moto uniforme : velocità di
intensità costante
rettilineo
curvilineo
La velocità è costante
come vettore (infatti la
direzione non cambia
essendo quella della retta
su cui avviene il moto)
La velocità non è
costante come vettore in
quanto la sua direzione
cambia in ogni punto
della traiettoria
1)Quale delle seguenti affermazioni relative al moto di un punto materiale è
corretta?
a) La legge oraria consente di determinare la traiettoria del moto
b) La velocità media è una grandezza scalare mentre quella istantanea è vettoriale
c) Qualunque sia la traiettoria in un moto uniforme la velocità è costante
d) Se in un moto la velocità è costante il moto è rettilineo uniforme
e) Se in un moto la velocità varia, esso avviene necessariamente su traiettoria
curvilinea.
2) Una bici percorre un tratto di strada in salita alla velocità v e lo stesso tratto in
discesa alla velocità v’. La velocità media è:
a) (v + v’) / 2
Attenzione:
b) vv’/ (v + v’)
stiamo parlando della velocità scalare,
vm = 2s/(s/v + s/v’)
c) 2vv’ / (v + v’)
cioè della intensità della velocità
d) √v v’
e) Non è possibile stabilirlo con i dati a disposizione.
3) Un’automobile ha percorso 15 km in 10 minuti e successivamente 5 km in
5 minuti. La sua velocità media sull’intero tratto è stata:
a)
90 km/h
b) 75 km/h
c)
80 km/h
d) 120 km/h
e)
Nessuna delle precedenti risposte è esatta
4) un’auto fa un percorso di 90 km alla velocità media di 60 km/h. un primo
tratto di 60 km è stato percorso alla velocità di 90 km/h. qual è stata la
velocità media nel secondo tratto di 30 km?
a)
20 km/h
b) 36 km/h
c)
30 km/h
d) 45 km/h
e)
40 km/h
ttot = 1h 30’ t1 = 40’ t2 = 50’= 5/6 h
v = 30/(5/6) km/h = 30(6/5) km/h
l’accelerazione
Accelerazione : grandezza vettoriale che esprime la
rapidità di variazione della velocità nel tempo.
Accelerazione media
è espressa:
dal rapporto tra la variazione di velocità avvenuta in un certo intervallo di tempo
e l’ intervallo di tempo stesso:
am= v / t
v2 – v1
v1
-v1
v2
v2 – v1
-v1 v2
Nel moto rettilineo la direzione
è quella del moto, il verso è
quello del moto se v aumenta,
opposto se diminuisce
v2
v1
v
v2
Nel moto curvilineo la direzione è
diversa sia da v1 che da v2, il verso è
sempre rivolto all’interno della curva
Accelerazione
istantanea
valore limite a cui tende la
accelerazione media calcolandola su
intervalli di tempo sempre più piccoli
a = lim v / t
t0
Se il moto è curvilineo,
l’accelerazione non è diretta
nel senso del moto
a = lim v / t
t0
v2
v1
v
MOTO UNIFORME
Non rettilineo
(v varia solo di direzione ma rimane costante in modulo)
v2
v
v1
= ( - ) / 2
v2
Quando 0,
/2
Nel moto uniforme (non rettilineo) l’accelerazione è in ogni istante
perpendicolare alla velocità.
