Lezione n. 4

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.1
Frontespizio del trattato di algebra di Al-Khwarizmi
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.2
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 nel trattato di
algebra di Al-Khwarizmi.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.3
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione
latina di G. Libri (1838)
Il problema è che questo censo (x2) e dieci radici (10x)
sono uguali a 39 dracme. Sia quindi una superficie
quadrata di lati sconosciuti, la quale è il censo, il quale
e le radici del quale vogliamo conoscere: sia essa la
superficie a.b e ciascuno dei lati del quadrato è la sua
radice. Si moltiplica ciascun lato del quadrato per un
certo numero (un segmento), allora il numero
(un’area) che è stato aggiunto è il numero delle radici
(10) che sono proprio la radice di quella superficie.
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d’insegnamento/apprendimento 4.4
Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione
latina di Libri (segue)
Dopo che si è detto che con il censo ci sono dieci radici,
prenderò la quarta parte di dieci, che è 2,5. E farò la
superficie con ciascun quarto e con uno dei lati della
superficie del quadrato [sta costruendo un rettangolo su
ciascun lato del quadrato]: ci saranno dunque con la prima
superficie, che è la superficie a.b quattro superfici uguali,
la lunghezza di ciascuna delle quali, è uguale alla radice di
a.b, e la larghezza è 2,5; le quali sono le superfici g. h. t. k.
Alla radice della superficie che è di lati uguali e ignoti
(cioè il quadrato che sta costruendo come completamento
di quello iniziale a.b), manca ciò che è tolto dai 4 angoli.
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d’insegnamento/apprendimento 4.5
d
h
a
t
census
g
b
k
x2+10x = 39
e
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d’insegnamento/apprendimento 4.6
x2+10x = 39
Il quadrato ab ha area x2. I quattro
rettangoli t, h, g, k hanno lati x e
10/4. L’area del poligono a croce è
x2 + 4(10/4), che vale 39. Se
completiamo la figura con i quattro
quadratini di lato 10/4, otteniamo
un quadrato di lato x + 2(10/4) e di
area 39+4(10/4)2
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d’insegnamento/apprendimento 4.7
Usa l’ipotesi che il quadrato AB più i
quattro rettangoli t, k, g, h sono uguali a
39.
Differenza coi Greci:
• l’analisi
• sono coinvolti numeri (identifica
segmenti, rettangoli, ...) con le loro misure
(10, x, 39, ...)
• si può parlare di dimostrazione non
numerica all’interno di una “aritmetica
delle grandezze”
• si usa una teoria “intuitiva” della misura
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.8
Diversi modi di scrivere la formula
3x3  6x2 = 4x + 5
forma retorica:
Sei volte il quadrato del mio numero si
sottrae tre volte il cubo del numero e chiedo
uguale a quattro volte il numero più cinque
forma sincopata:
3cu m 6ce ae 4co p 5 (Luca Pacioli, 1494)
forma simbolica:
3 Acu  6Aq aequatur 4A + 5 (Viète, 1591)
3xxx  6xx  4x + 5 (Descartes, 1637)
3 x3  6 xx + 4x + 5 (Wallis, 1693)
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d’insegnamento/apprendimento 4.9
Una pagina di Viète
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d’insegnamento/apprendimento 4.10
François Viète (1540-1603) espone il suo programma nel
trattato In artem analyticen isagoge (1591). Il suo scopo
principale è di riabilitare, restaurare e migliorare l’analisi
degli antichi. Distingue tre parti o funzioni dell’arte
analitica:
1) la messa in equazione sotto una forma ordinata che
permette di trovare una proporzione corrispondente
(“Zetetica” )
2) la verifica della validità di (1), cioè che si può fare il
percorso in senso inverso, chiamato sintesi (“Poristica”)
3) la soluzione effettiva del problema, sotto forma
numerica o geometrica secondo i casi (“Esegetica”,
“Retica”)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.11
Viète usa la “logistica speciosa” o
calcolo sui simboli (usati sia per
incognite
che
per
dati,
in
contrapposizione
alla
“logistica
numerale”)
L’opera di Viète è di difficile lettura per
l’uso di neologismi (in greco, ...), le
intenzioni, il metodo ...
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d’insegnamento/apprendimento 4.12
Elementi
fondamentali
algebrico in Viète:
del
calcolo
1) “antitesi” (trasporto di un membro
da un termine all’altro
di
un’equazione)
2) “ipobalismo” (soppressione di un
fattore comune a tutti i termini di
un’equazione)
3) “parabolismo” (divisione di tutti i
termini di un’equazione per un
termine arbitrario)
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d’insegnamento/apprendimento 4.13
Nella tradizione euclidea il linguaggio delle
proporzioni era il più generale strumento di
espressione matematica e Viète ne è
impregnato. Indica, però, l’equivalenza
fondamentale tra le proporzioni e le equazioni
 Viète è un prodotto dell’ambiente
umanistico del suo tempo
 Secondo l’umanista Petrus Ramus la
conoscenza deve essere organizzata in
argomenti
che
dovrebbero
essere
intrisecamente
omogenei.
L’algebra,
dipendendo dalla geometria e dall’aritmetica,
non soddisfa questo principio..

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.14
In Viète permane la preoccupazione per
l’omogeneità. Viète stabilisce una doppia nomenclatura
sugli scalari o potenze da una parte (lato, quadrato,
cubo, quadrato di quadrato, quadrato in cubo, ...) e
dall’altra, sulle grandezze che possono essere loro
paragonate (lunghezza, o larghezza, piano, solido,
piano-piano, piano-solido, ...)
 La manipolazione algebrica deve dunque
accompagnarsi a ciò che noi chiameremmo la
dimensione
 questa omogeneità è una sorta di “garante
ontologico” delle operazione ed un “regolatore
semantico”. Si tratta di una condizione pesante
abbandonata già da Harriot e Ghetaldi.