v
a
Nel moto rettilineo (non uniforme) l’accelerazione ha in ogni istante la
stessa direzione della velocità. Il verso è concorde a v o discorde a
seconda che v aumenti o diminuisca
a v
Le componenti dell’accelerazione
Abbiamo visto che se a ha la direzione di v (accelerazione tangenziale at) il moto è
rettilineo vario, se a è perpendicolare a v (accelerazione normale av) il moto è
curvilineo uniforme. Se il moto è curvilineo vario a avrà una direzione diversa da v e
dalla sua perpendicolare:
an
a
at
Componente tangenziale
Componente normale
Variazione modulo di v
Variazione direzione di v
at= componente tangenziale
an= componente normale
a = a t + an
Moto rettilineo
uniforme
vario
Moto curvilineo
uniforme
vario
at= 0
at0
at=0
at 0
an = 0
an= 0
a n 0
an 0
a=0
a = at
a = an
a = an + at
Dimensioni e unità di misura di velocità e accelerazione
Velocità e accelerazione sono entrambe grandezze derivate
Equazione dimensionale della velocità : [v]=[l/t]=[lt-1]
Equazione dimensionale della accelerazione : [a]=[v/t]=[lt-1/t]=[lt-2]
Unità di misura della velocità (S.I.) = m/s
Unità di misura della accelerazione (S.I.) = m/s2
1) In un moto curvilineo uniforme i due vettori velocità e accelerazione sono:
a) Entrambi nulli
b) Perpendicolari
c) Paralleli
d) Nulla l’accelerazione e diversa da zero la velocità
e) L’accelerazione ha sia una componente tangenziale che una centripeta.
2) In 20 secondi la velocità di uno sciatore su una traiettoria rettilinea aumenta
da 72 km/h a 90 Km/h. Qual è la sua accelerazione?
a) 4 m/s2
b) 0,9 m/s2
v = 18km/h = 18.000m / 3600s = 5m/s
c) 11 m/s2
d) 0,25 m/s2
a = v / t = 5 / 20 m/s2
e) 2,5 m/s2
3) Quale delle seguenti situazioni è impossibile?
a) In un punto della sua traiettoria un corpo ha velocità nulla e accelerazione 0
b) Un corpo ha modulo della velocità costante e velocità vettoriale variabile
c) In un certo intervallo di tempo il modulo della velocità aumenta mentre
l’accelerazione tangenziale diminuisce
d) Un corpo ha modulo della velocità variabile e velocità vettoriale costante
e) Sono tutte impossibili
4) Nel disegno sono rappresentate la velocità
e l’accelerazione di un punto materiale in moto
Possiamo affermare che:
an
v
a)
b)
c)
d)
e)
a
at
Il moto è rettilineo ma non uniforme, perché a 0
Il moto è curvilineo uniforme perché a non ha la stessa direzione di v
Il moto è curvilineo e la sua velocità è in aumento
Il moto è curvilineo e la sua velocità è in diminuzione
Il moto è curvilineo non uniforme, ma non si può stabilire se la velocità è in
aumento o in diminuzione
moto rettilineo uniforme
Alcuni moti rettilinei : leggi orarie e rappresentazioni grafiche
Moto rettilineo uniforme
caratteristica: v = s/ t = costante
La relazione v = s/ t si può scrivere
(s – s0)/(t – t0) = v
con s posizione all’istante t e s0 posizione all’istante t0. Posto t0 = 0 si
ottiene la legge oraria del moto rettilineo uniforme: s – s0 = vt ovvero
s = s0 + vt
In tale formula s0 e v sono valori costanti, t ed s variabili ; precisamente t è la
variabile indipendente ed s la variabile dipendente.
La funzione s = s(t) ha la stessa forma della funzione y= mx + q
Quindi s = s0 + vt è una funzione lineare e il diagramma orario
del moto è una retta nel piano (s,t).
Le condizioni iniziali
Posizione iniziale
O≡P0
Posizione iniziale
vt
P
O
s0
s
Punto di
riferimento sulla
traiettoria (Origine)
P0
P
vt
s
Punto di riferimento
sulla traiettoria
(Origine)
s=
s = vt
s
s0 + vt
s
s0
t
t
La pendenza della retta fornisce la velocità.
Il suo segno ci dice ci dice il verso del moto
Dalla velocità alla legge oraria
Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante; dunque nel piano (v,t) essa è
rappresentata da una retta parallela all’asse dei tempi, la cui quota indica la sua intensità
s = s + vt
v(m/s)
3
1 2 3
t t(s)
tempo
distanza s – s0
1s
31= 3 m
2s
3 2 = 6 m
3s
3 3 = 9 m
..
..
ts
3tm
La distanza vt percorsa nel tempo t può essere interpretata come
l’area della regione piana compresa tra il diagramma della
velocità, l’asse dei tempi e gli istanti di tempo iniziale e finale
1) Il grafico a fianco rappresenta il moto rettilineo di due
corpi. Quale delle affermazioni elencate è corretta?
I corpi si muovono in versi opposti e all’istante t = 0
sono nell’origine fissato sulla traiettoria
b) Il corpo A si muove con velocità crescente, il corpo B
con velocità decrescente
c) Il corpo A all’istante t = 0 si trova nell’origine della
traiettoria, mentre il corpo B non vi passerà mai
d) Dopo 2 secondi i due corpi si trovano nella stessa
posizione
e) Dopo 2 secondi i due corpi hanno percorso lo stesso
spazio
s
5
B
A
a)
1
2
t
3)Un corpo si muove su una retta nel verso negativo con velocità costante di
3m/s; all’istante t = 0 si trova a 2m dall’origine. La legge oraria del moto è :
a) s = 2 + 3t
b) s = -2 + 3t
c) s = 2t – 3
d) s = 2 – 3t
c) s = -2t + 3
moto rettilineo uniformemente accelerato
Moto rettilineo uniformemente accelerato
caratteristica : a =v/t= costante
a = v – v0
t
riferendo il moto all’istante t = 0
v – v0= at
v = v0 + at
v
La pendenza della retta fornisce il
valore di a, il segno ci dice se la
velocità aumenta o diminuisce
t
v
v = at
(se la velocità iniziale è nulla)
t
La legge oraria del moto uniformemente accelerato
v
s - s0 = v0t + 1/2 at2
v = v0 + at
at
1/2 at2
s = s0+ v0t + 1/2 at2
v0
v0t
t
Se il mobile parte dall’origine s0 = 0
s = v0t + 1/2 at2
Se il mobile parte da fermo v0 = 0
s = s0+ 1/2 at2
Se il mobile parte da fermo dall’origine
s = 1/2 at2
Legge oraria : diagramma
s = 1/2 at2
s è direttamente proporzionale al quadrato di t
Il diagramma è una parabola con vertice nell’origine
a<0
a>0
s
t
s
t
Il punto materiale si allontana
dall’origine nel verso positivo
Il punto si allontana dall’origine con
velocità crescente in modulo
La velocità, pendenza della tangente al grafico, è crescente
Il caso più generale :
s = s0+ v0t + 1/2 at2
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
SIGNIFICATO DEL SEGNO DI VELOCITA’ E ACCELERAZIONE
a > 0 velocità crescente
v > 0 moto nel verso positivo
a < 0 velocità decrescente
v < 0 moto nel verso negativo
Combinando le varie possibilità possiamo dire:
a, v concordi
velocità crescente in modulo
a, v discordi
velocità decrescente in modulo
OSSERVAZIONE
O
P0
Nel caso in cui a e v sono discordi il modulo di v, diminuendo, raggiungerà 0. a
questo punto v cambierà segno e a e v diventeranno concordi, quindi da questo
punto in poi il modulo di v aumenterà
s= v0t + 1/2 at2
ESEMPI
a>0
v0 < 0
a<0
v0 > 0
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
-1 0
1
0
-3
2
3
4
5
-2
0
t=1
1
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-4
-6
t=0
t=0
t=2
t=2
t=1
3
RIEPILOGO
Le variabili del moto sono t, s, v, a. Considerata t variabile indipendente le altre tre sono
legate a t dalla legge oraria, la legge della velocità, la legge dell’accelerazione.