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d’insegnamento/apprendimento 4.15
Un esempio di problema
in Viète
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d’insegnamento/apprendimento 4.16
Viète, Zeteticorum, libro I
“Data la differenza di due lati e la loro somma, trovare i
lati.
Sia B la differenza dei due lati e D la loro somma; è
richiesto di trovare i lati.
Sia A il lato minore; allora il maggiore sarà A + B. Dunque
la somma dei due lati sarà A2 + B. Ma la somma dei lati è
data come D. Allora A2 + B = D. e per antitesi, A2 sarà
uguale a D  B, e se essi sono dimezzati, A sarà uguale a
D1/2 + B1/2.
Oppure, sia E il lato maggiore. Allora il minore sarà
E  B.”
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d’insegnamento/apprendimento 4.17
Viète, Zeteticorum, libro I
“Dunque la somma dei lati sarà E2  B. Ma la stessa
somma è data come D. Dunque E2  B uguaglia D, e
per antitesi, E2 uguaglia D + B, se essi sono dimezzati,
e sarà uguale a D1/2 + B1/2.”
Dunque, con la differenza e la somma di due lati data, i
lati sono trovati.
Infatti, metà somma dei lati meno metà della loro
differenza è uguale al lato minore, e metà della loro
somma più metà della loro differenza è uguale al
maggiore.
Quod ipsum ...
La qual cosa stessa è mostrata dalla Zetesis.”
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d’insegnamento/apprendimento 4.18
“In artem analyticem Isagoge
Serosim excussa ab opere restitutae
Mathematicae
Analyseos,
seu,
Algebra nova”
Vaulézard:
“Introduction en l’art analytic ou
nouvelle algèbre”
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d’insegnamento/apprendimento 4.19
Riflessioni didattiche
che cosa resta nella nostra scuola di questo
programma?
il metodo (l’analisi) viene prima; lo strumento (il
linguaggio algebrico) deve essere ben
padroneggiato, ma al fine di servire.
 il metodo di analisi è trasversale nella
matematica
 l’analisi favorisce l’interdisciplinarità
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.20
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.21
Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966,
parte II, pp.134-135):
“Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a
riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili,
la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure
da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto
l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e
a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la
mente invece che coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare
qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre
scienze [Logica, Algebra, Analisi dei Geometri] fosse esente dai loro
difetti. [...]”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.22
Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966,
parte II, pp.134-135, segue)
Il secondo [precetto da osservare nel lavorare] consisteva nel dividere
ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante
fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di
essa. [...]
Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e
facili, di cui di solito si servono i Geometri nelle loro più difficili
dimostrazioni, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose
conoscibili dall’uomo si susseguissero nello stesso modo, e che [...]
non potessero darsi conoscenze così remote da non poter infine essere
raggiunte né così nascoste che non potessero scoprirsi. [...] in tale
modo avrei preso quanto di meglio offrivano l’Analisi dei Geometri e
l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’altra.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.23
Il pensiero di Descartes
Ogni problema geometrico può facilmente
essere ridotto a tali termini che una conoscenza
di lunghezze di certe rette è sufficiente per la
sua costruzione.
Infine, per essere sicuri di ricordare i nomi di
queste rette, dovrebbe essere sempre fatta una
lista separata ogni qualvolta i nomi sono
assegnati o cambiati, per esempio, possiamo
scrivere, AB = 1, cioè AB è uguale a 1; GH = a,
BD = b e così via.
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d’insegnamento/apprendimento 4.24
Il pensiero di Descartes (segue)
Se, allora, vogliamo risolvere un problema, dapprima
supponiamo la soluzione già trovata e diamo dei nomi a
tutte le rette che sembrano utili per la loro costruzione, a
quelle che sono ignote come a quelle che sono note. Poi,
non facendo nessuna distinzione tra rette note e ignote,
dobbiamo districare la difficoltà in qualunque modo che
mostri più naturalmente le relazioni [quelle che portano a
equazioni] tra queste rette, finché troviamo possibile
esprimere una singola quantità in due modi. Questo
costituisce un’equazione, poiché i termini di una di queste
due espressioni sono insieme uguali ai termini
dell’altra.”dell’altra”.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.25
Descartes parla di relazioni;
che tipo di relazioni?
- equazioni e proporzioni
- non quelle che ha in mente Mahoney, che sono più
generali
- però con la non distinzione tra rette note e incognite
l’algebra di Descartes è già proiettata verso l’algebra
delle strutture
Riguardo alle questioni ontologiche:
- non tratta rette, ma misure di rette
L’algebra di Descartes è basata sulla misura di grandezze
geometriche e relazioni tra queste misure
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.26
Situazione quando arriviamo a Descartes:
 la teoria delle proporzioni è ancora
in auge
 esiste ancora la necessità per una
teoria di essere omogenea
La discussione su Descartes fa emergere due
elementi
fondamentali
nella
storia
dell’algebra:
 il pensiero analitico
 la teoria della misura
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d’insegnamento/apprendimento 4.27
Epilogo
la nostra lettura della storia porta a concludere che
l’algebra non è solo un’estensione del
dominio numerico
 l’algebra non è solo una questione di usare
simboli
 l’algebra è un modo di manipolare relazioni

il metodo di analisi è il cuore dell’algebra
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 4.28
una lettura darwinista della storia dell’algebra alla luce
dei problemi d’insegnamento/apprendimento ci porta a
parlare di una selezione naturale delle idee. Risultano
vincenti quelle legate all’analisi.