Nei moti rettilinei appena studiati le leggi sono le seguenti:
UNIFORME
s = s0 + v t
v = cost.
a=0
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
s = s0 + v0t + 1/2at
v = v0 + a t
a = cost.
Il moto di caduta dei gravi
Sperimentalmente si verifica che tutti i
corpi, indipendentemente dal loro peso, in
assenza di aria sono soggetti sulla
superficie
terrestre
alla
medesima
accelerazione costante g = 9,8m/s2
Quindi il moto a cui essi sono soggetti è un
moto rettilineo uniformemente accelerato
s = 1/2 gt2
v = gt
(s0 = 0 v0= 0)
a=g
1) Un oggetto parte da fermo con un’accelerazione tangenziale costante di 10
cm/s2; dopo 10 secondi la sua velocità è:
a)
10 m/s
b) 1cm/s
c)
d) 100 m/s
e)
10 cm/s
1 m/s
2)
La legge oraria di un moto rettilineo uniformemente accelerato è
s = 2 – 3t + 4 t2 le affermazioni:
Il mobile non parte dall’origine e la sua velocità aumenta.
Il mobile non parte dall’origine né vi passerà mai.
Ad un certo istante t il moto cambierà verso.
sono:
a) V V V
b) F VF
c) F F F
d) F V V
e) FFV
3)
a)
b)
c)
d)
e)
La legge della velocità del moto precedente è:
v = 2 + 4t
v = -3 + 2t
v = -3 + 8t
v = 2 + 8t
Non si può rispondere perché non si conosce la velocità iniziale
4) Detta g l’accelerazione di gravità, la velocità finale di un corpo lasciato in
caduta libera da un’altezza h è:
a) v = 2gh
b) v = 2g/h
c) v = 2gh
d) 2h/g e) c = 1/2gh
5) Consideriamo un tram nel percorso rettilineo nell’intervallo di tempo (t1, t2).
Per metà percorso l’accelerazione, costante, è a1 e per l’altra metà –a1. Quale
può essere, tra i seguenti, il grafico della velocità?
v
v
t1
t2
v
t1
t2
v
t1
t2
a) Il secondo
b) Nessuno dei quattro
c) Il quarto
t1
t2
d) Il primo
e) Il terzo
Tre atleti A, B, C disputano una gara di100 metri piani.
A parte con una accelerazione di 3 m/s2 per 3 secondi, poi prosegue con velocità
costante. B ha una accelerazione di 5 m/s2per 2 secondi per poi proseguire anche
lui a velocità costante. C raggiunge la velocità di regime dopo un’accelerazione di 4
m/s2 per 3 secondi.
Qual è l’ordine di arrivo?
a) BCA
b) BAC
s = ½ a t2
c) CBA
v=at
d) ACB
e) ABC
s = vt t=s/v
A:
s = ½ · 3 · 9 = 13,5 86,5
v=3·3=9
t = 86,5 /9
= 9,6 12,6
B:
s = 1/2 · 5 · 4 = 10 90
v = 5 · 2 = 10
t = 90 / 10
=9
C:
s = ½ · 4 · 9 = 18 82 v = 4 · 3 = 12
t = 82/ 12
= 6,8 9,8
11
OSSERVAZIONE
Che C fosse più veloce di A era evidente, quindi le risposte b), d), e) si escludono
subito.
Basta dunque confrontare solo B e C
1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
Nel diagramma della figura a lato è riportata la velocità di
un'auto in funzione del tempo. Che cosa rappresenta
l'area del trapezio?
la velocità del corpo dopo 60 secondi
l'accelerazione del corpo al tempo t = 60 s
lo spazio percorso dal corpo in 60 secondi
la velocità media del corpo
fisicamente non rappresenta niente
v
60 s
I diagrammi che compaiono nella figura in basso sono relativi al moto di
caduta libera di un sasso (accelerazione costante). Guardando da sinistra a
destra, che cosa metteresti sull'asse verticale?
a) accelerazione, velocità, spostamento
b) velocità, spostamento, accelerazione
c) spostamento, accelerazione, velocità
d) spostamento, velocità, accelerazione
e) accelerazione, spostamento, accelerazione
t
t
t
moti periodici e composti
Moti periodici : a determinati intervalli di tempo vengono riprodotte le
medesime situazioni di movimento (posizione, velocità, accelerazione)
Tale intervallo di tempo è chiamato periodo T
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Traiettoria: circonferenza
v
ac
velocità costante in modulo
ma
il vettore velocità cambia in direzione
accelerazione centripeta
velocità angolare = /t = 2/T costante
ALTRE GRANDEZZE DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME
|v| = 2r/T = velocità periferica
(o tangenziale)
ac= 2v/T = v
v
v = r
ac =
v è proporzionale ad r
2r
v2/r
GRANDEZZE TIPICHE DEI MOTI PERIODICI
T = periodo
tempo impiegato a percorrere un giro
dimensione =[t]
unità di misura : secondo
la frequenza è l’inverso del periodo
= frequenza = 1/T
dimensione = [t-1]
unità di misura : hertz (Hz)
Si può esprimere la velocità periferica attraverso la frequenza:
|v| = 2r
Moto armonico
Dato un punto materiale che percorre una circonferenza con moto
uniforme, consideriamo il moto della sua proiezione sul diametro:
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Mentre il punto P descrive la circonferenza la sua proiezione Q sul
diametro si sposta avanti e indietro.
Questo moto è detto moto armonico
Il moto armonico è un moto rettilineo vario , infatti
ha velocità e accelerazione variabili, ed è periodico.
Il periodo è lo stesso del moto circolare uniforme da cui ha origine
Anche velocità ed accelerazione si proiettano sul diametro:
velocità
Q
o
Massima al centro,
nulla agli estremi
accelerazione
Q
Nulla al centro,
massima agli estremi
LEGGI DEL MOTO ARMONICO
s = r cos(t)
r
v = -r sen(t)
La velocità aumenta verso
il centro, dove è massima
a = -2r cos(t)= - 2s
L’accelerazione è massima
agli estremi,
L’accelerazione è proporzionale allo spostamento, ma ha verso contrario:
a = - 2s
Composizione di moti simultanei
Quando un punto materiale è soggetto a due o più moti
contemporanei il suo spostamento è dato dalla somma vettoriale
degli spostamenti dovuti ai singoli moti e la sua velocità è la
somma vettoriale delle velocità dei singoli moti.
vvento
vmotore
La composizione di due moti
rettilinei e uniformi è un moto
rettilineo uniforme
Esempio di composizione di un moto rettilineo uniforme e di un moto
uniformemente accelerato: moto di un grave lanciato
x=v0t
y=1/2gt2
y=(g/2v02)x2
parabola
v0t
1/2gt2
1)
Un disco ruota di moto circolare uniforme intorno al suo centro. I tre punti A,
B, C hanno uguali:
a)
Frequenza e velocità tangenziale
b)
Velocità angolare e accelerazione centripeta
c)
Velocità angolare e periodo
d)
Velocità tangenziale e periodo
e)
Velocità tangenziale e accelerazione centripeta
2)
Quale delle seguenti affermazioni relative al moto armonico di un punto materiale è
errata?
La velocità è nulla agli estremi di oscillazione
L’accelerazione è massima agli estremi di oscillazione
L’accelerazione è proporzionale allo spostamento
L’accelerazione e la velocità hanno sempre lo stesso verso
Il punto materiale accelera quando si muove verso il centro.
a)
b)
c)
d)
e)
3)
A BC
Un corpo si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio 10 m con
velocità tangenziale 0,5 m/s. qual è la sua accelerazione centripeta?
a) 0,025 m/s2
c) 0,05 m/s2
b) 0,005 m/s2
d) 0,5 m/s2
e) 0,25 m/s2
